Chiffres mixtes. Image de fractions ordinaires sur le faisceau de coordonnées

Un nombre composé d'une partie entière et d'une partie fractionnaire est appelé un nombre fractionnaire.
Afin de représenter une fraction impropre comme un nombre fractionnaire, il faut diviser le numérateur de la fraction par le dénominateur, alors le quotient incomplet sera la partie entière du nombre fractionnaire, le reste sera le numérateur de la partie fractionnaire , et le dénominateur restera le même.
Pour représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre, vous devez multiplier la partie entière du nombre fractionnaire par le dénominateur, ajouter le numérateur de la partie fractionnaire au résultat et l'écrire au numérateur de la fraction impropre, et laisser le dénominateur le même.

La partie fractionnaire désigne le signe de division. Dans une colonne, divisez le numérateur 13 par le dénominateur 3. Le quotient 4 sera la partie entière du nombre fractionnaire, le reste 1 deviendra le numérateur de la partie fractionnaire et le dénominateur 3 restera le même.
Écrivez le nombre fractionnaire sous la forme d'une fraction impropre :

Le nombre 3 - la partie entière du nombre mixte est multiplié par le dénominateur 7 de la partie fractionnaire, le nombre 2 est ajouté au produit résultant - le numérateur de la partie fractionnaire du nombre mixte; le résultat 23 deviendra le numérateur de la fraction impropre, tandis que le dénominateur 7 restera le même.

Image de fractions ordinaires sur le faisceau de coordonnées
Pour une représentation pratique d'une fraction sur un rayon de coordonnées, il est important de choisir correctement la longueur d'un segment unitaire.
L'option la plus pratique pour marquer des fractions sur le rayon de coordonnées consiste à prendre un seul segment d'autant de cellules que le dénominateur des fractions. Par exemple, si vous souhaitez représenter des fractions avec un dénominateur de 5 sur le rayon de coordonnées, il est préférable de prendre un seul segment d'une longueur de 5 cellules :

Dans ce cas, l'image des fractions sur le faisceau de coordonnées ne posera pas de difficultés: 1/5 - une cellule, 2/5 - deux, 3/5 - trois, 4/5 - quatre.
S'il est nécessaire de marquer des fractions avec différents dénominateurs, il est souhaitable que le nombre de cellules dans un seul segment soit divisible par tous les dénominateurs. Par exemple, pour l'image sur le rayon de coordonnées des fractions de dénominateurs 8, 4 et 2, il convient de prendre un seul segment de huit cellules de long. Pour marquer la fraction souhaitée sur le rayon de coordonnées, nous divisons le segment unitaire en autant de parties que le dénominateur et prenons autant de parties telles que le numérateur. Pour représenter la fraction 1/8, nous divisons le segment unitaire en 8 parties et prenons 7 d'entre elles. Pour représenter le nombre fractionnaire 2 3/4, nous comptons deux segments unitaires entiers à partir de l'origine, divisons le troisième en 4 parties et prenons trois d'entre elles :

Autre exemple : un rayon de coordonnées avec des fractions dont les dénominateurs sont 6, 2 et 3. Dans ce cas, il convient de prendre un segment de six cellules comme unité :

Questions pour les résumés

Compte tenu des points et . Trouver la longueur du segment AB.

C'est pourquoi ils disent que
Sur le rayon de coordonnées, des fractions égales correspondent au même point (fig. 117).

Deux fractions égales signifient la même chose un nombre fractionnaire. Les nombres fractionnaires peuvent être comparés, additionnés, soustraits, multipliés et divisés. Par souci de concision, nous parlons généralement de comparer, d'ajouter, de soustraire, de multiplier et de diviser des fractions.

La tarte était découpée en 5 parts et 2 parts étaient placées sur une assiette, et 3 parts sur une autre (Fig. 118). Deux parts font une tarte et trois parts font une tarte. Puisque 2 parties sont inférieures à 3 parties égales, alors
Des deux fractionsà dénominateurs égaux, celui avec le plus petit numérateur est plus petit, et celui avec le plus grand numérateur est plus grand.

Le point sur le rayon de coordonnées, qui a une plus petite coordonnée, se trouve à gauche du point, qui a une plus grande coordonnée.

Donnez un exemple de deux fractions égales avec des numérateurs différents.
Comment les fractions égales sont-elles dessinées sur une ligne de coordonnées ?
Laquelle des deux fractions de même dénominateur est la plus petite et laquelle est la plus grande ?
Lequel des points se trouve sur le rayon de coordonnées à gauche - avec une coordonnée plus petite ou plus grande ?

940. Expliquez avec une image pourquoi

941. Dessinez dans un cahier un segment de 18 cellules de long. Avec l'aide de ce segment expliquer pourquoi:

942. Un seul segment est égal à 12 cellules. Marquer des points sur la ligne de coordonnées . Expliquez le résultat.

943. Marquez sur le rayon de coordonnées les points dont les coordonnées sont égales :

944. Un seul segment est égal à la longueur de 6 cellules d'un cahier. Marquez sur les points de faisceau de coordonnées avec des coordonnées . Lequel de ces points est situé sur le rayon à gauche de tous, et lequel est à droite de tous ?

945. Classez par ordre croissant les fractions :

Classez ces fractions par ordre décroissant.

946. Remplacer l'astérisque par un signe< или >dans les entrées :

947. Laquelle des fractions est la plus grande :

948. Lequel des points se trouve à gauche de faisceau de coordonnées:

949. Calculez oralement :

950. Lire les fractions :

Nommez le numérateur et le dénominateur.

951. Les points suivants sont marqués sur le rayon de coordonnées :

Est-ce que l'un d'entre eux correspond?

952. Quelle partie de la Figure 120 est :

a) triangle ABO du quadrilatère ABCO
b) triangle ABO du quadrilatère ABCD
c) le quadrilatère ABCO du quadrilatère ABCD
d) le quadrilatère ABCO de l'hexagone ABCDEK ?

953. Essayez de trouver le chemin le plus court le long de la surface du cube du point A au point B (Fig. 121). Combien de tels chemins peut-on spécifier ?

a) 5 contre 2 ; b) 100 à 30 ; c) 29 par 9 ; d) 100 par 11.

955. Quelle proportion sont :

a) jours d'une année ; c) un décimètre à partir d'un mètre ;
b) jour de la semaine ; d) 1 cm 3 d'un litre ?

Réfléchissez à la raison pour laquelle 1 cm 3 est aussi appelé millilitre (1 ml).

956. Le volume de la cruche est de 5 litres. Un litre d'eau y a été versé. Quelle fraction du volume de la cruche est occupée par l'eau ? Donner une réponse pour a - 1 ; 2 ; 3 ; 4.

967. Quelle partie de la semaine est :

a) cinq jours

b) six jours ?

968. Masse de citrouille 2 kg 800 g. Trouvez la masse :

969. La maison ne prend que parcelle de jardin. Trouvez la superficie de la parcelle si la superficie du terrain sous la maison est de 40 m2.
970. Deux motocyclistes roulent l'un vers l'autre. La vitesse d'un motocycliste est de 62 km/h et celle d'un autre de 54 km/h. Dans combien d'heures les motards se retrouveront-ils s'il y a maintenant 348 km entre eux ?

971. La masse d'un paquet de biscuits est de 125 g et la masse d'un paquet de craquelins est de 380 g. Lequel est le plus lourd :

a) 9 paquets de biscuits ou 4 paquets de craquelins ;
b) 22 paquets de cookies ou 7 paquets de crackers ?

972. 910 g de millet ou 780 g de pois sont placés dans une jarre d'un litre. Quelle masse est inférieure :

a) 3 boîtes de mil ou 4 boîtes de petits pois ;
b) 7 boîtes de millet ou 8 boîtes de petits pois ?

973. D'un morceau de fil de longueur a m pour la première fois b m a été coupé, et pour la deuxième fois - voir Quelle est la signification des expressions suivantes:

a) b + c ; b) un - (b + c); taxi; d) un - b - c

Laquelle de ces expressions prend mêmes valeurs pour toutes les valeurs des lettres a, b, c? Vérifiez votre réponse pour a = 45, b = 7 et c = 12.

N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartburd, Mathématiques 5e année, Manuel pour les établissements d'enseignement

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2. IMAGE DE FRACTIONS SUR LE RAYON COORDONNÉ (P. 23) Objectifs de l'activité de l'enseignant : former le concept de fractions ordinaires ; favoriser le développement du discours mathématique, de la mémoire de travail, de l'attention volontaire, de la pensée visuelle efficace; cultiver une culture du comportement dans le travail frontal et individuel Sujet : contrôler pas à pas l'exactitude et l'exhaustivité de l'algorithme de l'opération arithmétique. Personnel: ils s'expliquent leurs réalisations les plus notables, montrent un intérêt cognitif pour l'étude du sujet, donnent une évaluation positive et une auto-évaluation des résultats de leurs activités. Méta-sujet : - Réglementaire : définir l'objectif activités d'apprentissage, chercher un moyen d'y parvenir ; - cognitif : rédiger des conclusions sous forme de règles « si…, alors… » ; - communicatifs : ils sont capables de défendre leur point de vue, de l'argumenter, de le confirmer par des faits. Matériel ressource : fiches pour vérifier les devoirs. I. PLAN DE LEÇON : Organisation du temps. UUD personnel : développement de l'intérêt cognitif, mobilisation de l'attention, respect d'autrui. G e l l e s, exprimant le sujet et les objectifs de la leçon. II. Vérification des devoirs. UUD personnel : formation du sens. UUD communicatif : capacité à coopérer avec l'enseignant. Vérification du tableau. III. Mise à jour des connaissances des étudiants. UUD communicatif : la capacité d'écouter, d'engager le dialogue. UUD réglementaire : planification de leurs activités, fixation d'objectifs. exercices oraux. Ils se déroulent avec la classe, en même temps, six personnes aux premiers pupitres et quatre personnes au tableau décident des cartes. Oralement : n° 910 (c, d), 912, 916. Derrière les premiers pupitres : Variante I 1) Notez le nombre en chiffres : a) un neuvième ; b) un trentième. 2) Il y a 18 boules dans la boîte. certaines sont des boules noires, les autres sont blanches. Combien y a-t-il de boules blanches dans la boîte ? 3) Résolvez l'équation : p - 375 = 2341. - jaune, Option II 1) Écrivez le nombre en chiffres : a) un dix-septième ; b) un neuvième. 2) Les touristes ont parcouru 36 km. une partie du trajet s'est faite à pied, une partie en bateau, le reste en bus. Combien de kilomètres les touristes ont-ils parcourus en bus ? 3) Résolvez l'équation : 85 - z = 36. Cartes pour ceux qui répondent au tableau noir. Carte 1. 1) Un morceau de tissu a été coupé en 12 parts égales. Quelle proportion de la pièce entière représente chaque pièce ? Qu'est-ce qu'un partage ? 2) Qu'appelle-t-on une équation ? Carte 2. Comment s'appellent les actions ; ; ? Qu'est-ce qu'une demi-heure ? Quelle fraction de mètre est égale à 1 cm ? 2) Quelle est la racine de l'équation ? Que signifie résoudre une équation ? Carte 3. 1) Exprime la partie ombrée du cercle sous forme de fraction. Pourquoi ce nombre est-il au dénominateur ? Que montre-t-il ? Pourquoi y a-t-il un tel nombre au numérateur ? Que montre-t-il ? 2) Comment trouver le sous-jacent inconnu ? Donne un exemple. Carte 4. 1) Exprime en fraction la partie non ombrée de la figure. Expliquez pourquoi ces nombres sont écrits au numérateur et au dénominateur. 2) Comment trouver le diminuend inconnu ? Donne un exemple. IV. Apprendre du nouveau matériel. UUD personnel : orientation morale et éthique. UUD communicatif : définition du but, modes d'interaction. Compréhension : numérateur, dénominateur. 1. 1 m = 10 dm = 100 cm 1 cm = m ; 1 dm = m ; 1 kg \u003d 1000 g 1g \u003d kg 2. L'image des fractions sur le faisceau de coordonnées. 3. Enregistrement d'une fraction ordinaire, détermination du numérateur, dénominateur. 4. Que montre le dénominateur ? Que montre le numérateur ? V. Consolidation. 1. Oralement n° 926 (exercice à domicile), n° 896. 2. N° 899, 898 (indépendamment). 3. Marquez les points C sur le faisceau de coordonnées ; D et E. Demandez d'abord aux élèves : « Quelle longueur est la plus pratique pour prendre un seul segment ? Pourquoi?". 4. N° 900 (lire), N° 901, 903 (seul). 5. Pour répétition : n° 920, 924 (1). VI. Reflet de l'activité. UUD personnel : orientation morale et éthique. UUD réglementaire : évaluation des résultats intermédiaires et autorégulation pour augmenter la motivation d'apprentissage. Décidez vous-même: 1. La longueur d'un morceau de fil est de 12 m. Lors de la réparation d'une lampe de table, ce morceau a été utilisé. Combien de mètres de fil reste-t-il ? 2. L'usine a reçu 120 nouvelles machines. Dans le premier atelier, les machines reçues ont été installées. Combien de nouvelles machines ont été installées dans le premier magasin ? VII. Devoirs: p.23; N° 928, 927, 937, répéter les paragraphes 4, 11.

Date de: 13/02/2017 ___________

Classer: 5

Sujet: mathématiques

Cours #: 129

Sujet de la leçon : " Image des fractions décimales sur le faisceau de coordonnées. ».

Buts et objectifs de la leçon :

Éducatif:

Pour former la capacité de représenter des fractions décimales sous forme de points sur le rayon de coordonnées, pour trouver les coordonnées des points représentés sur le rayon de coordonnées ;

Développement:

- poursuivre les travaux sur le développement de : 1) la capacité d'observer, d'analyser, de comparer, de prouver, de tirer des conclusions ; 2) perspectives mathématiques et générales; 3) évaluer leur travail ;

Éducatif:

- former la capacité d'exprimer sa pensée, d'écouter les autres, de mener des dialogues, de défendre son point de vue ; développer des compétences d'estime de soi.

Pendant les cours

I. Moment organisationnel, salutations, souhaits pour un travail fructueux.

Vérifiez si vous avez tout préparé pour la leçon.

II. Fixer des objectifs de cours.

Les gars, regardez attentivement le sujet de la leçon d'aujourd'hui. Que pensez-vous que nous allons faire en classe aujourd'hui ? Essayons de formuler ensemble les objectifs de la leçon.

III. Mise à jour des connaissances.Tous les élèves écrivent dans des cahiers, un élève derrière un tableau fermé. L'enseignant vérifie le travail au tableau, après quoi tous les élèves comparent et corrigent les erreurs.

1) Dictée mathématique.

1. Trois points un.

2. Cinq virgule huit.

3. Un virgule cinq.

4. Zéro virgule soixante-dix.

5. Sept virgule vingt-cinq centièmes.

6. Zéro virgule seize centièmes.

7. Trois virgule cent vingt-cinq millièmes.

8. Cinq virgule douze.

9. Dix virgule vingt-quatre centièmes.

10. Un entier trois dixièmes.

Réponses:

7. 3,125

9. 10,24

2) Travail oral

(1) Lire les décimales :

3) Souvenons-nous!

Pour marquer un point sur un rayon de coordonnées, vous devez ...

Quelle lettre marque un point sur un rayon de coordonnées ?

Comment s'écrit la coordonnée d'un point ?

3. Apprendre du nouveau matériel.

Les fractions décimales sur le faisceau de coordonnées sont représentées de la même manière que les fractions ordinaires.

(2) 1) Dessiner sur le rayon de coordonnées décimal 3,2.

Le nombre 3.2 contient 3 unités entières et 2 dixièmes d'unité. Tout d'abord, nous marquons un point sur le rayon de coordonnées correspondant au nombre 3. Ensuite, nous divisons le segment unitaire suivant en dix parties égales et comptons deux de ces parties à droite du nombre 3. Nous obtenons donc le point A sur le rayon de coordonnées, qui représente la fraction décimale 3.2. La distance entre l'origine et le point A est de 3,2 segments unitaires (A=3,2).

Traçons la fraction décimale 3,2 sur le rayon de coordonnées.

2) Dessinez la fraction décimale 0,56 sur le faisceau de coordonnées.

4. Consolidation du matériel étudié.

(3) 1. La route de Karatau à Koktal est de 10 km. Petya a marché 3 km. Quelle partie de la route a-t-il parcourue ?

1. En combien de parties égales le chemin entier est-il divisé ? ( pour 10 pièces)

2. Qu'est-ce qui sera égal à une partie du chemin ? (1/10 ou 0,1) ?

3. Qu'est-ce qui sera égal à trois parties d'un tel chemin ? (0.3) ?

1. Quels nombres sont marqués de points sur la ligne de coordonnées.

A(0,3); B(0,9); C(1,1); D(1,7). A(6,4); B(6,7); C(7,2); D(7,5); E(8,1). A(0,02); B(0,05); C(0,14); D(0,17).

(6) 4. Tracez une ligne de coordonnées. Pour un seul segment, prenez 5 cellules du cahier. Trouver les points A (0.9), B (1.2), C (3.0) sur le faisceau de coordonnées

(7) Travailler avec le manuel

(8)5. Éducation physique, exercice d'attention.

Travail différencié avec les étudiants(travailler avec des élèves doués et peu performants).

6. Résumer la leçon.

Les gars, qu'avez-vous appris à la leçon aujourd'hui ?

Pensez-vous que nous avons atteint nos objectifs ?

Réflexion.

Qu'en pensez-vous, avons-nous atteint notre objectif ?

Qu'avez-vous appris dans la leçon ? - Qu'avez-vous appris dans la leçon ?

Qu'avez-vous aimé dans la leçon ? Quelles difficultés ont surgi ?

(9)7. Devoirs:

Fiche de référence pour la leçon "Image des fractions décimales sur le faisceau de coordonnées».

1. Lire les décimales :

0,2 1,009 3,26 8,1 607,8 0,2345 0,001 3,07 27,27 0,24 100,001 3,08 3,89 71,007 5,0023

2. Traçons la fraction décimale 3,2 sur le rayon de coordonnées.

a) Le nombre 3.2 contient 3 unités entières et 2 dixièmes d'unité.

b) Dessinons la fraction décimale 0,56 sur le faisceau de coordonnées.

3. La route de Karatau à Koktal est de 10 km. Petya a marché 3 km. Quelle partie de la route a-t-il parcourue ?

1. En combien de parties égales le chemin entier est-il divisé ?

2. Qu'est-ce qui sera égal à une partie du chemin ?

3. Qu'est-ce qui sera égal à trois parties d'un tel chemin ?

4. Quels nombres sont marqués de points sur la ligne de coordonnées.

5. Sur la ligne de coordonnées, certains points sont marqués de lettres. Lequel des points correspond au nombre 34,8 ; 34,2 ; 34,6 ; 35,4 ; 35,8 ; 35,6 ?

6. Dessinez un rayon de coordonnées. Pour un seul segment, prenez 5 cellules du cahier. Trouver les points A (0.9), B (1.2), C (3.0) sur le faisceau de coordonnées

7. Travailler avec le manuel: ouvert dans le manuel à la page 89, effectuez le numéro: n ° 1254 (tâche d'ingéniosité).

8. Comptez les formes comme ceci : "Premier triangle, premier coin, premier cercle, deuxième coin, etc."

9. Devoirs:

1. Numéro de tâche au tableau

2. Inventez un conte de fées qui devrait commencer comme ceci : dans un certain royaume, dans un certain état, qui s'appelait "l'état des nombres", les fractions vivaient et étaient : ordinaires et décimales

Cet article est à propos de fractions communes. Ici, nous nous familiariserons avec le concept de fraction d'un tout, ce qui nous conduira à la définition d'une fraction ordinaire. Ensuite, nous nous attarderons sur la notation acceptée pour les fractions ordinaires et donnerons des exemples de fractions, par exemple sur le numérateur et le dénominateur d'une fraction. Après cela, nous donnerons les définitions des fractions correctes et incorrectes, positives et négatives, et considérerons également la position des nombres fractionnaires sur le rayon de coordonnées. En conclusion, nous énumérons les principales actions avec des fractions.

Navigation dans les pages.

Partage de l'ensemble

Nous introduisons d'abord notion de partage.

Supposons que nous ayons un objet composé de plusieurs parties absolument identiques (c'est-à-dire égales). Pour plus de clarté, vous pouvez imaginer, par exemple, une pomme coupée en plusieurs parts égales, ou une orange, composée de plusieurs tranches égales. Chacune de ces parties égales qui composent l'objet entier est appelée part de l'ensemble ou simplement actions.

Notez que les parts sont différentes. Expliquons cela. Disons que nous avons deux pommes. Coupez la première pomme en deux parts égales, et la seconde en 6 parts égales. Il est clair que la part de la première pomme sera différente de la part de la deuxième pomme.

Selon le nombre de parts qui composent l'ensemble de l'objet, ces parts ont leur propre nom. analysons partager des noms. Si l'objet se compose de deux parties, l'une d'elles est appelée une seconde partie de l'objet entier ; si l'objet se compose de trois parties, alors l'une d'entre elles est appelée une troisième partie, et ainsi de suite.

Un deuxième temps a un nom spécial - demi. Un tiers s'appelle la troisième, et un quadruple - trimestre.

Par souci de brièveté, ce qui suit désignations d'actions. Une seconde part est désignée comme ou 1/2, une troisième part - comme ou 1/3 ; un quart de part - comme ou 1/4, et ainsi de suite. Notez que la notation avec une barre horizontale est utilisée plus souvent. Pour consolider le matériel, donnons encore un exemple : l'entrée désigne le cent soixante-septième de l'ensemble.

Le concept de part s'étend naturellement des objets aux grandeurs. Par exemple, l'une des mesures de longueur est le mètre. Pour mesurer des longueurs inférieures à un mètre, des fractions de mètre peuvent être utilisées. Vous pouvez donc utiliser, par exemple, un demi-mètre ou un dixième ou un millième de mètre. Les parts des autres quantités sont appliquées de la même manière.

Fractions courantes, définition et exemples de fractions

Pour décrire le nombre d'actions sont utilisées fractions communes. Donnons un exemple qui nous permettra d'aborder la définition des fractions ordinaires.

Soit une orange composée de 12 parties. Chaque action dans ce cas représente un douzième d'une orange entière, c'est-à-dire . Désignons deux temps par , trois temps par , et ainsi de suite, 12 temps par . Chacune de ces entrées est appelée une fraction ordinaire.

Donnons maintenant un général définition des fractions communes.

La définition voisée des fractions ordinaires nous permet d'apporter exemples de fractions courantes: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Et voici les enregistrements ne correspondent pas à la définition exprimée des fractions ordinaires, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas des fractions ordinaires.

Numérateur et dénominateur

Pour plus de commodité, dans les fractions ordinaires, nous distinguons numérateur et dénominateur.

Définition.

Numérateur fraction ordinaire (m/n) est un entier naturel m.

Définition.

Dénominateur fraction ordinaire (m/n) est un entier naturel n.

Ainsi, le numérateur est situé au-dessus de la barre de fraction (à gauche de la barre oblique) et le dénominateur est en dessous de la barre de fraction (à droite de la barre oblique). Par exemple, prenons une fraction ordinaire 17/29, le numérateur de cette fraction est le nombre 17 et le dénominateur est le nombre 29.

Il reste à discuter de la signification contenue dans le numérateur et le dénominateur d'une fraction ordinaire. Le dénominateur de la fraction indique le nombre de parts d'un élément, le numérateur, à son tour, indique le nombre de ces parts. Par exemple, le dénominateur 5 de la fraction 12/5 signifie qu'un élément se compose de cinq parties, et le numérateur 12 signifie que 12 de ces parties sont prises.

Nombre naturel sous forme de fraction avec dénominateur 1

Le dénominateur d'une fraction ordinaire peut être égal à un. Dans ce cas, on peut supposer que l'objet est indivisible, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un tout. Le numérateur d'une telle fraction indique combien d'éléments entiers sont pris. De cette façon, fraction commune de la forme m/1 a la signification d'un entier naturel m . C'est ainsi que nous avons justifié l'égalité m/1=m .

Réécrivons la dernière égalité comme ceci : m=m/1 . Cette égalité nous permet de représenter tout nombre naturel m comme une fraction ordinaire. Par exemple, le nombre 4 est la fraction 4/1 et le nombre 103498 est la fraction 103498/1.

Alors, tout nombre naturel m peut être représenté comme une fraction ordinaire avec le dénominateur 1 comme m/1 , et toute fraction ordinaire de la forme m/1 peut être remplacée par un nombre naturel m.

Barre de fraction comme signe de division

La représentation de l'objet originel sous la forme de n parts n'est rien d'autre qu'une division en n parts égales. Une fois l'article divisé en n parts, nous pouvons le diviser également entre n personnes - chacune recevra une part.

Si nous avons initialement m objets identiques, dont chacun est divisé en n parts, alors nous pouvons répartir également ces m objets entre n personnes, en donnant à chaque personne une part de chacun des m objets. Dans ce cas, chaque personne aura m parts 1/n, et m parts 1/n donne une fraction ordinaire m/n. Ainsi, la fraction commune m/n peut être utilisée pour représenter la répartition de m éléments entre n personnes.

Nous avons donc obtenu un lien explicite entre les fractions ordinaires et la division (voir l'idée générale de la division des nombres naturels). Cette relation s'exprime comme suit : La barre d'une fraction peut être comprise comme un signe de division, c'est-à-dire m/n=m:n.

À l'aide d'une fraction ordinaire, vous pouvez écrire le résultat de la division de deux nombres naturels, pour lequel la division entière n'est pas effectuée. Par exemple, le résultat de la division de 5 pommes par 8 personnes peut s'écrire 5/8, c'est-à-dire que chacun recevra cinq huitièmes de pomme : 5:8=5/8.

Fractions ordinaires égales et inégales, comparaison de fractions

Une action assez naturelle est comparaison de fractions communes, car il est clair que 1/12 d'une orange est différent de 5/12, et 1/6 d'une pomme est le même que l'autre 1/6 de cette pomme.

À la suite de la comparaison de deux fractions ordinaires, l'un des résultats est obtenu: les fractions sont soit égales, soit non égales. Dans le premier cas nous avons fractions communes égales, et dans la seconde fractions communes inégales. Donnons une définition des fractions ordinaires égales et inégales.

Définition.

égal, si l'égalité a d=b c est vraie.

Définition.

Deux fractions communes a/b et c/d inégal, si l'égalité a d=b c n'est pas satisfaite.

Voici quelques exemples de fractions égales. Par exemple, la fraction commune 1/2 est égale à la fraction 2/4, puisque 1 4=2 2 (voir si nécessaire les règles et exemples de multiplication des nombres naturels). Pour plus de clarté, vous pouvez imaginer deux pommes identiques, la première est coupée en deux et la seconde - en 4 parts. Il est évident que les deux quarts d'une pomme valent 1/2 part. D'autres exemples de fractions communes égales sont les fractions 4/7 et 36/63, et la paire de fractions 81/50 et 1620/1000.

Et les fractions ordinaires 4/13 et 5/14 ne sont pas égales, puisque 4 14=56, et 13 5=65, soit 4 14≠13 5. Un autre exemple de fractions communes inégales sont les fractions 17/7 et 6/4.

Si, en comparant deux fractions ordinaires, il s'avère qu'elles ne sont pas égales, vous devrez peut-être savoir laquelle de ces fractions ordinaires moins un autre, et qui Suite. Pour le savoir, la règle de comparaison des fractions ordinaires est utilisée, dont l'essence est d'amener les fractions comparées à un dénominateur commun, puis de comparer les numérateurs. Des informations détaillées sur ce sujet sont rassemblées dans l'article comparaison de fractions: règles, exemples, solutions.

Nombres fractionnaires

Chaque fraction est un enregistrement nombre fractionnaire. Autrement dit, une fraction n'est qu'une "coquille" d'un nombre fractionnaire, son apparence, et toute la charge sémantique est contenue précisément dans un nombre fractionnaire. Cependant, pour des raisons de brièveté et de commodité, les concepts de fraction et de nombre fractionnaire sont combinés et simplement appelés fraction. Ici, il convient de paraphraser un dicton bien connu: nous disons une fraction - nous entendons un nombre fractionnaire, nous disons un nombre fractionnaire - nous entendons une fraction.

Fractions sur le faisceau de coordonnées

Tous les nombres fractionnaires correspondant aux fractions ordinaires ont leur propre place unique sur , c'est-à-dire qu'il existe une correspondance un à un entre les fractions et les points du rayon de coordonnées.

Pour arriver au point correspondant à la fraction m / n sur le rayon de coordonnées, il est nécessaire de reporter m segments de l'origine dans la direction positive, dont la longueur est de 1 / n du segment unitaire. De tels segments peuvent être obtenus en divisant un seul segment en n parties égales, ce qui peut toujours être fait à l'aide d'un compas et d'une règle.

Par exemple, montrons le point M sur le rayon de coordonnées, correspondant à la fraction 14/10. La longueur du segment avec des extrémités au point O et au point le plus proche de celui-ci, marqué d'un petit tiret, est de 1/10 du segment unitaire. Le point de coordonnée 14/10 est retiré de l'origine par 14 de ces segments.

Les fractions égales correspondent au même nombre fractionnaire, c'est-à-dire que les fractions égales sont les coordonnées du même point sur le rayon de coordonnées. Par exemple, un point correspond aux coordonnées 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 sur le rayon de coordonnées, puisque toutes les fractions écrites sont égales (il est situé à une distance de la moitié du segment unitaire, reporté de l'origine dans le sens positif).

Sur un rayon de coordonnées horizontal et dirigé vers la droite, le point dont la coordonnée est une grande fraction est situé à droite du point dont la coordonnée est une plus petite fraction. De même, le point avec la plus petite coordonnée se trouve à gauche du point avec la plus grande coordonnée.

Fractions propres et impropres, définitions, exemples

Parmi les fractions ordinaires, il y a fractions propres et impropres. Cette division a essentiellement une comparaison du numérateur et du dénominateur.

Donnons une définition des fractions ordinaires propres et impropres.

Définition.

Fraction propre est une fraction ordinaire dont le numérateur est inférieur au dénominateur, c'est-à-dire si m

Définition.

Fraction impropre est une fraction ordinaire dans laquelle le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, c'est-à-dire que si m≥n, alors la fraction ordinaire est impropre.

Voici quelques exemples de fractions propres : 1/4 , , 32 765/909 003 . En effet, dans chacune des fractions ordinaires écrites, le numérateur est inférieur au dénominateur (voir si nécessaire l'article comparaison des nombres naturels), elles sont donc correctes par définition.

Et voici des exemples de fractions impropres : 9/9, 23/4,. En effet, le numérateur de la première des fractions ordinaires écrites est égal au dénominateur, et dans les fractions restantes le numérateur est supérieur au dénominateur.

Il existe également des définitions de fractions appropriées et impropres basées sur la comparaison de fractions avec une.

Définition.

correct s'il est inférieur à un.

Définition.

La fraction commune est appelée tort, s'il est égal à un ou supérieur à 1 .

Donc la fraction ordinaire 7/11 est correcte, puisque 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 , et 27/27=1 .

Réfléchissons à la façon dont les fractions ordinaires avec un numérateur supérieur ou égal au dénominateur méritent un tel nom - "faux".

Prenons l'exemple de la fraction impropre 9/9. Cette fraction signifie que neuf parties d'un objet sont prises, qui se compose de neuf parties. C'est-à-dire qu'à partir des neuf actions disponibles, nous pouvons constituer un sujet entier. Autrement dit, la fraction impropre 9/9 donne essentiellement un objet entier, c'est-à-dire 9/9=1. En général, les fractions impropres avec un numérateur égal au dénominateur désignent un objet entier, et une telle fraction peut être remplacée par un nombre naturel 1.

Considérons maintenant les fractions impropres 7/3 et 12/4. Il est bien évident qu'à partir de ces sept tiers on peut faire deux objets entiers (un objet entier c'est 3 parts, alors pour composer deux objets entiers il faut 3 + 3 = 6 parts) et il y aura toujours un tiers part. Autrement dit, la fraction impropre 7/3 signifie essentiellement 2 éléments et même 1/3 de la part d'un tel élément. Et à partir de douze quarts, nous pouvons faire trois objets entiers (trois objets avec quatre parties chacun). Autrement dit, la fraction 12/4 signifie essentiellement 3 objets entiers.

Les exemples considérés nous amènent à la conclusion suivante : les fractions impropres peuvent être remplacées soit par des nombres naturels, lorsque le numérateur est divisé entièrement par le dénominateur (par exemple, 9/9=1 et 12/4=3), soit par la somme de un nombre naturel et une fraction propre, lorsque le numérateur n'est pas divisible par le dénominateur (par exemple, 7/3=2+1/3 ). C'est peut-être précisément ce que les fractions impropres méritent un tel nom - «faux».

La représentation d'une fraction impropre comme la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre (7/3=2+1/3) est particulièrement intéressante. Ce processus s'appelle l'extraction d'une partie entière d'une fraction impropre et mérite un examen séparé et plus attentif.

Il convient également de noter qu'il existe une relation très étroite entre les fractions impropres et les nombres fractionnaires.

Fractions positives et négatives

Chaque fraction ordinaire correspond à un nombre fractionnaire positif (voir l'article nombres positifs et négatifs). Autrement dit, les fractions ordinaires sont fractions positives. Par exemple, les fractions ordinaires 1/5, 56/18, 35/144 sont des fractions positives. Lorsqu'il est nécessaire de souligner la positivité d'une fraction, un signe plus est placé devant celle-ci, par exemple +3/4, +72/34.

Si vous mettez un signe moins devant une fraction ordinaire, alors cette entrée correspondra à un nombre fractionnaire négatif. Dans ce cas, on peut parler de fractions négatives. Voici quelques exemples de fractions négatives : −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Les fractions positives et négatives m/n et -m/n sont des nombres opposés. Par exemple, les fractions 5/7 et -5/7 sont des fractions opposées.

Les fractions positives, comme les nombres positifs en général, dénotent une augmentation, un revenu, une variation de certaines valeurs vers le haut, etc. Les fractions négatives correspondent aux dépenses, à la dette, à un changement de toute valeur dans le sens d'une diminution. Par exemple, une fraction négative -3/4 peut être interprétée comme une dette dont la valeur est de 3/4.

Sur les fractions négatives horizontales et dirigées vers la droite sont situées à gauche du point de référence. Les points de la droite de coordonnées dont les coordonnées sont la fraction positive m/n et la fraction négative -m/n sont situés à la même distance de l'origine, mais de part et d'autre du point O .

Ici, il convient de mentionner les fractions de la forme 0/n. Ces fractions sont égales au nombre zéro, c'est-à-dire 0/n=0 .

Les fractions positives, les fractions négatives et les fractions 0/n se combinent pour former des nombres rationnels.

Actions avec fractions

Une action avec des fractions ordinaires - comparer des fractions - que nous avons déjà considérée ci-dessus. Quatre autres arithmétiques sont définies opérations avec des fractions- addition, soustraction, multiplication et division de fractions. Arrêtons-nous sur chacun d'eux.

L'essence générale des actions avec des fractions est similaire à l'essence des actions correspondantes avec des nombres naturels. Faisons une analogie.

Multiplication de fractions peut être considérée comme une action dans laquelle une fraction est trouvée à partir d'une fraction. Pour clarifier, prenons un exemple. Supposons que nous ayons 1/6 de pomme et que nous devions en prendre 2/3. La partie dont nous avons besoin est le résultat de la multiplication des fractions 1/6 et 2/3. Le résultat de la multiplication de deux fractions ordinaires est une fraction ordinaire (qui, dans un cas particulier, est égale à un nombre naturel). En outre, nous vous recommandons d'étudier les informations de l'article multiplication des fractions - règles, exemples et solutions.

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