Quel est le graphique de la fonction de proportionnalité inverse. Relation inverse

1 leçon sur le sujet

Effectué :

Telegina L.B.

Le but de la leçon :

1. répéter tout le matériel étudié par fonction.
2. introduire la définition proportion inverse et apprendre à construire son emploi du temps.
3. développer une pensée logique.
4. pour éduquer l'attention, l'exactitude, l'exactitude.

Plan de cours:

1. Répétition.
2. Explication du nouveau matériel.
3. Éducation physique.
4. Ancrage.

Matériel : affiches.

Pendant les cours :

1. La leçon commence par la répétition. Les élèves sont invités à résoudre une grille de mots croisés (préparée à l'avance sur une grande feuille de papier).

Questions de mots croisés :

1. Dépendance entre variables, dans laquelle chaque valeur de la variable indépendante correspond à une seule valeur de la variable dépendante. [Fonction].

2. Variable indépendante. [Argument].

3. L'ensemble des points du plan de coordonnées de l'abscisse, qui sont égaux aux valeurs de l'argument, et les ordonnées sont les valeurs de la fonction. [Calendrier].

4. La fonction donnée par la formule y = kx + b. [Linéaire].

5. Quel est le coefficient appelé le nombre k dans la formule y = kx + b? [Coin].

6. Quel est le graphique d'une fonction linéaire ? [Droit].

7. Si k 0, alors le graphe y = kx + b coupe cet axe, et si k = 0, alors il lui est parallèle. Quelle lettre cet axe est-il désigné ? [X].

8. Le mot au nom de la fonction y = kx? [Proportionnalité].

9. Fonction donnée par la formule y = x 2. [Quadratique].

10. Le nom du graphe de la fonction quadratique. [Parabole].

11. Lettre alphabet latin, qui est souvent appelée fonction. [Joueur].

12. Une façon de définir une fonction. [Formule].

Prof : Quelles sont les principales manières de définir une fonction que nous connaissons ?

(Un élève reçoit une tâche au tableau : remplir le tableau des valeurs de la fonction 12/x en fonction des valeurs données de son argument, puis construire les points correspondants sur le plan de coordonnées).

Les autres répondent aux questions du professeur : (qui sont pré-écrites au tableau)

1. Quels sont les noms des fonctions suivantes donnés par les formules : y = kx, y = kx + b, y = x 2, y = x 3 ?

2. Spécifiez le domaine des fonctions suivantes : y = x 2 +8, y = 1 / x-7, y = 4x-1/5, y = 2x, y = 7-5x, y = 2 / x, y = x 3, y = -10 / x.

Ensuite, les élèves travaillent sur la table en répondant aux questions posées par l'enseignant :

1. Quelle figure du tableau montre les graphiques :

a) fonction linéaire ;

b) proportionnalité directe ;

c) une fonction quadratique ;

d) fonctions de la forme y = kx 3 ?

2. Quel est le signe du coefficient k dans les formules de la forme y = kx + b, qui correspondent aux graphiques des figures 1, 2, 4, 5 du tableau ?

3. Trouver des graphiques dans le tableau fonctions linéaires avec pentes :

a) sont égaux ;

b) de grandeur égale et de signe opposé.

(Ensuite, toute la classe vérifie si l'élève, appelé au tableau, a rempli le tableau et placé les points sur le plan de coordonnées).

2. L'explication commence par la motivation.

Prof: Comme vous le savez, toute fonction décrit certains processus qui se déroulent dans le monde qui nous entoure.

Considérons, par exemple, un rectangle avec des côtés x et y et une aire de 12 cm 2 ... On sait que x * y = 12, mais que se passera-t-il si vous commencez à changer l'un des côtés du rectangle, disons un côté de longueur X?

Longueur du côté y peut être trouvé à partir de la formule y = 12 / x. Si X augmenter de 2 fois, alors il aura y = 12 / 2x, c'est-à-dire côté oui diminuera de 2 fois. Si la valeur X augmenter de 3, 4, 5 ... fois, puis la valeur oui diminuera du même montant. Au contraire, si X diminuer plusieurs fois, puis oui augmentera du même montant. (Travailler sur la table).

Par conséquent, une fonction de la forme y = 12 / x est appelée proportionnalité inverse. V vue générale il s'écrit y = k / x, où k est une constante et k 0.

C'est le sujet de la leçon d'aujourd'hui, consigné dans des cahiers. Je donne une définition stricte. Pour la fonction y = 12 / x, qui est une forme particulière de proportionnalité inverse, nous avons déjà noté dans le tableau un certain nombre de valeurs de l'argument et de la fonction et représenterons les points correspondants sur le plan de coordonnées. A quoi ressemble le graphique de cette fonction ? Il est difficile de juger l'ensemble du graphique par les points construits, car les points peuvent être connectés comme vous le souhaitez. Essayons ensemble de tirer des conclusions sur le graphe de fonction, découlant de la considération du tableau et de la formule.

Questions à la classe :

1. Quel est le domaine de la fonction y = 12 / x ?
2. Les valeurs y sont positives ou négatives si

a) x

b) x> 0 ?

3. Comment la valeur d'une variable change oui avec un changement de valeur X?

Donc,

1. le point (0,0) n'appartient pas au graphe, c'est-à-dire il ne coupe ni les axes OX ni les axes OY ;
2. le graphique est en quarts de coordonnées Ι et ΙΙΙ ;
3. approche en douceur les axes de coordonnées à la fois dans le du quart de coordonnée et dans ΙΙΙ, et il approche les axes aussi près que vous le souhaitez.

Ayant cette information, on peut déjà relier les points de la figure (l'enseignant le fait lui-même au tableau) et voir l'ensemble du graphique de la fonction y = 12 / x. La courbe résultante est appelée hyperbole, ce qui signifie en grec "Je traverse quelque chose". Cette courbe a été découverte par les mathématiciens de l'école grecque antique vers le 4ème siècle avant JC. Le terme hyperbole a été introduit par Apollonius de la ville de Pergame (Asie Mineure), qui a vécu au ΙΙΙ-ΙΙ siècle. AVANT JC.

Maintenant à côté du graphique de la fonction y = 12 / x, nous allons tracer le graphique de la fonction y = -12 / x. (Les élèves effectuent cette tâche dans des cahiers et un élève au tableau.)

En comparant les deux graphiques, les élèves remarquent que le second est en 2 et 4 quarts de coordonnées. De plus, si le graphique de la fonction y = 12 / x est affiché symétriquement par rapport à l'axe OU, alors le graphique de la fonction y = -12 / x sera obtenu.

Question : Comment l'emplacement du graphe de l'hyperbole y = k / x dépend-il du signe et de la valeur du coefficient k ?

Les élèves sont convaincus que si k> 0, alors le graphique est situé dans Ι et coordonne les quarts, et si k

1. L'enseignant fait de l'éducation physique.

1. La consolidation de l'étude a lieu lors de l'exécution de №180, 185 du manuel.

1. La leçon, l'évaluation, les devoirs se résument : clause 8 n° 179, 184.

2 cours sur le sujet

"Fonction de proportionnalité inverse et son graphique."

Effectué :

Telegina L.B.

Le but de la leçon :

1. consolider l'habileté de tracer la fonction de proportionnalité inverse;
2. développer l'intérêt pour le sujet, la pensée logique;
3. éduquer l'indépendance, l'attention.

Plan de cours:

1. Contrôle d'exécution devoirs.
2. Travail oral.
3. Résoudre les problèmes.
4. Éducation physique.
5. Travail indépendant à plusieurs niveaux.
6. Résumé, évaluations, devoirs.

Matériel : cartes.

Pendant les cours :

1. L'enseignant annonce le sujet de la leçon, les objectifs et le plan de la leçon.

Ensuite, deux élèves complètent les nombres attribués 179, 184 au tableau.

1. Le reste des élèves travaille frontalement en répondant aux questions de l'enseignant.

Des questions:

• Donner la définition de la fonction de proportionnalité inverse.
• Quel est le graphique de la fonction de proportionnalité inverse.
• Comment l'emplacement du graphe de l'hyperbole y = k / x dépend-il de la valeur du coefficient k ?

Tâches:

1. Parmi les fonctions définies par des formules, nommez les fonctions de proportionnalité inverse :

a) y = x 2 +5, b) y = 1 / x, c) y = 4x-1, d) y = 2x, e) y = 7-5x, f) y = -11 / x, g) y = x 3, h) y = 15 / x-2.

2. Pour les fonctions de proportionnalité inverse, nommez le coefficient et indiquez dans quels quartiers se situe le graphique.

3. Trouvez le domaine des fonctions de proportionnalité inverse.

(Les élèves utilisent ensuite un crayon pour comparer les devoirs de chacun avec les solutions numériques vérifiées par l'enseignant au tableau et donnent une note.)

Travail frontal sur le manuel n°190, 191, 192, 193 (oral).

1. Exécution dans les cahiers et au tableau du manuel n° 186 (b), 187 (b), 182.

4. L'enseignant dirige l'éducation physique.

5. Travail indépendant donné en trois versions de difficulté variable (distribuées sur cartes).

c. (poids léger).

Tracez la fonction proportionnelle inverse y = -6 / x à l'aide du tableau :

À l'aide du graphique, trouvez :

a) la valeur de y, si x = - 1,5 ; 2 ;

b) la valeur de x à laquelle y = - 1 ; 4.

c. (difficulté moyenne)

Tracez la fonction de proportionnalité inverse y = 16 / x, après avoir rempli le tableau.

À l'aide du graphique, trouvez à quelles valeurs xy> 0.

c. (augmentation de la difficulté)

Tracez la fonction de proportionnalité inverse y = 10 / x-2, après avoir rempli le tableau.

Trouver le domaine de la fonction donnée.

(Les élèves remettent des feuilles avec des graphiques construits pour vérification).

6. Résume la leçon, l'évaluation, le devoir : n° 186 (a), 187 (a).

Premier niveau

Relation inverse... Premier niveau.

Nous allons maintenant parler de relation inverse, ou en d'autres termes - de proportionnalité inverse, en tant que fonction. Vous souvenez-vous qu'une fonction est une sorte d'addiction ? Si vous n'avez pas encore lu le sujet, je vous recommande fortement de tout laisser tomber et de le lire, car vous ne pouvez pas étudier une fonction spécifique sans comprendre ce que c'est - une fonction.

Il est également très utile de maîtriser deux fonctions plus simples avant de commencer ce sujet : et. Vous y consoliderez le concept d'une fonction et apprendrez à travailler avec des coefficients et des graphiques.

Alors, vous souvenez-vous de ce qu'est une fonction ?
Nous le répétons : une fonction est une règle selon laquelle chaque élément d'un ensemble (argument) est associé à un ( le seul!) un élément d'un autre ensemble (un ensemble de valeurs d'une fonction). C'est-à-dire que si vous avez une fonction, cela signifie que pour chaque valeur valide d'une variable (appelée "argument"), il y a une valeur de variable (appelée "fonction"). Que signifie « acceptable » ? Si vous ne pouvez pas répondre à cette question, revenez à nouveau au sujet "" ! Tout est dans le concept "domaine": pour certaines fonctions, tous les arguments ne sont pas également utiles et peuvent être substitués dans la dépendance. Par exemple, les valeurs d'argument négatives ne sont pas autorisées pour une fonction.

Fonction inverse

C'est une fonction de la forme, où.

D'une autre manière, on l'appelle proportionnalité inverse : une augmentation d'un argument entraîne une diminution proportionnelle de la fonction.
Définissons la portée. A quoi peut-il être égal ? Ou, en d'autres termes, à quoi ne peut-il être égal ?

Le seul nombre qui ne peut pas être divisé est donc :

ou, ce qui est le même,

(une telle notation signifie qu'il peut s'agir de n'importe quel nombre, sauf : le signe "" désigne un ensemble de nombres réels, c'est-à-dire tous les nombres possibles ; le signe "" désigne l'exclusion de quelque chose de cet ensemble (analogue au "moins " parenthèses signifie juste un nombre ; il s'avère que nous excluons de tous les nombres possibles).

L'ensemble de valeurs de la fonction s'avère être exactement le même: après tout, si, alors en quoi nous le divisons, cela ne fonctionnera pas:

Certaines variantes de la formule sont également possibles. Par exemple, c'est aussi une fonction qui décrit une relation inverse.
Déterminez vous-même le domaine de définition et la plage de valeurs de cette fonction. Tu devrais obtenir:

Jetons un oeil à cette fonction :. Est-ce inversement lié ?

À première vue, il est difficile de dire : après tout, avec une augmentation, à la fois le dénominateur de la fraction et le numérateur augmentent, il n'est donc pas clair si la fonction diminuera, et si oui, diminuera-t-elle proportionnellement ? Pour comprendre cela, nous devons transformer l'expression afin qu'il n'y ait pas de variable dans le numérateur :

En effet, nous avons une relation inverse, mais avec une mise en garde :.

Voici un autre exemple :.

C'est plus difficile ici : après tout, le numérateur et le dénominateur ne sont certainement pas annulés maintenant. Mais on peut quand même essayer :

Comprenez-vous ce que j'ai fait ? Au numérateur, j'ai ajouté et soustrait le même nombre (), donc je n'ai pas semblé avoir changé quoi que ce soit, mais maintenant le numérateur a une partie égale au dénominateur. Maintenant, je vais diviser par terme, c'est-à-dire que je vais diviser cette fraction en la somme de deux fractions :

(et la vérité est que si nous ramenons ce que j'ai à un dénominateur commun, nous n'obtenons que notre fraction initiale) :

Wow! Il s'avère à nouveau relation inverse, ce n'est que maintenant que le nombre y est ajouté.
Cette méthode nous sera très utile plus tard lors du traçage.

Apportez maintenant vous-même les expressions sous la forme d'une relation inverse :

Réponses:

2. Ici, vous devez vous rappeler comment trinôme carré est décomposé en facteurs (ceci est décrit en détail dans la rubrique ""). Permettez-moi de vous rappeler que pour cela, vous devez trouver les racines du correspondant équation quadratique:. Je les trouverai oralement en utilisant le théorème de Vieta :,. Comment c'est fait? Vous pouvez l'apprendre en lisant le sujet.
On obtient donc :, donc :

3. Avez-vous déjà essayé de le résoudre vous-même ? Quel est le piège? Sûrement dans ce que nous avons au numérateur et au dénominateur - c'est simple. Ce n'est pas grave. Nous devrons abréger par, donc le numérateur doit être exclu des parenthèses (de sorte que, entre parenthèses, il s'avère sans coefficient):

Graphique de relation inverse

Comme toujours, commençons par le cas le plus simple :.
Faisons un tableau :

Dessinons des points sur le plan de coordonnées :

Maintenant, vous devez les connecter en douceur, mais comment ? On peut voir que les points des côtés droit et gauche forment des lignes courbes qui semblent ne pas être reliées les unes aux autres. C'est comme ça. Le graphique ressemblera à ceci :

Ce graphique s'appelle "hyperbole"(il y a quelque chose comme une "parabole" dans ce nom, non ?). Comme une parabole, une hyperbole a deux branches, mais elles ne sont pas reliées entre elles. Chacun d'eux s'efforce avec ses extrémités d'approcher les axes et, mais ne les atteint jamais. Si vous regardez de loin la même hyperbole, vous obtenez l'image suivante :

C'est compréhensible : puisque le graphique ne peut pas traverser l'axe. Mais aussi, pour que le graphique ne touche jamais l'axe.

Eh bien, voyons maintenant ce que les coefficients affectent. Considérez ces fonctions :
:

Waouh, quelle beauté !
Tous les graphiques sont tracés Couleurs différentes pour les distinguer plus facilement les unes des autres.

Alors, qu'allons-nous regarder en premier? Par exemple, si la fonction a un moins devant la fraction, alors le graphique est inversé, c'est-à-dire qu'il est affiché symétriquement par rapport à l'axe.

Deuxièmement : plus le nombre au dénominateur est grand, plus le graphique « s'éloigne » de l'origine.

Mais que se passe-t-il si la fonction semble plus complexe, par exemple ?

Dans ce cas, l'hyperbole sera exactement la même que l'habituelle, seulement elle se déplacera légèrement. Réfléchissons où ?

Qu'est-ce qui ne peut pas être égal maintenant? Droit, . Cela signifie que le graphique n'atteindra jamais la ligne droite. Et qu'est-ce qui ne peut pas être égal ? Maintenant. Cela signifie que maintenant le graphique tendra vers une ligne droite, mais il ne la traversera jamais. Donc, maintenant, les lignes droites jouent le même rôle que les axes de coordonnées jouent pour une fonction. De telles lignes droites sont appelées asymptote(lignes vers lesquelles le graphique tend, mais n'atteint pas) :

Plus en détail sur la façon dont ces graphiques sont construits, nous apprendrons dans le sujet.

Essayez maintenant de résoudre quelques exemples de consolidation :

1. La figure montre le graphique de la fonction. Définir.

2. La figure montre le graphique de la fonction. Définir

3. La figure montre le graphique de la fonction. Définir.

4. La figure montre le graphique de la fonction. Définir.

5. La figure montre les graphiques des fonctions et.

Choisissez le bon rapport :

Réponses:

Relation inverse dans la vie

Où trouve-t-on une telle fonction en pratique ? Il existe de nombreux exemples. Le plus courant est le mouvement : plus la vitesse à laquelle nous nous déplaçons est élevée, moins il nous faudra de temps pour parcourir la même distance. En effet, rappelons la formule de la vitesse : où est la vitesse, est le temps de parcours, est la distance (chemin).

De là, vous pouvez exprimer l'heure :

Exemple:

Une personne se rend au travail à une vitesse moyenne de km/h, et arrive dans une heure. Combien de minutes passera-t-il sur la même route s'il roule à une vitesse de km/h ?

Solution:

En général, vous avez déjà résolu de tels problèmes en 5e et 6e année. Vous avez fait la proportion :

C'est-à-dire que le concept de proportionnalité inverse vous est certainement familier. Alors on s'est souvenu. Et maintenant la même chose, seulement de manière adulte : à travers la fonction.

Fonction (c'est-à-dire dépendance) du temps en minutes par rapport à la vitesse :

On sait que, alors :

Besoin de trouver:

Trouvez maintenant vous-même quelques exemples de vie, dans lesquels il y a une proportion inverse.
A inventé? Bravo si oui. Bonne chance!

DÉPENDANCE INVERSE. BREF SUR LE PRINCIPAL

1. Définition

Fonction inverse est une fonction de la forme, où.

D'une autre manière, cette fonction est appelée proportionnalité inverse, car une augmentation de l'argument provoque une diminution proportionnelle de la fonction.

ou, ce qui est le même,

Le graphique inverse est une hyperbole.

2. Coefficients, et.

Responsable de "Planéité" et direction du graphe: plus ce coefficient est grand, plus l'hyperbole est éloignée de l'origine des coordonnées, et, par conséquent, elle « tourne » moins brusquement (voir figure). Le signe du coefficient affecte les quartiers dans lesquels se trouve le graphique :

• si, alors les branches de l'hyperbole sont situées dans et dans les quartiers;
• si, alors dans et.

x = a est asymptote verticale, c'est-à-dire la verticale vers laquelle tend le graphique.

Le nombre est responsable du déplacement du graphique de la fonction vers le haut d'un montant, si, et vers le bas, si.

Il est donc asymptote horizontale.

Passons en revue la théorie sur les fonctions. Une fonction est une règle selon laquelle chaque élément d'un ensemble (argument) est associé à un ( le seul!) un élément d'un autre ensemble (un ensemble de valeurs d'une fonction). Autrement dit, s'il existe une fonction \ (y = f (x) \), cela signifie que chaque valeur admissible de la variable \ (X \)(qui s'appelle "argument") correspond à une valeur de la variable \ (y \)(appelée "fonction").

Fonction inverse

C'est une fonction de la forme \ (y = \ frac (k) (x) \) Où \ (k \ ne 0. \)

D'une autre manière, on l'appelle proportionnalité inverse : une augmentation d'un argument entraîne une diminution proportionnelle de la fonction.
Définissons le domaine de définition. Que peut être \ (x \) ? Ou, en d'autres termes, à quoi ne peut-il être égal ?

Le seul nombre qui ne peut pas être divisé par est 0, donc \ (x \ ne 0. \):

\ (D (y) = (- \ infty; 0) \ cup (0; + \ infty) \)

ou, ce qui est le même :

\ (D (y) = R \ barre oblique inverse \ (0 \). \)

Cette notation signifie que \ (x \) peut être n'importe quel nombre sauf 0 : le signe "R" désigne un ensemble de nombres réels, c'est-à-dire tous les nombres possibles ; le signe "\" dénote l'exclusion de quelque chose de cet ensemble (analogue au signe "moins"), et le nombre 0 entre accolades signifie juste le nombre 0 ; il s'avère que de tous les nombres possibles, nous excluons 0.

L'ensemble de valeurs de la fonction s'avère être exactement le même: après tout, si \ (k \ ne 0. \), alors peu importe ce que nous le divisons, 0 ne fonctionnera pas:

\ (E (y) = (- \ infty; 0) \ cup (0; + \ infty) \)

ou \ (E (y) = R \ barre oblique inverse \ (0 \). \)

Certaines variantes de la formule sont également possibles \ (y = \ frac (k) (x) \)... Par exemple, \ (y = \ frac (k) ((x + a)) \) Est également une fonction qui décrit une relation inverse. La portée et la portée de cette fonction sont les suivantes :

\ (D (y) = (- \ infty; - a) \ cup (- a; + \ infty) \)

\ (E (y) = (- \ infty; 0) \ cup (0; + \ infty). \)

Envisager Exemple, on amène l'expression sous la forme d'une relation inverse :

\ (y = \ frac ((x + 2)) ((x - 3)). \)

\ (y = \ frac ((x + 2)) ((x - 3)) = \ frac ((x - 3 + 3 + 2)) ((x - 3)) = \ frac (((x - 3 ) + 5)) ((x - 3)). \)

Nous avons introduit artificiellement la valeur 3 dans le numérateur, et maintenant nous divisons le numérateur par le dénominateur terme par terme, nous obtenons :

\ (y = \ frac (((x - 3) + 5)) ((x - 3)) = \ frac ((x - 3)) ((x - 3)) + \ frac (5) ((x - 3)) = 1 + \ frac (5) ((x - 3)).\)

Vous avez une relation inverse plus le nombre 1.

Graphique de relation inverse

Commençons par un cas simple \ (y = \ frac (1) (x). \)

Créons un tableau de valeurs :

Dessinons des points sur le plan de coordonnées :

Nous connectons les points, le graphique ressemblera à ceci:

Ce graphique s'appelle "hyperbole"... Comme une parabole, une hyperbole a deux branches, mais elles ne sont pas connectées l'une à l'autre. Chacun d'eux tend à se rapprocher des axes avec ses extrémités Bœuf et Oy mais ne les atteint jamais.

Notons quelques caractéristiques de la fonction :

1. Si la fonction a un moins devant la fraction, alors le graphique est inversé, c'est-à-dire qu'il est affiché symétriquement par rapport à l'axe Bœuf.
2. Plus le nombre au dénominateur est grand, plus le graphique "s'éloigne" de l'origine.

Relation inverse dans la vie

Où trouve-t-on une telle fonction en pratique ? Il existe de nombreux exemples. Le plus courant est le mouvement : plus la vitesse à laquelle nous nous déplaçons est élevée, moins il nous faudra de temps pour parcourir la même distance. Rappelons la formule de vitesse :

\ (v = \ frac (S) (t), \)

où v - vitesse, t - temps de trajet, S - distance (chemin).

De là, vous pouvez exprimer l'heure : \ (t = \ frac (S) (v). \)

Aujourd'hui, nous verrons quelles quantités sont appelées proportionnelles inverses, à quoi ressemble le graphique proportionnel inverse et comment tout cela peut vous être utile non seulement dans les cours de mathématiques, mais aussi en dehors des murs de l'école.

Des proportions si différentes

Proportionnalité appeler deux quantités qui dépendent l'une de l'autre.

La dépendance peut être directe et inverse. Par conséquent, la relation entre les quantités décrit la proportionnalité directe et inverse.

Proportionnalité directe- il s'agit d'une telle dépendance de deux quantités, dans laquelle une augmentation ou une diminution de l'une entraîne une augmentation ou une diminution de l'autre. Celles. leur attitude ne change pas.

Par exemple, plus vous consacrez d'efforts à la préparation des examens, plus vos notes sont élevées. Ou, plus vous emportez de choses avec vous en randonnée, plus il est difficile de porter votre sac à dos. Celles. l'effort consacré à la préparation des examens est directement proportionnel aux notes obtenues. Et le nombre de choses emballées dans un sac à dos est directement proportionnel à son poids.

Proportion inverse- il s'agit d'une dépendance fonctionnelle, dans laquelle une diminution ou une augmentation de plusieurs fois d'une quantité indépendante (appelée un argument) provoque une augmentation ou une diminution proportionnelle (c'est-à-dire du même montant) d'une quantité dépendante (c'est ce qu'on appelle une fonction) .

Illustrons exemple simple... Vous voulez acheter des pommes au marché. Les pommes sur le comptoir et la somme d'argent dans votre portefeuille sont en proportion inverse. Celles. plus vous achetez de pommes, moins il vous restera d'argent.

Fonction et son graphe

La fonction de proportionnalité inverse peut être décrite comme y = k / x... Dans lequel X 0 et k≠ 0.

Cette fonction a les propriétés suivantes :

1. Son domaine est l'ensemble de tous les nombres réels, sauf X = 0. ré(oui): (-∞; 0) U (0; + ).
2. La plage est tous les nombres réels sauf oui= 0. E (y) : (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. N'a pas de valeurs les plus élevées et les plus basses.
4. Il est impair et son graphique est symétrique par rapport à l'origine.
5. Non périodique.
6. Son graphique ne croise pas les axes de coordonnées.
7. N'a pas de zéros.
8. Si k> 0 (c'est-à-dire que l'argument augmente), la fonction diminue proportionnellement à chacun de ses intervalles. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Comme argument ( k> 0) les valeurs négatives de la fonction sont dans l'intervalle (-∞; 0), et les positives - (0; + ∞). Comme argument ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Le graphique de la fonction de proportionnalité inverse s'appelle une hyperbole. Représenté comme suit :

Problèmes de proportionnalité inverse

Pour que ce soit plus clair, décomposons quelques tâches. Ils ne sont pas trop compliqués et leur solution vous aidera à visualiser ce qu'est la proportion inverse et comment cette connaissance peut être utile dans votre vie de tous les jours.

Problème numéro 1. La voiture roule à une vitesse de 60 km/h. Il lui a fallu 6 heures pour atteindre sa destination. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir la même distance s'il se déplace à une vitesse 2 fois supérieure ?

On peut commencer par écrire une formule qui décrit la relation entre le temps, la distance et la vitesse : t = S/V. D'accord, cela nous rappelle beaucoup la fonction de proportionnalité inverse. Et cela indique que le temps que la voiture passe sur le chemin, et la vitesse à laquelle elle se déplace, sont en proportion inverse.

Pour s'en convaincre, trouvons V 2, qui est 2 fois plus élevé par condition : V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Ensuite, nous calculons la distance en utilisant la formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Maintenant, il est assez facile de trouver le temps t 2 qui nous est demandé d'après l'énoncé du problème : t 2 = 360/120 = 3 heures.

Comme vous pouvez le constater, le temps de trajet et la vitesse sont en réalité inversement proportionnels : avec une vitesse 2 fois supérieure à la vitesse initiale, la voiture passera 2 fois moins de temps sur la route.

La solution à ce problème peut également être écrite sous forme de proportions. Pourquoi, d'abord, établissons le schéma suivant:

↓ 60 km/h - 6h

↓ 120 km/h - x h

Les flèches indiquent une relation inversement proportionnelle. Et ils suggèrent également que lors de la composition de la proportion, la partie droite du disque doit être retournée : 60/120 = x/6. D'où nous obtenons x = 60 * 6/120 = 3 heures.

Problème numéro 2. L'atelier emploie 6 ouvriers qui peuvent faire face à une quantité de travail donnée en 4 heures. Si le nombre de travailleurs est réduit de moitié, combien de temps faudra-t-il à ceux qui restent pour faire la même quantité de travail ?

Écrivons les conditions du problème sous la forme d'un schéma visuel :

↓ 6 ouvriers - 4 heures

↓ 3 ouvriers - x h

Écrivons-le en proportion : 6/3 = x / 4. Et nous obtenons x = 6 * 4/3 = heures 8. Si le nombre de travailleurs devient 2 fois moins, le reste passera 2 fois plus de temps à faire tout le travail.

Problème numéro 3. Il y a deux tuyaux menant à la piscine. Par un seul tuyau, l'eau s'écoule à un débit de 2 l/s et remplit la piscine en 45 minutes. Un autre tuyau remplira la piscine en 75 minutes. A quelle vitesse l'eau pénètre-t-elle dans la piscine par ce tuyau ?

Pour commencer, ramenons toutes les données selon l'état du problème de la valeur aux mêmes unités de mesure. Pour ce faire, on exprime le taux de remplissage de la piscine en litres par minute : 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Comme il découle de la condition que la piscine se remplit plus lentement par le deuxième tuyau, cela signifie que le débit d'entrée d'eau est plus faible. La proportionnalité inverse est évidente. Nous exprimons la vitesse inconnue en fonction de x et établissons le schéma suivant :

120 l/min - 45 min

x l / min - 75 min

Et puis on fera la proportion : 120 / x = 75/45, d'où x = 120 * 45/75 = 72 l / min.

Dans le problème, le taux de remplissage de la piscine est exprimé en litres par seconde, nous ramènerons la réponse que nous avons reçue à la même forme : 72/60 = 1,2 l/s.

Problème numéro 4. Les cartes de visite sont imprimées dans une petite imprimerie privée. Un employé de l'imprimerie travaille à une vitesse de 42 cartes de visite par heure et travaille à temps plein - 8 heures. S'il travaillait plus vite et imprimait 48 cartes de visite en une heure, à quelle heure pourrait-il rentrer chez lui ?

Nous suivons le chemin éprouvé et établissons un diagramme en fonction de la condition du problème, en notant la valeur souhaitée par x :

↓ 42 cartes / heure - 8 heures

↓ 48 cartes / h - x h

Nous avons devant nous une relation inversement proportionnelle : combien de fois plus de cartes de visite un employé imprime-t-il par heure, autant de temps qu'il lui faudra pour effectuer le même travail. Sachant cela, faisons la proportion :

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7h.

Ainsi, ayant terminé le travail en 7 heures, l'employé de l'imprimerie pouvait rentrer chez lui une heure plus tôt.

Conclusion

Il nous semble que ces problèmes de proportionnalité inverse sont vraiment simples. Nous espérons que vous les voyez maintenant de cette façon aussi. Et surtout, la connaissance du dos relation proportionnelle les valeurs peuvent vraiment vous être utiles plus d'une fois.

Pas seulement dans les cours de mathématiques et les examens. Mais même dans ce cas, lorsque vous prévoyez de partir en voyage, faire du shopping, décider de gagner de l'argent pendant les vacances, etc.

Dites-nous dans les commentaires quels exemples de dépendance proportionnelle inverse et directe vous remarquez autour de vous. Que ce soit un tel jeu. Vous verrez à quel point c'est excitant. N'oubliez pas de partager cet article dans réseaux sociaux pour que vos amis et camarades de classe puissent jouer aussi.

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