Inverser Fibonacci. Nombre d'or de Fibonacci

Les nombres de Fibonacci sont des éléments d'une séquence numérique.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, où chaque nombre suivant est égal à la somme des deux nombres précédents. Le nom vient du mathématicien médiéval Léonard de Pise (ou Fibonacci), qui a vécu et travaillé comme marchand et mathématicien dans la ville italienne de Pise. Il est l'un des scientifiques européens les plus célèbres de son époque. Parmi ses plus grandes réalisations figure l'introduction des chiffres arabes, remplaçant les chiffres romains. Fn = Fn-1 + Fn-2

La série mathématique asymptotiquement (c'est-à-dire s'approchant de plus en plus lentement) tend vers un rapport constant. Cependant, cette attitude est irrationnelle ; il a une séquence sans fin et imprévisible de valeurs décimales qui s'alignent après lui. Il ne peut jamais être exprimé avec précision. Si chaque nombre faisant partie de la série est divisé par la valeur précédente (par exemple, 13- ^ 8 ou 21 -IS), le résultat de l'action sera exprimé dans un rapport qui fluctue autour du nombre irrationnel 1,61803398875, légèrement plus ou légèrement moins que les relations voisines de la série. Le ratio ne sera jamais, à l'infini, précis jusqu'au dernier chiffre (même avec les ordinateurs les plus puissants jamais créés). Par souci de concision, nous utiliserons 1,618 comme ratio de Fibonacci et demanderons aux lecteurs de ne pas oublier cette inexactitude.

Les nombres de Fibonacci sont également importants lors de l'analyse de l'algorithme d'Euclide pour déterminer le plus grand diviseur commun de deux nombres. Les nombres de Fibonacci apparaissent dans la formule de la diagonale par le triangle de Pascal (coefficients binomiaux).

Les nombres de Fibonacci se sont avérés être associés au « nombre d'or ».

Ils connaissaient le nombre d'or même dans l'Egypte ancienne et Babylone, l'Inde et la Chine. Qu'est-ce que le « nombre d'or » ? La réponse est encore inconnue. Les nombres de Fibonacci sont vraiment pertinents pour la théorie de la pratique à notre époque. L'augmentation de l'importance a eu lieu au 20ème siècle et continue à ce jour. L'utilisation des nombres de Fibonacci en économie et en informatique a attiré de nombreuses personnes vers leur étude.

La méthodologie de ma recherche consistait à étudier la littérature spécialisée et à généraliser les informations reçues, ainsi qu'à mener mes propres recherches et à identifier les propriétés des nombres et la portée de leur utilisation.

Pendant recherche scientifique défini le concept même des nombres de Fibonacci, leurs propriétés. J'ai également découvert des modèles intéressants dans la faune, directement dans la structure des graines de tournesol.

Sur un tournesol, les graines sont disposées en spirales et le nombre de spirales allant dans l'autre sens est différent - ce sont des nombres de Fibonacci consécutifs.

Il y en a 34 et 55 sur ce tournesol.

La même chose est observée sur les fruits d'ananas, où il y a 8 et 14 spirales. propriété unique Nombres de Fibonacci liés aux feuilles de maïs.

Les fractions de la forme a/b, correspondant à la disposition hélicoïdale des feuilles des pattes de la tige de la plante, sont souvent des rapports de nombres de Fibonacci successifs. Pour le noisetier, ce rapport est de 2/3, pour le chêne - 3/5, pour le peuplier 5/8, pour le saule 8/13, etc.

Compte tenu de la disposition des feuilles sur la tige des plantes, vous pouvez voir qu'entre chaque paire de feuilles (A et C), la troisième se situe à la place de la section dorée (B)

Une autre propriété intéressante du nombre de Fibonacci est que le produit et le quotient de deux nombres différents Fibonacci autre que un n'est jamais un nombre de Fibonacci.

À la suite de mes recherches, je suis arrivé aux conclusions suivantes : les nombres de Fibonacci sont une progression arithmétique unique qui est apparue au 13ème siècle après JC. Cette progression ne perd pas de sa pertinence, ce qui s'est confirmé au cours de mes recherches. Les nombres de Fibonacci ne sont pas les mêmes dans la programmation et les prévisions économiques, dans la peinture, l'architecture et la musique. Les peintures d'artistes aussi célèbres que Léonard de Vinci, Michel-Ange, Raphaël et Botticelli cachent la magie du nombre d'or. Même I. I. Shishkin a utilisé le nombre d'or dans sa peinture "Pine Grove".

C'est difficile à croire, mais le nombre d'or se retrouve également dans les œuvres musicales de grands compositeurs comme Mozart, Beethoven, Chopin, etc.

Les nombres de Fibonacci se retrouvent également en architecture. Par exemple, le nombre d'or a été utilisé dans la construction du Parthénon et de la cathédrale Notre-Dame.

J'ai découvert que les nombres de Fibonacci sont également utilisés dans notre région. Par exemple, des plateaux de maisons, des frontons.

Cependant, ce n'est pas tout ce qui peut être fait avec le nombre d'or. Si nous divisons l'unité par 0,618, alors nous obtenons 1,618, si nous le cadrons, alors nous obtenons 2,618, si nous le cadrons, nous obtenons le nombre 4,236. Ce sont les taux d'expansion de Fibonacci. La seule chose qui manque est le nombre 3.236, qui a été proposé par John Murphy.

Que pensent les experts du séquençage

Quelqu'un pourrait dire que ces chiffres sont déjà familiers car ils sont utilisés dans des programmes d'analyse technique pour déterminer l'ampleur des retracements et des expansions. De plus, ces mêmes séries jouent un rôle important dans la théorie ondulatoire d'Eliot. Ils sont sa base numérique.

Notre expert Nikolay Gestionnaire de portefeuille vérifié de la société d'investissement Vostok.

• - Nikolay, qu'en pensez-vous, l'apparition des nombres de Fibonacci et de ses dérivées sur les cartes est-elle accidentelle ? divers instruments? Et est-il possible de dire : « La série de Fibonacci utilisation pratique" se déroule?
• - J'ai une mauvaise attitude envers le mysticisme. Et encore plus sur les graphiques boursiers. Tout a ses raisons. dans le livre "Fibonacci Levels", il a magnifiquement expliqué où apparaît le nombre d'or, qu'il n'était pas surpris qu'il apparaisse sur les graphiques des cotations boursières. Mais en vain! Dans de nombreux exemples qu'il a donnés, pi apparaît souvent. Mais pour une raison quelconque, ce n'est pas dans les rapports de prix.
• - Alors vous ne croyez pas à l'efficacité du principe d'onde Eliot ?
• - Non, ce n'est pas le sujet. Le principe des vagues est une chose. Le rapport numérique est différent. Et les raisons de leur apparition sur les tableaux de prix sont la troisième
• - Quelles sont, selon vous, les raisons de l'apparition du nombre d'or sur les graphiques boursiers ?
• - La bonne réponse à cette question peut mériter Prix ​​Nobel sur l'économie. Alors que nous pouvons deviner les vraies raisons. Ils ne sont clairement pas en harmonie avec la nature. Il existe de nombreux modèles de prix d'échange. Ils n'expliquent pas le phénomène indiqué. Mais ne pas comprendre la nature d'un phénomène ne doit pas nier le phénomène en tant que tel.
• - Et si jamais cette loi est ouverte, pourra-t-elle détruire le processus d'échange ?
• - Comme le montre la même théorie des vagues, la loi des variations des cours boursiers est de la pure psychologie. Il me semble que la connaissance de cette loi ne changera rien et ne pourra pas détruire l'échange.

Matériel fourni par le blog du webmaster Maxim.

Le chevauchement des fondements des principes mathématiques dans une variété de théories semble incroyable. C'est peut-être un fantasme ou un ajustement pour le résultat final. Attend et regarde. Une grande partie de ce qui était auparavant considéré comme inhabituel ou impossible : l'exploration spatiale, par exemple, est devenue banale et ne surprend personne. De plus, la théorie des ondes, qui peut être incompréhensible, deviendra plus accessible et compréhensible au fil du temps. Ce qui était auparavant inutile, entre les mains d'un analyste expérimenté, deviendra outil puissant prédire d'autres comportements.

Les nombres de Fibonacci dans la nature.

Regardez

Parlons maintenant de la façon dont vous pouvez réfuter le fait que la série numérique de Fibonacci est impliquée dans n'importe quel modèle de la nature.

Prenez deux autres nombres et construisez une séquence avec la même logique que les nombres de Fibonacci. C'est-à-dire que le membre suivant de la séquence est égal à la somme des deux précédents. Par exemple, prenons deux nombres : 6 et 51. Construisons maintenant une séquence, que nous terminons par deux nombres 1860 et 3009. Notez qu'en divisant ces nombres, nous obtenons un nombre proche du nombre d'or.

Dans le même temps, les nombres qui ont été obtenus en divisant d'autres paires ont diminué du premier au dernier, ce qui nous permet d'affirmer que si cette série se poursuit à l'infini, alors nous recevrons un nombre égal au nombre d'or.

Ainsi, les nombres de Fibonacci ne se démarquent pas par eux-mêmes. Il existe d'autres suites de nombres, dont il existe une infinité, qui aboutissent aux mêmes opérations que le nombre d'or phi.

Fibonacci n'était pas ésotérique. Il ne voulait pas chiffrer le mysticisme, il résolvait juste un problème ordinaire concernant les lapins. Et il a écrit une séquence de nombres qui découlait de son problème, au cours du premier, du deuxième et des autres mois, combien de lapins il y aura après la reproduction. En moins d'un an, il a reçu cette même séquence. Et je n'ai pas fait de relation. Il n'y avait pas de proportion dorée, l'attitude divine était hors de question. Tout cela a été inventé après lui à la Renaissance.

Avant les mathématiques, les mérites de Fibonacci sont énormes. Il a adopté le système des nombres des Arabes et a prouvé sa validité. Ce fut un dur et long combat. Du système de chiffre romain : lourd et peu pratique pour compter. Elle a disparu après Révolution française... Fibonacci n'a rien à voir avec le nombre d'or.

Il existe une infinité de spirales, les plus courantes sont : la spirale logarithmique naturelle, la spirale d'Archimède, la spirale hyperbolique.

Voyons maintenant la spirale de Fibonacci. Cet agrégat composite par morceaux est constitué de plusieurs quarts de cercle. Et ce n'est pas une spirale en tant que telle.

Conclusion

Peu importe combien de temps nous attendons la confirmation ou la réfutation de l'applicabilité de la série de Fibonacci en bourse, une telle pratique existe.

Des masses énormes de personnes agissent selon la règle de Fibonacci, que l'on trouve dans de nombreux terminaux d'utilisateurs. Par conséquent, que cela nous plaise ou non : les nombres de Fibonacci ont une influence sur, et nous pouvons profiter de cette influence.

Assurez-vous de lire l'article -.

Le eonardo de Pise, connu sous le nom de Fibonacci, fut le premier des grands mathématiciens d'Europe à la fin du Moyen Âge. Né à Pise dans une riche famille de marchands, il est venu aux mathématiques grâce à un besoin purement pratique d'établir des contacts d'affaires. Dans sa jeunesse, Leonardo a beaucoup voyagé, accompagnant son père en voyage d'affaires. Par exemple, on connaît son long séjour à Byzance et en Sicile. Au cours de ces voyages, il a beaucoup parlé avec les scientifiques locaux.

La série qui porte aujourd'hui son nom est née du problème des lapins, que Fibonacci a décrit dans son livre Liber abacci, écrit en 1202 :

L'homme a mis un couple de lapins dans un enclos, entouré de tous côtés par un mur. De combien de couples de lapins ce couple peut-il donner naissance en un an, si l'on sait que chaque mois, à partir du deuxième, chaque couple de lapins donne naissance à un couple ?

Vous pouvez vous assurer que le nombre de couples dans chacun des douze mois suivants du mois sera en conséquence

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

En d'autres termes, le nombre de paires de lapins crée une ligne dont chaque membre est la somme des deux précédents. Il est connu comme série Fibonacci, et les nombres eux-mêmes sont nombres de Fibonacci... Il s'avère que cette séquence possède de nombreuses propriétés intéressantes du point de vue mathématique. Voici un exemple : vous pouvez diviser une ligne en deux segments afin que le rapport entre le segment le plus grand et le plus petit soit proportionnel au rapport entre la ligne entière et le segment le plus grand. Ce rapport hauteur/largeur, d'environ 1,618, est connu sous le nom de nombre d'or... A la Renaissance, on croyait que c'était cette proportion observée dans les structures architecturales qui plaisait le plus à l'œil. Si vous prenez des paires consécutives de la série de Fibonacci et divisez le plus grand nombre de chaque paire par le plus petit, votre résultat se rapprochera progressivement du nombre d'or.

Depuis que Fibonacci a découvert sa séquence, même des phénomènes naturels ont été découverts dans lesquels cette séquence semble jouer un rôle important. L'un d'eux - phyllotaxie(disposition des feuilles) - la règle selon laquelle, par exemple, les graines sont situées dans l'inflorescence d'un tournesol. Les graines sont disposées en deux rangées de spirales, dont l'une va dans le sens des aiguilles d'une montre, l'autre dans le sens inverse. Et quel est le nombre de graines dans chaque cas ? 34 et 55.

Suite de Fibonacci. Si vous regardez les feuilles de la plante d'en haut, vous remarquerez qu'elles fleurissent en spirale. Les angles entre les feuilles adjacentes forment une série mathématique régulière connue sous le nom de séquence de Fibonacci. Grâce à cela, chaque feuille individuelle qui pousse sur l'arbre reçoit le maximum de chaleur et de lumière disponible.

Pyramides au Mexique

Non seulement les pyramides égyptiennes sont construites selon les proportions parfaites du nombre d'or, le même phénomène se retrouve dans les pyramides mexicaines. L'idée surgit que les pyramides égyptiennes et mexicaines ont été érigées à peu près en même temps par des personnes d'origine commune.
La coupe transversale de la pyramide montre une forme semblable à un escalier, avec 16 marches au premier étage, 42 marches au deuxième et 68 marches au troisième.
Ces chiffres sont basés sur le rapport de Fibonacci de la manière suivante :
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68

Après les premiers nombres de la séquence, le rapport de l'un de ses membres au suivant est d'environ 0,618 et au précédent est de 1,618. Plus le nombre ordinal d'un membre de la séquence est élevé, plus le rapport à phi, qui est un nombre irrationnel et égal à 0,618034... Le rapport entre les membres de la séquence, séparés par un nombre, est approximativement égal à 0,382 , et son nombre inverse est 2,618. En figue. 3-2 est un tableau des rapports de tous les nombres de Fibonacci de 1 à 144.

F est singulier, ce qui, ajouté à 1, donne l'inverse : 1 + 0,618 = 1 : 0,618. Cette relation des procédures d'addition et de multiplication conduit à la séquence d'équations suivante :

Si nous continuons ce processus, nous créerons des rectangles 13 par 21, 21 par 34, et ainsi de suite.

Vérifiez maintenant. Si vous divisez 13 par 8, vous obtenez 1,625. Et si vous divisez le plus grand nombre par le plus petit nombre, alors ces coefficients se rapprochent de plus en plus du nombre 1,618, connu de beaucoup de gens comme nombre d'or, un nombre qui fascine mathématiciens, scientifiques et artistes depuis des siècles.

Tableau des rapports de Fibonacci

Au fur et à mesure que la nouvelle progression grandit, les nombres forment une troisième séquence composée de nombres ajoutés au produit des quatre et du nombre de Fibonacci. Ceci est rendu possible grâce au fait. que le rapport entre les membres de la séquence à deux positions éloignées l'un de l'autre est de 4,236. où le nombre 0,236 est l'inverse de 4,236 et. aussi, la différence entre 4,236 et 4. D'autres facteurs entraînent des séquences différentes, toutes basées sur des rapports de Fibonacci.

1. Aucun des deux nombres de Fibonacci consécutifs n'a de diviseur commun.

2. Si les membres de la suite de Fibonacci sont numérotés comme 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc., nous trouvons qu'à l'exception du quatrième terme (numéro 3), le nombre de tout Fibonacci nombre qui est nombre premier(c'est-à-dire n'ayant pas d'autres diviseurs que lui-même et l'unité), est aussi simple pur. De même, à l'exception du quatrième membre de la suite de Fibonacci (numéro 3), tous les numéros de composition des membres de la suite (c'est-à-dire ceux qui ont au moins deux diviseurs sauf pour lui-même et un) correspondent à nombres composés Fibonacci, comme le montre le tableau ci-dessous. L'inverse n'est pas toujours vrai.

3. La somme de dix membres quelconques de la séquence est divisible par onze.

4. La somme de tous les nombres de Fibonacci jusqu'à un certain point de la séquence plus un est égale au nombre de Fibonacci à deux positions du dernier nombre ajouté.

5. La somme des carrés de tout terme consécutif commençant par le premier 1 sera toujours égale au dernier (de l'échantillon donné) nombre de la séquence multiplié par le terme suivant.

6. Le carré du nombre de Fibonacci moins le carré du deuxième terme de la suite dans le sens décroissant sera toujours le nombre de Fibonacci.

7. Le carré de tout nombre de Fibonacci est égal au membre précédent de la séquence multiplié par le nombre suivant dans la séquence, plus ou moins un. L'addition et la soustraction alternent au fur et à mesure que la séquence progresse.

8. La somme du carré du nombre Fn et du carré du nombre de Fibonacci suivant F est égale au nombre de Fibonacci F ,. Formule F - + F 2 = F „, applicable à triangles rectangles où la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré du côté le plus long. Sur la droite se trouve un exemple utilisant F5, F6 et Racine carrée de Fn.

10. Un des phénomènes surprenants, qui, à notre connaissance, n'a pas encore été mentionné, est que les rapports entre nombres de Fibonacci sont égaux à des nombres très proches des millièmes des autres nombres de Fibonacci, avec une différence égale au millième de un autre nombre de Fibonacci (voir Figure 3-2). Ainsi, dans le sens ascendant, le rapport de deux nombres de Fibonacci identiques est de 1, soit 0,987 plus 0,013 : les nombres de Fibonacci adjacents ont un rapport de 1,618. ou 1,597 plus 0,021 ; Les nombres de Fibonacci situés des deux côtés d'un membre de la séquence ont un rapport de 2,618, ou 2,584 plus 0,034, et ainsi de suite. Dans la direction opposée, les nombres de Fibonacci adjacents ont un rapport de 0,618. ou 0,610 plus 0,008 : les nombres de Fibonacci situés des deux côtés d'un certain membre de la séquence ont un rapport de 0,382, ou 0,377 plus 0,005 ; Les nombres de Fibonacci entre lesquels se trouvent deux membres de la séquence ont un rapport de 0,236, ou 0,233 plus 0,003 : les nombres de Fibonacci entre lesquels se trouvent trois membres de la séquence ont un rapport de 0 146.ou 0,144 plus 0,002 : les nombres de Fibonacci entre lesquels quatre les membres de la séquence sont localisés ont une relation de 0,090, ou 0,089 plus 0,001 : Les nombres de Fibonacci entre lesquels se trouvent les cinq membres de la séquence ont un rapport de 0,056. ou 0,055 plus 0,001 ; Les nombres de Fibonacci, entre lesquels il y a six à douze membres de la séquence, ont des rapports qui sont eux-mêmes des millièmes de nombres de Fibonacci, à partir de 0,034. Fait intéressant, dans cette analyse, le coefficient reliant les nombres de Fibonacci entre lesquels se situent les treize membres de la séquence relance la série à 0,001, le millième du nombre où elle a commencé ! Avec tous les calculs, nous obtenons vraiment une similitude ou "une auto-reproduction dans une série infinie", révélant les propriétés de "la connexion la plus forte parmi toutes les relations mathématiques".

Enfin, notez que (V5 + 1) / 2 = 1,618 et [\ ^ 5-1) / 2 = 0,618. où V5 = 2,236. 5 s'avère être le nombre le plus important pour le principe d'onde, et sa racine carrée est la clé mathématique du nombre φ.

Le nombre 1,618 (ou 0,618) est connu sous le nom de nombre d'or, ou nombre d'or. La proportionnalité qui lui est associée est agréable à l'œil et à l'oreille. Elle se manifeste en biologie, en musique, en peinture et en architecture. Dans un article de décembre 1975 du Smithsonian Magazine, William Hoffer a déclaré :

"... Le rapport du nombre 0,618034 à 1 est la base mathématique de la forme jouer aux cartes et le Parthénon, le tournesol et le coquillage, les vases grecs et les galaxies spirales de l'espace. Cette proportion est au cœur de tant d'œuvres d'art et d'architecture chez les Grecs. Ils l'appelaient le « juste milieu ».

Les lapins fertiles de Fibonacci apparaissent dans les endroits les plus inattendus. Les nombres de Fibonacci font sans aucun doute partie d'une harmonie naturelle mystique qui est agréable à sentir, qui a fière allure et même qui sonne bien. La musique, par exemple, est basée sur une octave de huit notes. Au piano, cela est représenté par 8 touches blanches et 5 noires - un total de 13. Ce n'est pas un hasard si l'intervalle musical qui procure le plus de plaisir à notre audition est la sixième. La note E vibre au rapport de 0,62500 à la note C. C'est juste 0,006966 du nombre d'or exact. Les proportions de la sixième transmettent des vibrations agréables à la cochlée de l'oreille moyenne, un organe qui a également la forme d'une spirale logarithmique.

L'occurrence constante des nombres de Fibonacci et de la spirale dorée dans la nature explique exactement pourquoi le rapport 0,618034 à 1 est si agréable dans l'art. Une personne voit dans l'art un reflet de la vie, qui a un juste milieu à sa base. »

La nature utilise le nombre d'or dans ses créations les plus parfaites - des plus petites comme les micro-convolutions du cerveau et les molécules d'ADN (voir Fig. 3-9), aux plus grandes comme les galaxies. Elle se manifeste également dans des phénomènes aussi divers que la croissance des cristaux, la réfraction d'un faisceau lumineux dans le verre, la structure du cerveau et du système nerveux, les constructions musicales, la structure des plantes et des animaux. La science fournit de plus en plus de preuves que la nature a un principe proportionnel primordial. À propos, vous tenez ce livre avec deux de vos cinq doigts, avec chaque doigt en trois parties. Total : cinq unités, chacune divisible par trois - une progression 5-3-5-3 similaire à celle qui sous-tend le principe des vagues.

Forme symétrique et proportionnelle, contribue à la meilleure perception visuelle et évoque un sentiment de beauté et d'harmonie. Une image holistique se compose toujours de parties des tailles différentes qui sont dans une certaine relation les uns avec les autres et avec le tout. Le nombre d'or est la plus haute manifestation de la perfection du tout et de ses parties dans la science, l'art et la nature.

Si sur exemple simple, alors la section d'or est la division du segment en deux parties dans un rapport tel que la plupart de se réfère au moindre, comme leur somme (le segment entier) au plus grand.

Si nous prenons le segment c entier comme 1, alors le segment a sera égal à 0,618, le segment b - 0,382, c'est la seule façon dont la condition du nombre d'or sera satisfaite (0,618 / 0,382 = 1,618 ; 1 / 0,618 = 1,618). Le rapport de c à a est de 2,618 et c à b est de 1,618. Ce sont tous les mêmes, déjà familiers pour nous, les ratios de Fibonacci.

Bien sûr, il y a un rectangle d'or, un triangle d'or et même un cuboïde d'or. Les proportions du corps humain dans de nombreux rapports sont proches de la section d'or.

Mais la chose la plus intéressante commence lorsque nous combinons les connaissances acquises. La figure montre clairement la relation entre la séquence de Fibonacci et le nombre d'or. Nous commençons avec deux carrés de première taille. Ajoutez un carré de deuxième taille sur le dessus. Nous peignons à côté d'un carré dont le côté est égal à la somme des côtés des deux précédents, troisième taille. Par analogie, un carré de la cinquième taille apparaît. Et ainsi de suite jusqu'à ce que vous vous ennuyiez, l'essentiel est que la longueur du côté de chaque carré suivant soit égale à la somme des longueurs des côtés des deux précédents. Nous voyons une série de rectangles dont les longueurs de côté sont des nombres de Fibonacci et, assez curieusement, ils sont appelés rectangles de Fibonacci.

Si nous traçons des lignes douces à travers les coins de nos carrés, nous n'obtenons rien de plus qu'une spirale d'Archimède, dont l'augmentation du pas est toujours uniforme.

Chaque membre de la séquence logarithmique d'or est un degré de proportion d'or ( z). Une partie de la ligne ressemble à ceci : ...z -5; z -4; z -3; z-2; z-1; z 0; z 1; z2; z 3; z 4; z 5 ... Si nous arrondissons le nombre d'or à trois chiffres, nous obtenons z = 1,618, alors la ligne ressemble à ceci : ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Chaque terme suivant peut être obtenu non seulement en multipliant le précédent par 1,618 , mais aussi en ajoutant les deux précédents. Ainsi, la croissance exponentielle dans une séquence est obtenue en ajoutant simplement deux éléments adjacents. C'est une série sans début ni fin, et c'est à cela que la séquence de Fibonacci essaie de ressembler. Ayant un début bien défini, elle s'efforce d'atteindre l'idéal, sans jamais l'atteindre. C'est la vie.

Et pourtant, à propos de tout ce qui est vu et lu, des questions bien naturelles se posent :
D'où viennent ces chiffres ? Qui est cet architecte de l'univers qui a essayé de le rendre parfait ? Était-ce jamais comme il le voulait ? Et si oui, pourquoi s'est-il égaré ? Mutation ? Choix libre? Quelle sera la prochaine? La spirale est-elle en torsion ou en détorsion ?

Après avoir trouvé la réponse à une question, vous recevrez la suivante. Vous le résoudrez, vous en recevrez deux nouveaux. Traitez-les, trois autres apparaîtront. Après les avoir résolus, vous en aurez cinq non résolus. Puis huit, puis treize, 21, 34, 55...

Il existe encore de nombreux mystères non résolus dans l'univers, dont certains scientifiques ont déjà été en mesure d'identifier et de décrire. Les nombres de Fibonacci et le nombre d'or constituent la base pour résoudre le monde qui l'entoure, en construisant sa forme et une perception visuelle optimale par une personne, à l'aide de laquelle il peut ressentir la beauté et l'harmonie.

nombre d'or

Le principe de détermination de la taille de la section dorée est à la base de la perfection du monde entier et de ses parties dans sa structure et ses fonctions, sa manifestation peut être vue dans la nature, l'art et la technologie. La doctrine du nombre d'or a été fondée à la suite d'études menées par d'anciens scientifiques sur la nature des nombres.

Il est basé sur la théorie des proportions et des rapports de divisions des segments, qui a été faite par l'ancien philosophe et mathématicien Pythagore. Il a prouvé qu'en divisant un segment en deux parties : X (le plus petit) et Y (le plus grand), le rapport du plus grand au plus petit sera égal au rapport de leur somme (le segment entier) :

Le résultat est l'équation : x 2 - x - 1 = 0, qui est résolu comme x = (1 ± 5) / 2.

Si l'on considère le rapport 1 / x, alors il est égal à 1,618…

La preuve de l'utilisation du nombre d'or par les penseurs antiques est donnée dans le livre d'Euclide "Beginnings", écrit au 3ème siècle. BC, qui a appliqué cette règle pour construire des 5-gons réguliers. Chez les pythagoriciens, cette figure est considérée comme sacrée, car elle est à la fois symétrique et asymétrique. Le pentagramme symbolisait la vie et la santé.

nombres de Fibonacci

Le célèbre livre Liber abaci d'un mathématicien italien, Léonard de Pise, plus tard connu sous le nom de Fibonacci, a été publié en 1202. Le scientifique cite pour la première fois la régularité des nombres, dans une rangée dont chaque nombre est la somme des 2 chiffres précédents. La suite des nombres de Fibonacci est la suivante :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc.

Le scientifique a également cité un certain nombre de modèles :

• Tout nombre de la série, divisé par le suivant, sera égal à une valeur qui tend vers 0,618. De plus, les premiers nombres de Fibonacci ne donnent pas un tel nombre, mais au fur et à mesure que l'on s'éloigne du début de la séquence, ce rapport deviendra de plus en plus précis.
• Si nous divisons le nombre de la série par le précédent, le résultat se précipitera à 1,618.
• Un nombre divisé par le suivant après un montrera une valeur tendant à 0,382.

Application de la connexion et des lois du nombre d'or, le nombre de Fibonacci (0,618) se retrouve non seulement en mathématiques, mais aussi dans la nature, dans l'histoire, dans l'architecture et la construction, et dans de nombreuses autres sciences.

Spirale d'Archimède et rectangle d'or

Les spirales, qui sont très courantes dans la nature, ont été étudiées par Archimède, qui en a même dérivé l'équation. La forme en spirale est basée sur les lois du nombre d'or. Lorsqu'il est détorsadé, la longueur est obtenue, à laquelle les proportions et les nombres de Fibonacci peuvent être appliqués, le pas augmente uniformément.

Le parallèle entre les nombres de Fibonacci et le nombre d'or peut être vu en construisant un « rectangle d'or » avec des côtés proportionnels à 1,618 : 1. Il est construit, passant d'un grand rectangle à de petits de sorte que les longueurs des côtés soient égales aux nombres de la rangée. Sa construction peut se faire en ordre inverse, en commençant par la case "1". Lorsque les coins de ce rectangle sont reliés par des lignes au centre de leur intersection, une spirale de Fibonacci ou spirale logarithmique est obtenue.

L'histoire de l'utilisation des proportions d'or

De nombreux monuments architecturaux antiques d'Egypte ont été érigés en utilisant des proportions dorées : les célèbres pyramides de Khéops et d'autres. La Grèce ancienne ils ont été largement utilisés dans la construction d'objets architecturaux tels que des temples, des amphithéâtres, des stades. Par exemple, de telles proportions ont été appliquées lors de la construction de l'ancien temple du Parthénon (Athènes) et d'autres objets qui sont devenus des chefs-d'œuvre de l'architecture ancienne, démontrant une harmonie basée sur des lois mathématiques.

Au cours des siècles suivants, l'intérêt pour le nombre d'or s'est calmé et les motifs ont été oubliés, mais ont repris à la Renaissance, avec le livre du moine franciscain L. Pacioli di Borgo « Proportion divine » (1509). Il contenait des illustrations de Léonard de Vinci, qui consolida le nouveau nom de « nombre d'or ». En outre, 12 propriétés du nombre d'or ont été scientifiquement prouvées et l'auteur a expliqué comment il se manifeste dans la nature, dans l'art et l'a appelé "le principe de la construction du monde et de la nature".

Homme de Vitruve Leonardo

Le dessin, avec lequel Léonard de Vinci a illustré le livre de Vitruve en 1492, représente une figure humaine dans 2 positions avec les bras écartés. La figure est inscrite dans un cercle et un carré. Ce dessin est considéré comme les proportions canoniques du corps humain (mâle), décrites par Léonard sur la base de son étude dans les traités de l'architecte romain Vitruve.

Le nombril est considéré comme le centre du corps comme un point équidistant de l'extrémité des bras et des jambes, la longueur des bras est égale à la hauteur d'une personne, la largeur maximale des épaules = 1/8 de la hauteur, la distance du haut de la poitrine aux cheveux = 1/7, du haut de la poitrine au sommet de la tête = 1/6 etc.

Depuis lors, le dessin a été utilisé comme un symbole pour montrer la symétrie interne du corps humain.

Leonardo a utilisé le terme "Golden Ratio" pour désigner les relations proportionnelles dans la figure d'une personne. Par exemple, la distance de la taille aux pieds est liée à la même distance du nombril à la couronne ainsi que la hauteur à la première longueur (de la taille vers le bas). Ce calcul se fait de manière similaire au ratio des segments lors du calcul du nombre d'or et tend vers 1,618.

Toutes ces proportions harmonieuses sont souvent utilisées par les artistes pour créer des pièces magnifiques et impressionnantes.

Études du nombre d'or aux XVIe-XIXe siècles

En utilisant le nombre d'or et les nombres de Fibonacci, travail de recherche sur la question des proportions durent depuis plus d'un siècle. Parallèlement à Léonard de Vinci, l'artiste allemand Albrecht Durer a également participé à l'élaboration de la théorie proportions correctes corps humain. Pour cela, il a même créé une boussole spéciale.

Au XVIe siècle. la question du rapport entre le nombre de Fibonacci et le nombre d'or a fait l'objet des travaux de l'astronome I. Kepler, qui fut le premier à appliquer ces règles à la botanique.

Une nouvelle "découverte" attendait le nombre d'or au XIXe siècle. avec la publication de "Aesthetic Research" du scientifique allemand Professeur Zeisig. Il a élevé ces proportions à l'absolu et a annoncé qu'elles sont universelles pour tout le monde. phénomène naturel... Il a mené des études sur un grand nombre de personnes, ou plutôt sur leurs proportions corporelles (environ 2 000), sur la base desquelles des conclusions ont été tirées sur les modèles statistiquement confirmés dans les ratios Différents composants corps : la longueur des épaules, des avant-bras, des mains, des doigts, etc.

Les objets d'art (vases, structures architecturales), les tons musicaux, les dimensions lors de l'écriture de poèmes ont également été étudiés - Zeisig a reflété tout cela à travers la longueur des segments et des nombres, il a également introduit le terme "esthétique mathématique". Après avoir reçu les résultats, il s'est avéré qu'une série de Fibonacci est obtenue.

Le nombre de Fibonacci et le nombre d'or dans la nature

Dans le monde végétal et animal, il existe une tendance à former une formation sous forme de symétrie, qui est observée dans le sens de la croissance et du mouvement. La division en parties symétriques, dans lesquelles les proportions dorées sont observées, est un modèle inhérent à de nombreuses plantes et animaux.

La nature qui nous entoure peut être décrite à l'aide des nombres de Fibonacci, par exemple :

• l'emplacement des feuilles ou des branches de toute plante, ainsi que les distances, sont liés au nombre de nombres donnés 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 et plus;
• graines de tournesol (écailles sur cônes, cellules d'ananas), disposées en deux rangées le long de spirales torsadées dans des directions différentes;
• le rapport de la longueur de la queue et du corps entier du lézard;
• la forme de l'œuf, si vous tracez une ligne conditionnellement à travers sa partie large;
• le rapport de la taille des doigts sur la main d'une personne.

Et, bien sûr, le plus formes intéressantes Ils représentent des coquilles d'escargots en spirale, des motifs sur des toiles d'araignées, le mouvement du vent dans un ouragan, une double hélice dans l'ADN et la structure des galaxies - qui incluent tous une séquence de nombres de Fibonacci.

L'utilisation du nombre d'or dans l'art

Les chercheurs à la recherche d'exemples d'utilisation du nombre d'or dans l'art examinent en détail divers objets architecturaux et peintures. Des œuvres sculpturales célèbres, dont les créateurs ont adhéré aux proportions dorées, sont connues - des statues de Zeus Olympien, d'Apollon Belvedere et

L'une des créations de Léonard de Vinci - "Portrait de Mona Lisa" - fait l'objet de recherches scientifiques depuis de nombreuses années. Ils ont découvert que la composition de l'œuvre se compose entièrement de "triangles d'or" combinés pour former une étoile pentagone régulière. Toutes les œuvres de da Vinci témoignent de la profondeur de sa connaissance de la structure et des proportions du corps humain, grâce auxquelles il a pu saisir le sourire incroyablement mystérieux de La Joconde.

Nombre d'or en architecture

A titre d'exemple, les scientifiques ont étudié les chefs-d'œuvre de l'architecture, créés selon les règles de la "section d'or": Pyramides d'Egypte, Panthéon, Parthénon, Cathédrale Notre Dame de Paris, Cathédrale Saint-Basile, etc.

Le Parthénon, l'un des plus beaux édifices de la Grèce antique (Ve siècle av. J.-C.), compte 8 colonnes et 17 sur différents côtés, le rapport entre sa hauteur et la longueur des côtés est de 0,618. Les protubérances sur ses façades sont réalisées selon le « nombre d'or » (photo ci-dessous).

L'un des scientifiques qui ont inventé et appliqué avec succès l'amélioration du système modulaire de proportions pour les objets architecturaux (le soi-disant "modulateur") était l'architecte français Le Corbusier. Le modulateur est basé sur un système de mesure associé à la division conditionnelle en parties du corps humain.

L'architecte russe M. Kazakov, qui a construit plusieurs bâtiments résidentiels à Moscou, ainsi que les bâtiments du Sénat au Kremlin et l'hôpital Golitsyn (maintenant la 1ère clinique du nom de NI Pirogov), était l'un des architectes qui ont utilisé les lois dans la conception et la construction sur le nombre d'or.

Appliquer des proportions dans les conceptions

Dans la conception de vêtements, tous les créateurs de mode créent de nouvelles images et de nouveaux modèles en tenant compte des proportions du corps humain et des règles du nombre d'or, bien que par nature, tout le monde n'ait pas des proportions idéales.

Lors de la planification aménagement paysager et la création de compositions volumétriques de parc à l'aide de plantes (arbres et arbustes), de fontaines et de petits objets architecturaux, les lois des "proportions divines" peuvent également être appliquées. Après tout, la composition du parc doit viser à créer une impression sur le visiteur, qui peut y naviguer librement et trouver un centre de composition.

Tous les éléments du parc sont dans des proportions telles qu'avec l'aide de la structure géométrique, de l'arrangement mutuel, de l'éclairage et de la lumière, pour donner à une personne l'impression d'harmonie et de perfection.

Application du nombre d'or en cybernétique et ingénierie

Les lois du nombre d'or et des nombres de Fibonacci se manifestent également dans les transitions énergétiques, dans les processus se produisant avec les particules élémentaires qui composent les composés chimiques, dans les systèmes spatiaux, dans la structure génétique de l'ADN.

Des processus similaires se produisent dans le corps humain, se manifestant dans les biorythmes de sa vie, dans l'action d'organes, par exemple le cerveau ou la vision.

Les algorithmes et les modèles de proportions dorées sont largement utilisés dans la cybernétique et l'informatique modernes. L'une des tâches simples que les programmeurs débutants doivent résoudre est d'écrire une formule et de déterminer la somme des nombres de Fibonacci jusqu'à un certain nombre à l'aide de langages de programmation.

Recherches modernes sur la théorie du nombre d'or

Depuis le milieu du 20ème siècle, l'intérêt pour les problèmes et l'influence des lois des proportions dorées sur la vie humaine s'est fortement accru, et de la part de nombreux scientifiques de professions diverses : mathématiciens, ethnos chercheurs, biologistes, philosophes, professionnels de la santé, économistes, musiciens, etc.

Depuis les années 1970, le magazine The Fibonacci Quarterly est publié aux États-Unis, où sont publiés des travaux sur ce sujet. Dans la presse, il existe des ouvrages dans lesquels les règles généralisées du nombre d'or et de la série de Fibonacci sont utilisées dans diverses branches de la connaissance. Par exemple, pour le codage d'informations, la recherche chimique, biologique, etc.

Tout cela confirme les conclusions des scientifiques anciens et modernes selon lesquelles le nombre d'or est lié de manière multilatérale aux problèmes fondamentaux de la science et se manifeste dans la symétrie de nombreuses créations et phénomènes du monde qui nous entoure.

séquence de Fibonacci, connu de tous du film "Le Da Vinci Code" - une série de nombres décrits sous la forme d'une énigme par le mathématicien italien Léonard de Pise, plus connu sous le surnom de Fibonacci, au 13ème siècle. Bref, l'essentiel de l'énigme :

Quelqu'un a mis une paire de lapins dans un certain espace confiné pour savoir combien de paires de lapins naîtront en même temps au cours de l'année, si la nature des lapins est telle que chaque mois une paire de lapins donne naissance à une autre paire, et la capacité de produire une progéniture apparaît lorsqu'ils atteignent l'âge de deux mois.

En conséquence, nous obtenons la série de nombres suivante : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , où le nombre de paires de lapins dans chacun des douze mois est indiqué, séparé par des virgules. Il peut être poursuivi indéfiniment. Son essence est que chaque nombre suivant est la somme des deux précédents.

Cette série a plusieurs caractéristiques mathématiques qui doivent être abordées. Il tend asymptotiquement (en se rapprochant de plus en plus lentement) à certains rapport constant... Cependant, ce rapport est irrationnel, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un nombre avec une séquence infinie et imprévisible de chiffres décimaux dans la partie fractionnaire. Il est impossible de l'exprimer avec précision.

Ainsi, le rapport de n'importe quel membre de la série au précédent fluctue autour du nombre 1,618 , à travers les temps puis le surpassant, puis ne l'atteignant pas. La relation avec ce qui suit s'approche de la même manière du nombre 0,618 , qui est inversement proportionnel à 1,618 ... Si nous divisons les éléments par un, nous obtenons les nombres 2,618 et 0,382 , qui sont également inversement proportionnelles. Ce sont les rapports dits de Fibonacci.

A quoi ça sert tout ça ? C'est ainsi que nous abordons l'un des phénomènes naturels les plus mystérieux. Savvy Leonardo n'a essentiellement rien découvert de nouveau, il a simplement rappelé au monde un phénomène tel que nombre d'or, ce qui n'est pas inférieur en importance au théorème de Pythagore.

Nous distinguons tous les objets qui nous entourent, y compris dans la forme. On aime certains plus, certains moins, certains repoussent complètement le look. Parfois, l'intérêt peut être dicté situation de vie, et parfois la beauté de l'objet observé. Forme symétrique et proportionnelle, contribue à la meilleure perception visuelle et évoque un sentiment de beauté et d'harmonie. Une image holistique se compose toujours de parties de tailles différentes, qui sont dans un certain rapport les unes avec les autres et avec le tout. nombre d'or- la plus haute manifestation de la perfection du tout et de ses parties dans la science, l'art et la nature.

Si, pour un exemple simple, alors la section d'or est la division d'un segment en deux parties dans un rapport dans lequel la plus grande partie se réfère au moindre, comme leur somme (le segment entier) au plus grand.

Si on prend tout le segment c par 1 , puis le segment une sera égal 0,618 , section b - 0,382 , ce n'est qu'ainsi que la condition de la section d'or sera remplie (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) ... Attitude c À une équivaut à 1,618 , une Avec À b 2,618 ... Ce sont tous les mêmes, déjà familiers pour nous, les ratios de Fibonacci.

Bien sûr, il y a un rectangle d'or, un triangle d'or et même un cuboïde d'or. Les proportions du corps humain dans de nombreux rapports sont proches de la section d'or.

Image: marcus-frings.de

Mais la chose la plus intéressante commence lorsque nous combinons les connaissances acquises. La figure montre clairement la relation entre la séquence de Fibonacci et le nombre d'or. Nous commençons avec deux carrés de première taille. Ajoutez un carré de deuxième taille sur le dessus. Nous peignons à côté d'un carré dont le côté est égal à la somme des côtés des deux précédents, troisième taille. Par analogie, un carré de la cinquième taille apparaît. Et ainsi de suite jusqu'à ce que vous vous ennuyiez, l'essentiel est que la longueur du côté de chaque carré suivant soit égale à la somme des longueurs des côtés des deux précédents. Nous voyons une série de rectangles dont les longueurs de côté sont des nombres de Fibonacci et, assez curieusement, ils sont appelés rectangles de Fibonacci.

Si nous traçons des lignes douces à travers les coins de nos carrés, nous n'obtenons rien de plus qu'une spirale d'Archimède, dont l'augmentation du pas est toujours uniforme.

Ça ne ressemble à rien ?

Photo: éthanhéine sur Flickr

Et non seulement dans la coquille du mollusque, vous pouvez trouver des spirales d'Archimède, mais dans de nombreuses fleurs et plantes, elles ne sont tout simplement pas si évidentes.

Multi-feuilles écarlate :

Photo: livres de brassage sur Flickr

Et puis il est temps de se souvenir de la section d'or ! Aucune des créations les plus fines et les plus harmonieuses de la nature n'est-elle représentée dans ces photographies ? Et ce n'est pas tout. En y regardant de plus près, vous pouvez trouver des modèles similaires sous de nombreuses formes.

Bien sûr, l'affirmation selon laquelle tous ces phénomènes sont basés sur la séquence de Fibonacci semble trop forte, mais la tendance est évidente. Et d'ailleurs, elle-même est loin d'être parfaite, comme tout dans ce monde.

On suppose que la série de Fibonacci est une tentative par nature de s'adapter à une séquence logarithmique de coupe d'or plus fondamentale et parfaite, qui est pratiquement la même, sauf qu'elle part de nulle part et ne va nulle part. La nature, cependant, a définitivement besoin d'une sorte de tout début, à partir duquel on peut pousser, elle ne peut pas créer quelque chose à partir de rien. La relation des premiers membres de la séquence de Fibonacci est loin de la section d'or. Mais plus on avance, plus ces écarts sont lissés. Pour déterminer une série, il suffit de connaître trois de ses membres se succédant. Mais juste pas pour la séquence dorée, deux suffisent pour cela, c'est une progression géométrique et arithmétique à la fois. On pourrait penser que c'est la base de toutes les autres séquences.

Chaque membre de la séquence logarithmique d'or est un degré de la proportion d'or ( z). Une partie de la ligne ressemble à ceci : ...z -5; z -4; z -3; z-2; z-1; z 0; z 1; z2; z 3; z 4; z 5 ... Si nous arrondissons le nombre d'or à trois chiffres, nous obtenons z = 1,618, alors la ligne ressemble à ceci : ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Chaque terme suivant peut être obtenu non seulement en multipliant le précédent par 1,618 , mais aussi en ajoutant les deux précédents. Ainsi, une croissance exponentielle est obtenue en ajoutant simplement deux éléments adjacents. C'est une série sans début ni fin, et c'est à cela que la séquence de Fibonacci essaie de ressembler. Ayant un début bien défini, elle s'efforce d'atteindre l'idéal, sans jamais l'atteindre. C'est la vie.

Et pourtant, à propos de tout ce qui est vu et lu, des questions bien naturelles se posent :
D'où viennent ces chiffres ? Qui est cet architecte de l'univers qui a essayé de le rendre parfait ? Était-ce jamais comme il le voulait ? Et si oui, pourquoi s'est-il égaré ? Mutation ? Choix libre? Quelle sera la prochaine? La spirale est-elle en torsion ou en détorsion ?

Après avoir trouvé la réponse à une question, vous recevrez la suivante. Vous le résoudrez, vous en recevrez deux nouveaux. Traitez-les, trois autres apparaîtront. Après les avoir résolus, vous en aurez cinq non résolus. Puis huit, puis treize, 21, 34, 55...

Sources:; ; ;