La dérivée première de la vitesse du temps. Dérivée en physique

La procédure que nous venons de réaliser est si courante en mathématiques qu’une notation spéciale a été inventée pour les quantités ε et x : ε est noté ∆t, et x par ∆s. La valeur ∆t signifie « un petit ajout à t », et il est sous-entendu que cet ajout peut être réduit. Le signe ∆ ne signifie en aucun cas une multiplication par une valeur quelconque, tout comme sin θ ne signifie pas s·i·n·0. Il s’agit simplement d’un ajout au temps, et le symbole ∆ nous rappelle son caractère particulier. Eh bien, si ∆ n’est pas un facteur, alors il ne peut pas être réduit dans le rapport ∆s/∆t. C'est la même chose que dans l'expression sin θ/sin 2θ, en annulant toutes les lettres et en obtenant 1/2. Dans ces nouvelles notations, la vitesse est égale à la limite du rapport ∆s/∆t lorsque ∆t tend vers zéro, c'est-à-dire

Il s’agit essentiellement de la formule (8.3), mais il est maintenant plus clair que tout change ici et, en plus, elle nous rappelle exactement quelles quantités changent.
Il existe une autre loi qui est respectée avec une bonne précision. Il dit : le changement de distance est égal à la vitesse multipliée par l'intervalle de temps pendant lequel ce changement s'est produit, c'est-à-dire ∆s = υ∆t. Cette règle n'est strictement valable que lorsque la vitesse ne change pas pendant l'intervalle ∆t, et cela, d'une manière générale, n'arrive que lorsque ∆t est suffisamment petit. Dans de tels cas, nous écrivons généralement ds = υdt, où par dt nous entendons l'intervalle de temps ∆t, à condition qu'il soit arbitrairement petit. Si l’intervalle ∆t est suffisamment grand, alors la vitesse peut changer pendant ce temps et l’expression ∆s = υ∆t sera déjà approximative. Cependant, si nous écrivons dt, cela implique que l’intervalle de temps est indéfiniment petit et en ce sens l’expression ds = υdt est exacte. Dans la nouvelle notation, l'expression (8.5) a la forme

La quantité ds/dt est appelée la « dérivée de s par rapport à t » (ce nom nous rappelle ce qui change), et le processus complexe de recherche de la dérivée est également appelé ; différenciation. Si ds et dt apparaissent séparément, et non sous la forme d'un rapport ds/dt, alors ils sont appelés différentiels. Pour mieux vous présenter la nouvelle terminologie, je dirai aussi que dans le paragraphe précédent nous avons trouvé la dérivée de la fonction 5t 2, ou simplement la dérivée de 5t 2. Il s'est avéré que c'était égal à 10t. À mesure que vous vous habituerez à de nouveaux mots, l’idée elle-même deviendra plus claire pour vous. Pour nous entraîner, trouvons la dérivée d'une fonction plus complexe. Considérons l'expression s = At ​​​​3 + Bt + C, qui peut décrire le mouvement d'un point. Les lettres A, B, C, tout comme dans une équation quadratique régulière, désignent des nombres constants. Nous devons trouver la vitesse de mouvement décrite par cette formule à tout instant t. Pour ce faire, considérons le moment t + ∆t, ajoutez ∆s à s et trouvez comment ∆s est exprimé par ∆t. Parce que le

Mais nous n’avons pas besoin de la valeur ∆s elle-même, mais du rapport ∆s/∆t. Après avoir divisé par ∆t on obtient l'expression

qui, après que ∆t tend vers zéro, se transformera en

Il s’agit du processus de prise des fonctions dérivées ou différenciantes. En fait, il est un peu plus léger qu’il n’y paraît à première vue. Notez que si dans des développements similaires aux précédents il y a des termes proportionnels à (∆t) 2 ou (∆t) 3 ou même à des puissances supérieures, alors ils peuvent être immédiatement barrés, puisqu'ils disparaîtront quand même quand on finira par ∆t tend vers zéro. Après un peu de pratique, vous verrez immédiatement ce qu’il faut conserver et ce qu’il faut immédiatement jeter. Il existe de nombreuses règles et formules permettant de différencier les différents types de fonctions. Vous pouvez soit les mémoriser, soit utiliser des tableaux spéciaux. Une petite liste de ces règles est donnée dans le tableau. 8.3.

Jusqu'à présent, nous avons associé la notion de dérivée à la représentation géométrique du graphe d'une fonction. Ce serait cependant une grave erreur de limiter le rôle de la notion de dérivée au seul problème de

déterminer la pente de la tangente à une courbe donnée. Une tâche encore plus importante, d’un point de vue scientifique, consiste à calculer le taux de variation de toute quantité qui change au fil du temps. C’est de ce côté que Newton a abordé le calcul différentiel. Newton a notamment cherché à analyser le phénomène de vitesse en considérant le temps et la position d'une particule en mouvement comme des variables (dans les mots de Newton, « fluents »). Lorsqu'une particule se déplace le long de l'axe des x, alors son mouvement est complètement défini, puisqu'une fonction est donnée qui indique la position de la particule x à tout instant t. Le « mouvement uniforme » avec une vitesse constante le long de l'axe x est déterminé par une fonction linéaire où a est la position de la particule au moment initial

Le mouvement d'une particule sur un plan est décrit par deux fonctions

qui déterminent ses coordonnées en fonction du temps. En particulier, deux fonctions linéaires correspondent à un mouvement uniforme

où deux « composantes » de vitesse constante, et a et c sont les coordonnées de la position initiale de la particule (la trajectoire de la particule étant une ligne droite dont l’équation est

est obtenu en éliminant les deux relations ci-dessus.

Si une particule se déplace dans le plan vertical x, y sous l'influence de la seule gravité, alors son mouvement (cela est prouvé en physique élémentaire) est déterminé par deux équations

où sont des constantes dépendant de l'état de la particule à l'instant initial, l'accélération due à la gravité est d'environ 9,81 si le temps est mesuré en secondes et la distance en mètres. La trajectoire obtenue en éliminant ces deux équations est une parabole

sauf indication contraire, la trajectoire est un segment de l'axe vertical.

Si une particule est forcée de se déplacer le long d'une courbe donnée (de la même manière qu'un train se déplace sur des rails), alors son mouvement peut être déterminé par une fonction (une fonction du temps égale à la longueur de l'arc calculée le long d'une courbe donnée à partir d'une certain point de départ vers la position de la particule au point P à un moment donné. Par exemple, si nous parlons d'un cercle unité, alors la fonction détermine un mouvement de rotation uniforme sur ce cercle avec une vitesse c.

Exercice. Tracer des trajectoires de mouvements plans donnés par les équations : dans le mouvement parabolique décrit ci-dessus, prendre la position initiale de la particule (à l'origine et considérer Trouver les coordonnées du point le plus élevé de la trajectoire. Trouver le temps et la valeur x correspondant au intersection secondaire de la trajectoire avec l'axe

Le premier objectif que Newton s'est fixé était de trouver la vitesse d'une particule se déplaçant de manière inégale. Pour simplifier, considérons le mouvement d'une particule le long d'une certaine ligne droite, spécifiée par la fonction. Si le mouvement était uniforme, c'est-à-dire effectué à une vitesse constante, alors cette vitesse pourrait être trouvée en prenant deux instants de temps et le positions correspondantes des particules et établissement du rapport

Par exemple, si mesuré en heures, et ; en kilomètres, alors la différence sera le nombre de kilomètres parcourus en 1 heure, la vitesse (kilomètres par heure). Quand on dit que la vitesse est une quantité constante, on veut seulement dire que le rapport de différence

ne change pour aucune valeur. Mais si le mouvement est inégal (ce qui se produit, par exemple, dans la chute libre d'un corps dont la vitesse augmente à mesure qu'il tombe), alors la relation (3) ne donne pas la valeur du vitesse du moment et représente ce qu'on appelle communément la vitesse moyenne dans l'intervalle de temps de à Pour obtenir la vitesse du moment il faut calculer la limite de la moyenne

vitesse lors de la tendance Ainsi, avec Newton, nous définissons la vitesse comme suit :

En d’autres termes, la vitesse est la dérivée du « chemin parcouru » (les coordonnées de la particule sur une ligne droite) par rapport au temps, ou du « taux de changement instantané » du chemin par rapport au temps – par opposition à le taux de variation moyen déterminé par la formule (3).

Le taux de changement de vitesse lui-même est appelé accélération. L'accélération est simplement la dérivée de la dérivée ; elle est généralement désignée par le symbole et est appelée la dérivée seconde de la fonction

Galilée a remarqué que la distance verticale x parcourue lors d'une chute libre d'un corps au fil du temps est exprimée par la formule

Passant aux applications physiques de la dérivée, nous utiliserons des notations légèrement différentes de celles acceptées en physique.

Premièrement, la désignation des fonctions change. Concrètement, quelles caractéristiques allons-nous différencier ? Ces fonctions sont des grandeurs physiques qui dépendent du temps. Par exemple, les coordonnées d'un corps x(t) et sa vitesse v(t) peuvent être données par des formules comme celles-ci :

Il existe une autre notation pour les dérivées, très courante en mathématiques et en physique :

(lire ¾de x par de te¿).

Arrêtons-nous plus en détail sur le sens de la notation (29). Le mathématicien l'entend de deux manières, soit comme limite :

ou sous forme de fraction dont le dénominateur est l'incrément de temps dt, et le numérateur est ce qu'on appelle le différentiel dx de la fonction x(t). Le concept de différentiel n'est pas compliqué, mais nous n'en discuterons pas maintenant ; cela vous attend dès votre première année.

Un physicien, non contraint par les exigences de rigueur mathématique, comprend la notation (29) de manière plus informelle. Soit dx le changement de coordonnée dans le temps dt. Prenons l'intervalle dt si petit que le rapport dx=dt soit proche de sa limite (30) avec une précision qui nous convient.

Et puis, dira le physicien, la dérivée de la coordonnée par rapport au temps est simplement une fraction dont le numérateur contient un changement suffisamment petit de la coordonnée dx, et le dénominateur une période de temps suffisamment petite dt pendant laquelle ce changement en coordination s'est produite. Une compréhension aussi vague de la dérivée est typique du raisonnement en physique. De plus nous adhérons à ce niveau de rigueur physique.

Revenons à l'exemple original (26) et calculons la dérivée de la coordonnée, et regardons en même temps l'utilisation conjointe des notations (28) et (29) :

x(t) = 1 + 12t 3t2 ) x(t) =dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6t :

(Le symbole de différenciation dt d avant la parenthèse est le même que le nombre premier derrière la parenthèse dans la notation précédente.)

Veuillez noter que la dérivée calculée de la coordonnée s'est avérée être égale à la vitesse du corps (27). Ce n’est pas une coïncidence et nous devons en discuter plus en détail.

2.1 Dérivée des coordonnées

Tout d’abord, notons que la vitesse en (27) peut être soit positive, soit négative. A savoir, la vitesse est positive à t< 2, обращается в нуль при t = 2 и становится отрицательной при t > 2.

Qu'est-ce que ça veut dire? C'est très simple : nous n'avons pas affaire à la valeur absolue de la vitesse, mais à la projection vx du vecteur vitesse sur l'axe X. Ainsi, au lieu de (27), il serait plus correct d'écrire :

Si vous avez oublié ce qu'est la projection d'un vecteur sur un axe, alors lisez la section correspondante de l'article ¾ Vecteurs en physique¿. On rappelle ici seulement que le signe de la projection vx reflète la relation entre la direction de la vitesse et la direction de l'axe X :

vx > 0, le corps se déplace dans la direction de l'axe X ; vx< 0 , тело движется против оси X.

(Par exemple, si vx = 3 m/s, cela signifie que le corps se déplace à une vitesse de 3 m/s dans la direction opposée à l'axe X.)

Par conséquent, dans notre exemple (31), nous avons le film suivant : à t< 2 тело движется в положительном направлении оси X и постепенно замедляется; при t = 0 тело останавливается; при t >2, le corps, en accélérant, se déplace dans le sens négatif de l'axe X.

Supposons que la vitesse du corps soit égale à v en valeur absolue. Il existe deux cas possibles de sens de déplacement.

1. Si le corps se déplace dans la direction positive de l’axe X, alors le petit changement de la coordonnée dx est positif et égal au chemin parcouru par le corps dans le temps dt. C'est pourquoi

x = dx dt = v :

2. Si le corps se déplace dans la direction négative de l’axe X, alors dx< 0. Путь за время dt равен dx, поэтому dx=dt = v или

x = dx dt = v :

Notez maintenant que dans le premier cas vx = v, et dans le second cas vx = v. Ainsi, les deux cas sont combinés en une seule formule :

et nous arrivons au fait le plus important : la dérivée des coordonnées du corps est égale à la projection de la vitesse du corps sur un axe donné.

Il est facile de voir que le signe de la fonction croissante (décroissante) fonctionne. À savoir:

x > 0) vx > 0) le corps se déplace dans la direction de l'axe X) la coordonnée x augmente ; X< 0) vx < 0) тело двигается против оси X) координата x уменьшается:

2.2 Accélération

La vitesse d'un corps caractérise la vitesse de changement de ses coordonnées. Mais la vitesse peut aussi changer plus lentement ou plus rapidement. Le taux de variation de la vitesse est caractérisé par une grandeur physique appelée accélération.

Supposons, par exemple, que la vitesse d'une voiture avec une accélération uniforme augmente de v0 = 2 m/s à v = 14 m/s en un temps t = 3 s. L'accélération de la voiture est calculée par la formule :

Ainsi, en une seconde, la vitesse de la voiture augmente de 4 m/s.

Quelle est l'accélération si la vitesse, au contraire, diminue de v0 = 14 m/s à v = 2 m/s pendant le même temps t = 3 s ? Puis en utilisant la formule (33) on obtient :

En une seconde, comme on le voit, la vitesse diminue de 4 m/s.

Peut-on parler d’accélération si la vitesse change de manière inégale ? Bien sûr, c'est possible, mais seulement ce sera une accélération instantanée, qui dépend aussi du temps. Le schéma de raisonnement vous est déjà bien connu : dans la formule (33) au lieu de l'intervalle de temps t on prend un petit intervalle dt, au lieu de la différence v v0 on prend l'incrément de vitesse dv sur le temps dt, et par conséquent on obtient :

Il s’avère donc que l’accélération est une dérivée de la vitesse.

La formule (34) ne décrit cependant pas toutes les situations qui se présentent en mécanique. Par exemple, avec un mouvement uniforme dans un cercle, la vitesse du corps ne change pas en amplitude, et conformément à (34) nous aurions dû obtenir a = v = 0. Mais vous savez très bien que le corps a une accélération, il est dirigé vers le centre du cercle et est appelé centripète. Par conséquent, la formule (34) nécessite quelques modifications.

Cette modification est due au fait que l’accélération est en réalité un vecteur. Il s'avère que le vecteur accélération montre la direction du changement de vitesse du corps. Nous allons maintenant découvrir ce que cela signifie à l’aide d’exemples simples.

Laissez le corps se déplacer le long de l'axe X. Considérons deux cas de direction d'accélération : respectivement le long de l'axe X et contre l'axe X.

1. Le vecteur accélération ~a est aligné sur l’axe X (Fig. 18 ). La projection de l'accélération sur l'axe X est positive : ax > 0.

Riz. 18. hache > 0

DANS Dans ce cas, la vitesse évolue dans le sens positif de l'axe X. A savoir :

Si un corps se déplace vers la droite (vx > 0), alors il accélère : la vitesse du corps augmente en valeur absolue. La projection de la vitesse vx augmente également.

Si le corps se déplace vers la gauche (vx< 0), то оно тормозит: скорость тела по модулю уменьшается. Но обратите внимание, что проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом увеличивается.

Ainsi, si ax > 0, alors la projection de la vitesse vx augmente indépendamment de

dans quelle direction le corps se déplace.

2. Le vecteur accélération ~a est dirigé à l’opposé de l’axe X (Fig. 19 ). La projection de l'accélération sur l'axe X est négative : ax< 0.

Riz. 19.ax< 0

DANS Dans ce cas, la vitesse évolue dans le sens négatif de l'axe X. A savoir :

Si un corps se déplace vers la droite (vx > 0), alors il ralentit : la vitesse du corps diminue en valeur absolue. La projection de la vitesse vx diminue également.

Si le corps se déplace vers la gauche (vx< 0), то оно разгоняется: скорость тела по модулю увеличивается. Но проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом уменьшается.

Ainsi, si la hache< 0, то проекция скорости vx убывает, и опять-таки вне зависимости от того, в каком направлении движется тело.

Le lien entre le signe de la projection d'accélération ax et l'augmentation (diminution) de la projection de vitesse vx découverte dans ces exemples nous amène à la nécessaire modification de la formule (34) :

Exemple. Revenons à l'exemple (26) :

x = 1 + 12t 3t2

(les coordonnées sont mesurées en mètres, le temps en secondes). En différenciant systématiquement deux fois, on obtient :

vx = x = 12 6t;

hache = vx = 6 :

Comme on peut le constater, l’accélération est constante en valeur absolue et égale à 6 m/s2. L'accélération est dirigée dans la direction opposée à l'axe X.

L'exemple donné est le cas d'un mouvement uniformément accéléré, dans lequel l'amplitude et la direction de l'accélération sont inchangées (ou, en bref, ~a = const). Le mouvement uniformément accéléré est l’un des types de mouvement les plus importants et les plus fréquents en mécanique.

À partir de cet exemple, il est facile de comprendre qu’avec un mouvement uniformément accéléré, la projection de la vitesse est une fonction linéaire du temps et la coordonnée est une fonction quadratique.

Exemple. Considérons un cas plus exotique :

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3 .

La dérivée d'une coordonnée par rapport au temps est la vitesse. x"(t)=v(t) Signification physique de la dérivée

La dérivée de la vitesse par rapport au temps ou la dérivée seconde de la coordonnée par rapport au temps est l'accélération. une(t)=v "(t)=x""(t)

Un point se déplace le long d'une ligne de coordonnées selon la loi x(t)= t²+t+2, où x(t) est la coordonnée du point à l'instant t (le temps se mesure en secondes, la distance en mètres). A quel moment la vitesse du point sera-t-elle de 5 m/s ? Solution : La vitesse d'un point au temps t est la dérivée de la coordonnée par rapport au temps. Puisque v(t) = x"(t) = 2t+1 et v = 5 m/s, alors 2t +1= 5 t=2 Réponse : 2.

Lors du freinage, le volant tourne d'un angle φ (t) = 6 t- t² radians en t secondes. Trouver la vitesse angulaire ω de rotation du volant au temps t=1s. (φ (t) - angle en radians, ω (t) - vitesse en rad/s, t - temps en secondes). Solution : ω (t) = φ "(t) ω (t) = 6 – 2t t = 1 s. ω (1) = 6 – 2 × 1 = 4 rad/s Réponse :4.

Lorsqu'un corps se déplace en ligne droite, sa vitesse v(t) selon la loi v(t)=15+8 t -3t² (t est le temps de mouvement du corps en secondes). Quelle sera l'accélération de le corps (en m/s²) une seconde après le début du mouvement ? Solution : v(t)=15+8t-3t² a(t)=v"(t) a(t)=8-6t t=1 a(1)=2 m/s² Réponse : 2.

Application de la dérivée aux problèmes physiques. La charge traversant la section transversale du conducteur est calculée par la formule q(t)=2t 2 -5t. Trouvez l'intensité du courant à t = 5c. Solution : i(t)=q"(t) i(t)=4t-5 t=5 i(5)=15 A. Réponse : 15.

Lorsqu'un corps se déplace en ligne droite, la distance s(t) depuis le point de départ M change selon la loi s(t)=t 4 -4t 3 -12t +8 (t est le temps en secondes). Quelle sera l’accélération du corps (en m/s 2) après 3 secondes ? Solution. a(t)=v "(t)=s""(t). Trouvons v(t)=s"(t)=(t 4 -4t 3 -12t +8)" =4t 3 -12t a( t )=v "(t)= s""(t)= (4t 3 -12t 2 -12)" =12t 2 -24t, a(3)=12× ×3=108-72=36m/s 2 Réponse : 36.