Déterminez les coordonnées des foyers de l'ellipse en ligne. P.2

L'équation canonique d'une ellipse a la forme

où a est le demi-grand axe ; b - demi-axe mineur. Les points F1(c,0) et F2(-c,0) − c sont appelés

a, b - demi-axes de l'ellipse.

Recherche des foyers, excentricité, directrice d'une ellipse si son équation canonique est connue.

Définition d'une hyperbole. Foyers d'hyperbole.

Définition. Une hyperbole est un ensemble de points dans un plan pour lequel le module de la différence des distances à deux points donnés, appelés foyers, est une valeur constante, inférieure à la distance entre les foyers.

Par définition, |r1 – r2|= 2a. F1, F2 sont les foyers de l'hyperbole. F1F2 = 2c.

L'équation canonique d'une hyperbole. Demi-axes d'une hyperbole. Construction d'une hyperbole si son équation canonique est connue.

Équation canonique :

Le demi-grand axe de l'hyperbole est la moitié de la distance minimale entre les deux branches de l'hyperbole, sur les côtés positifs et négatifs de l'axe (gauche et droite par rapport à l'origine). Pour une branche située du côté positif, le demi-axe sera égal à :

Si nous l'exprimons en termes de section conique et d'excentricité, alors l'expression prendra la forme :

Recherche des foyers, excentricité, directrice d'une hyperbole si son équation canonique est connue.

Excentricité d'une hyperbole

Définition. Le rapport est appelé l'excentricité de l'hyperbole, où c -

la moitié de la distance entre les foyers, et est le véritable demi-axe.

En tenant compte du fait que c2 - a2 = b2 :

Si a \u003d b, e \u003d, alors l'hyperbole est appelée équilatérale (équilatérale).

Directrices d'hyperbole

Définition. Deux droites perpendiculaires à l'axe réel de l'hyperbole et situées symétriquement par rapport au centre à une distance a / e de celui-ci sont appelées les directrices de l'hyperbole. Leurs équations sont :

Théorème. Si r est la distance d'un point arbitraire M de l'hyperbole à un foyer, d est la distance du même point à la directrice correspondant à ce foyer, alors le rapport r/d est une valeur constante égale à l'excentricité.

Définition d'une parabole. Foyer et directrice d'une parabole.

Parabole. Une parabole est le lieu des points dont chacun est également distant d'un point fixe donné et d'une ligne fixe donnée. Le point mentionné dans la définition est appelé le foyer de la parabole, et la ligne droite est appelée sa directrice.

L'équation canonique d'une parabole. paramètre de parabole. Construction d'une parabole.

L'équation canonique d'une parabole dans un repère rectangulaire est : (ou si les axes sont inversés).

La construction d'une parabole pour une valeur donnée du paramètre p s'effectue dans l'ordre suivant :

Tracez l'axe de symétrie de la parabole et posez-y le segment KF=p ;

La directrice DD1 est tracée par le point K perpendiculaire à l'axe de symétrie ;

Le segment KF est divisé en deux pour obtenir le sommet 0 de la parabole ;

Un certain nombre de points arbitraires 1, 2, 3, 5, 6 sont mesurés à partir du haut avec une distance progressivement croissante entre eux ;

Par ces points, des lignes auxiliaires sont tracées perpendiculairement à l'axe de la parabole ;

Sur les lignes droites auxiliaires, les empattements sont réalisés avec un rayon égal à la distance de la ligne droite à la directrice ;

Les points résultants sont reliés par une courbe lisse.

Lignes du second ordre.
Ellipse et son équation canonique. Cercle

Après une étude approfondie lignes droites dans l'avion nous continuons à étudier la géométrie du monde à deux dimensions. L'enjeu est doublé et je vous invite à visiter la galerie pittoresque des ellipses, hyperboles, paraboles, typiques représentants de lignes de second ordre. La visite a déjà commencé, et d'abord, une brève information sur l'ensemble de l'exposition aux différents étages du musée :

Le concept de droite algébrique et son ordre

Une ligne sur un plan s'appelle algébrique, si dans système de coordonnées affines son équation a la forme , où est un polynôme composé de termes de la forme ( est un nombre réel, sont des entiers non négatifs).

Comme vous pouvez le voir, l'équation d'une ligne algébrique ne contient pas de sinus, cosinus, logarithmes et autres beau monde fonctionnel. Seuls "x" et "y" dans entier non négatif degrés.

Ordre de ligne est égal à la valeur maximale des termes qui y sont inclus.

D'après le théorème correspondant, la notion de droite algébrique, ainsi que son ordre, ne dépendent pas du choix système de coordonnées affines , donc, pour la facilité d'être, nous considérons que tous les calculs ultérieurs ont lieu dans Coordonnées cartésiennes .

Équation générale la ligne de second ordre a la forme , où sont des nombres réels arbitraires (il est d'usage d'écrire avec un multiplicateur - "deux"), et les coefficients ne sont pas simultanément égaux à zéro.

Si , alors l'équation se simplifie en , et si les coefficients ne sont pas simultanément égaux à zéro, alors c'est exactement équation générale d'une droite "plate" , qui représente première ligne de commande.

Beaucoup ont compris le sens des nouveaux termes, mais néanmoins, pour assimiler à 100% le matériau, nous enfonçons nos doigts dans la douille. Pour déterminer l'ordre des lignes, parcourez tous les termes ses équations et pour chacune d'elles trouver somme des puissances variables entrantes.

Par exemple:

le terme contient "x" au 1er degré ;
le terme contient "Y" à la 1ère puissance ;
il n'y a pas de variables dans le terme, donc la somme de leurs puissances est nulle.

Voyons maintenant pourquoi l'équation définit la ligne seconde ordre:

le terme contient "x" au 2ème degré ;
le terme a la somme des degrés des variables : 1 + 1 = 2 ;
le terme contient "y" au 2ème degré ;
tous les autres termes - moindre diplôme.

Valeur maximale : 2

Si nous ajoutons en plus à notre équation, disons, , alors cela déterminera déjà ligne de troisième ordre. Il est évident que la forme générale de l'équation de la droite du 3e ordre contient un « ensemble complet » de termes, dont la somme des degrés des variables est égale à trois :
, où les coefficients ne sont pas simultanément égaux à zéro.

Dans le cas où un ou plusieurs termes appropriés sont ajoutés qui contiennent , alors nous parlerons de Lignes de 4ème ordre, etc.

Nous devrons traiter plus d'une fois les lignes algébriques des 3e, 4e et plus, en particulier lorsque nous nous familiariserons avec système de coordonnées polaires .

Mais revenons à l'équation générale et rappelons ses variations scolaires les plus simples. Les exemples sont la parabole, dont l'équation peut être facilement réduite à une forme générale, et l'hyperbole avec une équation équivalente. Cependant, tout n'est pas si lisse ....

Un inconvénient important de l'équation générale est qu'il n'est presque toujours pas clair quelle ligne elle définit. Même dans le cas le plus simple, vous ne réaliserez pas immédiatement qu'il s'agit d'une hyperbole. De telles dispositions ne sont bonnes que lors d'une mascarade, par conséquent, au cours de la géométrie analytique, un problème typique est considéré réduction de l'équation de droite du 2ème ordre à la forme canonique .

Quelle est la forme canonique d'une équation ?

Il s'agit de la forme standard généralement acceptée de l'équation, lorsqu'en quelques secondes, il devient clair quel objet géométrique elle définit. De plus, la forme canonique est très pratique pour résoudre de nombreux problèmes pratiques. Ainsi, par exemple, selon l'équation canonique "plat" droit , d'une part, il est immédiatement clair qu'il s'agit d'une droite, et d'autre part, le point qui lui appartient et le vecteur directeur sont simplement visibles.

Évidemment, tout 1ère ligne de commande représente une ligne droite. Au deuxième étage, ce n'est plus un concierge qui nous attend, mais une compagnie beaucoup plus diversifiée de neuf statues :

Classification des lignes de second ordre

À l'aide d'un ensemble spécial d'actions, toute équation de ligne du second ordre est réduite à l'un des types suivants :

(et sont des nombres réels positifs)

1) est l'équation canonique de l'ellipse ;

2) est l'équation canonique de l'hyperbole ;

3) est l'équation canonique de la parabole ;

4) – imaginaire ellipse;

5) - une paire de lignes qui se croisent ;

6) - couple imaginaire lignes d'intersection (avec le seul point d'intersection réel à l'origine);

7) - une paire de lignes parallèles ;

8) - couple imaginaire lignes parallèles;

9) est une paire de lignes coïncidentes.

Certains lecteurs peuvent avoir l'impression que la liste est incomplète. Par exemple, au paragraphe numéro 7, l'équation définit la paire direct , parallèle à l'axe, et la question se pose : où est l'équation qui détermine les droites parallèles à l'axe y ? Réponse : il pas considéré comme canon. Les lignes droites représentent le même cas standard tourné de 90 degrés, et une entrée supplémentaire dans la classification est redondante, car elle ne comporte rien de fondamentalement nouveau.

Ainsi, il existe neuf et seulement neuf types différents de lignes de 2ème ordre, mais en pratique les plus courantes sont ellipse, hyperbole et parabole .

Regardons d'abord l'ellipse. Comme d'habitude, je me concentre sur les points qui sont d'une grande importance pour la résolution de problèmes, et si vous avez besoin d'une dérivation détaillée de formules, de preuves de théorèmes, veuillez vous référer, par exemple, au manuel de Bazylev / Atanasyan ou Aleksandrov.

Ellipse et son équation canonique

Orthographe ... veuillez ne pas répéter les erreurs de certains utilisateurs de Yandex qui s'intéressent à "comment construire une ellipse", "la différence entre une ellipse et un ovale" et "l'excentricité des elebs".

L'équation canonique d'une ellipse a la forme , où sont des nombres réels positifs, et . Je formulerai la définition d'une ellipse plus tard, mais pour l'instant, il est temps de faire une pause et de résoudre un problème courant :

Comment construire une ellipse ?

Oui, prenez-le et dessinez-le. La tâche est courante et une partie importante des étudiants ne maîtrise pas parfaitement le dessin:

Exemple 1

Construire une ellipse donnée par l'équation

Solution: on ramène d'abord l'équation à la forme canonique :

Pourquoi apporter ? L'un des avantages de l'équation canonique est qu'elle permet de déterminer instantanément sommets d'ellipse, qui sont aux points . Il est facile de voir que les coordonnées de chacun de ces points satisfont l'équation .

Dans ce cas :


Section appelé grand axe ellipse;
section – petit axe;
numéro appelé demi-grand axe ellipse;
numéro – demi-petit axe.
dans notre exemple : .

Pour imaginer rapidement à quoi ressemble telle ou telle ellipse, il suffit de regarder les valeurs de "a" et "be" de son équation canonique.

Tout va bien, net et beau, mais il y a une mise en garde : j'ai terminé le dessin en utilisant le programme. Et vous pouvez dessiner avec n'importe quelle application. Cependant, dans la dure réalité, un morceau de papier à carreaux se trouve sur la table et des souris dansent autour de nos mains. Les personnes ayant un talent artistique, bien sûr, peuvent discuter, mais vous avez aussi des souris (quoique plus petites). Ce n'est pas en vain que l'humanité a inventé une règle, un compas, un rapporteur et d'autres appareils simples pour dessiner.

Pour cette raison, il est peu probable que nous soyons en mesure de dessiner avec précision une ellipse, en ne connaissant que les sommets. Toujours d'accord, si l'ellipse est petite, par exemple, avec des demi-axes. Alternativement, vous pouvez réduire l'échelle et, par conséquent, les dimensions du dessin. Mais dans le cas général, il est hautement souhaitable de trouver des points supplémentaires.

Il existe deux approches pour construire une ellipse - géométrique et algébrique. Je n'aime pas construire avec un compas et une règle à cause de l'algorithme court et de l'encombrement important du dessin. En cas d'urgence, merci de vous référer au manuel, mais en réalité il est beaucoup plus rationnel d'utiliser les outils de l'algèbre. A partir de l'équation de l'ellipse sur le brouillon, on exprime rapidement :

L'équation est alors divisée en deux fonctions :
– définit l'arc supérieur de l'ellipse ;
– définit l'arc inférieur de l'ellipse.

L'ellipse donnée par l'équation canonique est symétrique par rapport aux axes de coordonnées, ainsi que par rapport à l'origine. Et c'est génial - la symétrie est presque toujours le signe avant-coureur d'un cadeau. Évidemment, il suffit de traiter le 1er quart de coordonnée, il nous faut donc une fonction . Il propose de trouver des points supplémentaires avec des abscisses . Nous tapons trois SMS sur la calculatrice :

Bien sûr, il est également agréable que si une grave erreur est commise dans les calculs, cela deviendra immédiatement clair lors de la construction.

Marquez des points sur le dessin (rouge), des points symétriques sur les autres arcs (bleu) et reliez soigneusement toute l'entreprise par une ligne :


Il est préférable de dessiner finement et finement l'esquisse initiale, puis d'appliquer une pression sur le crayon. Le résultat devrait être une ellipse assez décente. Au fait, voudriez-vous savoir quelle est cette courbe ?

Définition d'une ellipse. Foyers d'ellipse et excentricité d'ellipse

Une ellipse est un cas particulier d'ovale. Le mot "ovale" ne doit pas être compris au sens philistin ("l'enfant a dessiné un ovale", etc.). Il s'agit d'un terme mathématique avec une formulation détaillée. Le but de cette leçon n'est pas de considérer la théorie des ovales et leurs différents types, qui ne sont pratiquement pas pris en compte dans le cours standard de géométrie analytique. Et, conformément aux besoins plus actuels, on passe immédiatement à la définition stricte d'une ellipse :

Ellipse- c'est l'ensemble de tous les points du plan, la somme des distances à chacun desquels de deux points donnés, appelés des trucs ellipse, est une valeur constante, numériquement égale à la longueur du grand axe de cette ellipse : .
Dans ce cas, la distance entre les foyers est inférieure à cette valeur : .

Maintenant, cela deviendra plus clair :

Imaginez que le point bleu "roule" sur une ellipse. Ainsi, quel que soit le point de l'ellipse que nous prenons, la somme des longueurs des segments sera toujours la même :

Assurons-nous que dans notre exemple la valeur de la somme est bien égale à huit. Placez mentalement le point "em" au sommet droit de l'ellipse, puis : , qui devait être vérifié.

Une autre façon de dessiner une ellipse est basée sur la définition d'une ellipse. Les mathématiques supérieures, parfois, sont la cause de tension et de stress, il est donc temps d'avoir une autre séance de déchargement. Veuillez prendre un morceau de papier ou une grande feuille de carton et épinglez-le sur la table avec deux clous. Ce seront des astuces. Attachez un fil vert aux têtes de clous saillantes et tirez-le complètement avec un crayon. Le cou du crayon sera à un moment donné, qui appartient à l'ellipse. Commencez maintenant à guider le crayon sur la feuille de papier, en gardant le fil vert très tendu. Continuez le processus jusqu'à ce que vous reveniez au point de départ ... excellent ... le dessin peut être soumis pour vérification par le médecin au professeur =)

Comment trouver le foyer d'une ellipse ?

Dans l'exemple ci-dessus, j'ai représenté des points de focalisation "prêts", et nous allons maintenant apprendre à les extraire des profondeurs de la géométrie.

Si l'ellipse est donnée par l'équation canonique , alors ses foyers ont pour coordonnées , où est-ce distance de chacun des foyers au centre de symétrie de l'ellipse.

Les calculs sont plus faciles que les navets cuits à la vapeur :

! Avec le sens "ce", il est impossible d'identifier les coordonnées spécifiques des tours ! Je le répète, c'est DISTANCE de chaque foyer au centre(qui dans le cas général n'a pas besoin d'être situé exactement à l'origine).
Et, par conséquent, la distance entre les foyers ne peut pas non plus être liée à la position canonique de l'ellipse. En d'autres termes, l'ellipse peut être déplacée vers un autre endroit et la valeur restera inchangée, tandis que les astuces, bien sûr, changeront leurs coordonnées. Veuillez garder cela à l'esprit lorsque vous approfondissez le sujet.

L'excentricité d'une ellipse et sa signification géométrique

L'excentricité d'une ellipse est un rapport qui peut prendre des valeurs à l'intérieur de .

Dans notre cas:

Découvrons comment la forme d'une ellipse dépend de son excentricité. Pour ça fixer les sommets gauche et droit de l'ellipse considérée, c'est-à-dire que la valeur du demi-grand axe restera constante. Alors la formule d'excentricité prendra la forme : .

Commençons à approximer la valeur de l'excentricité à l'unité. Ceci n'est possible que si . Qu'est-ce que ça veut dire? ...se souvenir des tours . Cela signifie que les foyers de l'ellipse se "disperseront" le long de l'axe des abscisses jusqu'aux sommets latéraux. Et, puisque "les segments verts ne sont pas en caoutchouc", l'ellipse commencera inévitablement à s'aplatir, se transformant en une saucisse de plus en plus fine enfilée sur l'axe.

De cette façon, plus l'excentricité de l'ellipse est proche de un, plus l'ellipse est oblongue.

Simulons maintenant le processus inverse : les foyers de l'ellipse allaient l'un vers l'autre, se rapprochant du centre. Cela signifie que la valeur de "ce" diminue et, par conséquent, l'excentricité tend vers zéro : .
Dans ce cas, les "segments verts", au contraire, "deviendront encombrés" et ils commenceront à "pousser" la ligne de l'ellipse de haut en bas.

De cette façon, plus la valeur d'excentricité est proche de zéro, plus l'ellipse ressemble à... regardez le cas limite où les foyers sont réunis avec succès à l'origine :

Un cercle est un cas particulier d'ellipse

En effet, dans le cas de l'égalité des demi-axes, l'équation canonique de l'ellipse prend la forme, qui se transforme réflexivement en l'équation du cercle bien connue de l'école avec le centre à l'origine du rayon "a".

En pratique, la notation avec la lettre "parlante" "er" est plus souvent utilisée :. Le rayon est appelé la longueur du segment, tandis que chaque point du cercle est éloigné du centre par la distance du rayon.

Notez que la définition d'une ellipse reste tout à fait correcte : les foyers appariés, et la somme des longueurs des segments appariés pour chaque point du cercle est une valeur constante. Comme la distance entre les foyers est l'excentricité de tout cercle est nulle.

Un cercle se construit facilement et rapidement, il suffit de s'armer d'un compas. Néanmoins, il est parfois nécessaire de connaître les coordonnées de certains de ses points, dans ce cas nous suivons le chemin familier - nous apportons l'équation à la forme joyeuse de Matan:

est la fonction du demi-cercle supérieur ;
est la fonction du demi-cercle inférieur.

Ensuite, nous trouvons les valeurs souhaitées, différentiable , intégrer et faire d'autres bonnes choses.

L'article, bien sûr, est à titre indicatif, mais comment peut-on vivre sans amour dans le monde ? Tâche créative pour une solution indépendante

Exemple 2

Composer l'équation canonique d'une ellipse si l'un de ses foyers et le demi-petit axe sont connus (le centre est à l'origine). Trouvez des sommets, des points supplémentaires et tracez une ligne sur le dessin. Calculer l'excentricité.

Solution et dessin à la fin de la leçon

Ajoutons une action :

Faire pivoter et translater une ellipse

Revenons à l'équation canonique de l'ellipse, c'est-à-dire à la condition dont l'énigme tourmente les esprits curieux depuis la première mention de cette courbe. Ici, nous avons considéré une ellipse , mais en pratique l'équation ne peut pas ? Après tout, ici, cependant, cela ressemble aussi à une ellipse!

Une telle équation est rare, mais elle se rencontre. Et il définit une ellipse. Dissipons le mystique :

À la suite de la construction, notre ellipse native est obtenue, tournée de 90 degrés. C'est-à-dire, - ce entrée non canonique ellipse . Enregistrement!- l'équation ne spécifie aucune autre ellipse, car il n'y a pas de points (foyers) sur l'axe qui satisferaient à la définition d'une ellipse.

Théorème. Dans le système de coordonnées canonique d'une ellipse, l'équation de l'ellipse a la forme :

Preuve. Nous allons effectuer la preuve en deux temps. Dans un premier temps, nous prouverons que les coordonnées de tout point situé sur l'ellipse satisfont l'équation (4). À la deuxième étape, nous prouverons que toute solution de l'équation (4) donne les coordonnées d'un point situé sur l'ellipse. De là, il s'ensuit que l'équation (4) est satisfaite par ceux et seulement ces points du plan de coordonnées qui se trouvent sur l'ellipse. De là et de la définition de l'équation de la courbe, il s'ensuit que l'équation (4) est l'équation d'une ellipse.

1) Soit le point M(x, y) un point de l'ellipse, c'est-à-dire la somme de ses rayons focaux est 2a :

Nous utilisons la formule de la distance entre deux points sur le plan de coordonnées et trouvons les rayons focaux d'un point M donné à l'aide de cette formule :

Où obtient-on :

Déplaçons une racine vers la droite de l'égalité et mettons-la au carré :

En réduisant, on obtient :

Nous en donnons des semblables, réduisons par 4 et isolons le radical :

.

Nous concilions

Ouvrir les parenthèses et abréger en :

d'où l'on tire :

En utilisant l'égalité (2), on obtient :

.

En divisant la dernière égalité par , on obtient l'égalité (4), etc.

2) Maintenant, supposons qu'une paire de nombres (x, y) satisfasse l'équation (4) et que M(x, y) soit le point correspondant sur le plan de coordonnées Oxy.

Alors de (4) il suit :

On substitue cette égalité dans l'expression des rayons focaux du point M :

.

Ici, nous avons utilisé l'égalité (2) et (3).

De cette façon, . Également, .

Remarquons maintenant qu'il résulte de l'égalité (4) que

Ou, etc , alors l'inégalité suivante s'ensuit :

De là, à son tour, il s'ensuit que

Il découle des égalités (5) que , c'est-à-dire le point M(x, y) est un point de l'ellipse, etc.

Le théorème a été démontré.

Définition. L'équation (4) est appelée l'équation canonique de l'ellipse.

Définition. Les axes de coordonnées canoniques de l'ellipse sont appelés les axes principaux de l'ellipse.

Définition. L'origine du système de coordonnées canonique d'une ellipse est appelée le centre de l'ellipse.

Ellipse appelé lieu des points du plan, pour chacun desquels la somme des distances à deux points donnés du même plan, appelés foyers de l'ellipse, est une valeur constante. Pour une ellipse, plusieurs autres définitions équivalentes peuvent être données. Ceux qui le souhaitent peuvent se familiariser avec eux dans des manuels plus sérieux sur la géométrie analytique. Notons seulement ici qu'une ellipse est une courbe obtenue comme projection sur un plan d'un cercle situé dans un plan faisant avec ce plan un angle aigu. Contrairement à un cercle, il est impossible d'écrire l'équation d'une ellipse sous une forme "convenable" dans un système de coordonnées arbitraire. Par conséquent, pour une ellipse fixe, il est nécessaire de sélectionner un système de coordonnées pour que son équation soit assez simple. Soit et les foyers de l'ellipse. L'origine du système de coordonnées est située au milieu du segment. On dirige l'axe le long de ce segment, l'axe est perpendiculaire à ce segment

24)Hyperbole

Il est connu du cours de mathématiques de l'école que la courbe définie par l'équation , où est un nombre, s'appelle une hyperbole. Cependant, il s'agit d'un cas particulier d'hyperbole (une hyperbole équilatérale). Définition 12 . 5 Une hyperbole est un lieu de points d'un plan, pour chacun desquels la valeur absolue de la différence des distances à deux points fixes d'un même plan, appelés foyers de l'hyperbole, est une valeur constante. Comme dans le cas d'une ellipse, pour obtenir l'équation d'une hyperbole, on choisit un système de coordonnées approprié. Nous plaçons l'origine des coordonnées au milieu du segment entre les foyers, dirigeons l'axe le long de ce segment et l'axe des ordonnées perpendiculairement à celui-ci. Théorème 12. 3 Soit la distance entre les foyers et l'hyperbole , et la valeur absolue de la différence des distances entre le point de l'hyperbole et les foyers est . Alors l'hyperbole dans le système de coordonnées choisi ci-dessus a l'équation (12.8) où (12.9) Preuve. Soit le point courant de l'hyperbole (Fig. 12.9). Riz. 12 . 9 . Puisque la différence entre deux côtés d'un triangle est inférieure au troisième côté, alors , C'est , . En vertu de la dernière inégalité, le nombre réel défini par la formule (12.9) existe. Par convention, les foyers sont , . D'après la formule (10.4) pour le cas d'un plan, on obtient Par la définition d'une hyperbole On écrit cette équation sous la forme Les deux parties sont au carré : Après avoir ramené comme termes et divisé par 4, on arrive à l'égalité Encore une fois, nous élevons les deux parties au carré : En élargissant la parenthèse et en ramenant les mêmes termes, nous obtenons Compte tenu de la formule (12.9), l'équation prend la forme Diviser les deux membres de l'équation par et obtenir l'équation (12.8) L'équation (12.8) est appelée l'équation canonique de l'hyperbole. Proposition 12 . 3 Une hyperbole a deux axes de symétrie mutuellement perpendiculaires, dont l'un contient les foyers de l'hyperbole et un centre de symétrie. Si une hyperbole est donnée par une équation canonique, alors ses axes de symétrie sont

axes de coordonnées et , et l'origine des coordonnées est le centre de symétrie de l'hyperbole. Preuve. Elle s'effectue de manière similaire à la preuve de la proposition 12.1. Construisons l'hyperbole donnée par l'équation (12.8). Notez qu'en raison de la symétrie, il suffit de tracer la courbe uniquement dans le premier angle de coordonnées. Nous exprimons à partir de l'équation canonique comme une fonction, à condition que , et tracer cette fonction. Le domaine de définition est l'intervalle , , la fonction croît de manière monotone. Dérivé existe dans tout le domaine de définition, sauf pour le point . Par conséquent, le graphique est une courbe lisse (sans coins). Dérivée seconde à tous les points de l'intervalle est négatif, par conséquent, le graphique est convexe vers le haut. Vérifions sur le graphique la présence d'une asymptote pour . Soit l'équation avoir une asymptote. Ensuite, selon les règles de l'analyse mathématique Multipliez l'expression sous le signe limite et divisez par .

Ainsi, le graphe de la fonction a une asymptote . Il découle de la symétrie de l'hyperbole que -- est aussi une asymptote. Il reste à déterminer la nature de la courbe au voisinage du point , à savoir si le graphique forme et la partie de l'hyperbole symétrique autour de l'axe en ce point, l'angle ou l'hyperbole en ce point est une courbe lisse (il y a une tangente). Pour résoudre ce problème, nous exprimons de l'équation (12.8) à : Évidemment, cette fonction a une dérivée au point , , et l'hyperbole a une tangente verticale au point. Sur la base des données obtenues, nous traçons un graphique de la fonction (Fig. 12.10). Riz. 12 . 10. Graphique de fonction Enfin, en utilisant la symétrie de l'hyperbole, on obtient la courbe de la figure 12.11. Riz. 12 . 11 .Définition de l'hyperbole 12 . 6 Les points d'intersection de l'hyperbole donnée par l'équation canonique (12.8) avec l'axe sont appelés les sommets de l'hyperbole, le segment entre eux est appelé l'axe réel de l'hyperbole. Le segment de l'axe y entre les points est appelé l'axe imaginaire. Les nombres et sont appelés respectivement les demi-axes réels et imaginaires de l'hyperbole. L'origine des coordonnées est appelée son centre. La quantité s'appelle l'excentricité de l'hyperbole. Remarque 12. 3 De l'égalité (12.9) il résulte que , c'est-à-dire pour l'hyperbole . L'excentricité caractérise l'angle entre les asymptotes, plus proche de 1, plus cet angle est petit. Remarque 12. 4 Contrairement à l'ellipse, dans l'équation canonique de l'hyperbole, la relation entre les quantités et peut être arbitraire. En particulier, lorsque nous obtenons une hyperbole équilatérale, connue du cours de mathématiques de l'école. Son équation a une forme familière, si vous prenez et dirigez les axes le long des bissectrices des quatrième et premier angles de coordonnées (Fig. 12.12). Riz. 12 . 12. Hyperbole équilatérale Pour rendre compte des caractéristiques qualitatives d'une hyperbole sur la figure, il suffit de déterminer ses sommets, de tracer des asymptotes et de tracer une courbe lisse passant par les sommets, se rapprochant des asymptotes et semblable à la courbe de la figure 12.10. Exemple 12 . 4 Construire une hyperbole, trouver ses foyers et son excentricité. Solution. Divisez les deux membres de l'équation par 4. Nous obtenons l'équation canonique , . Nous traçons des asymptotes et construisons une hyperbole (Fig. 12.13). Riz. 12 . 13 .Hyperbole De la formule (12.9) on obtient . Ensuite, les astuces sont , , . Exemple 12 . 5 Construire une hyperbole . Trouvez ses foyers et son excentricité. Solution. Nous transformons l'équation sous la forme Cette équation n'est pas une équation canonique d'une hyperbole, puisque les signes devant et sont opposés aux signes dans l'équation canonique. Cependant, si nous redésignons les variables , , alors dans les nouvelles variables nous obtenons l'équation canonique L'axe réel de cette hyperbole se trouve sur l'axe , c'est-à-dire sur l'axe du système de coordonnées d'origine, les asymptotes ont l'équation , c'est-à-dire , l'équation dans les coordonnées d'origine. Le demi-axe réel est 5, l'imaginaire est 2. Conformément à ces données, nous construisons (Fig. 12.14). Riz. 12 . 14. Hyperbole d'équation D'après la formule (12.9), nous obtenons , , foyers situés sur l'axe réel - , , où les coordonnées sont données dans le système de coordonnées d'origine.

Parabole

Dans le cours de mathématiques de l'école, la parabole a été étudiée de manière suffisamment détaillée, qui, par définition, était le graphique d'un trinôme carré. Nous donnons ici une autre définition (géométrique) d'une parabole. Définition 12 . 7 La parabole est le lieu des points d'un plan, pour chacun desquels la distance à un point fixe de ce plan, appelé foyer, est égale à la distance à une droite fixe située dans le même plan et appelée directrice du parabole. Pour obtenir l'équation d'une courbe correspondant à cette définition, on introduit un système de coordonnées adapté. Pour ce faire, laissons tomber la perpendiculaire du foyer à la directrice. L'origine des coordonnées sera située au milieu du segment et l'axe sera dirigé le long du segment de manière à ce que sa direction coïncide avec la direction du vecteur. Dessinez l'axe perpendiculaire à l'axe (Fig. 12.15). Riz. 12 . 15 . Théorème 12. 4 Soit la distance entre le foyer et la directrice de la parabole . Alors dans le repère choisi la parabole a pour équation (12.10) Preuve. Dans le système de coordonnées choisi, le foyer de la parabole est le point et la directrice a une équation (Fig. 12.15). Soit le point courant de la parabole. Alors par la formule (10.4) pour le cas plan on trouve La distance du point à la directrice est la longueur de la perpendiculaire tombée à la directrice à partir du point. D'après la figure 12.15, il est clair que . Alors par la définition d'une parabole, c'est-à-dire Mettons au carré les deux côtés de la dernière équation : où Après réduction des termes semblables, on obtient l'équation (12.10). L'équation (12.10) est appelée l'équation canonique de la parabole. Proposition 12 . 4 Une parabole a un axe de symétrie. Si la parabole est donnée par l'équation canonique, alors l'axe de symétrie coïncide avec l'axe. Preuve. Effectuée de la même manière que la preuve (Proposition 12.1). Le point d'intersection de l'axe de symétrie avec la parabole est appelé sommet de la parabole. Si nous redésignons les variables , , alors l'équation (12.10) peut être écrite sous une forme qui coïncide avec l'équation de parabole habituelle dans un cours de mathématiques à l'école. Par conséquent, nous dessinons une parabole sans recherche supplémentaire (Fig. 12.16). Riz. 12 . 16. Parabole Exemple 12. 6 Construire une parabole . Trouvez sa concentration et sa directrice. Solution. L'équation est l'équation canonique de la parabole, , . L'axe de la parabole est l'axe, le sommet est à l'origine, les branches de la parabole sont dirigées le long de l'axe. Pour construire, on retrouve plusieurs points de la parabole. Pour ce faire, nous attribuons des valeurs à la variable et trouvons les valeurs. Prenez les points , , . Compte tenu de la symétrie autour de l'axe, tracez une courbe (Fig. 12.17) Riz. 12 . 17. La parabole donnée par l'équation Focus se trouve sur l'axe à une distance du sommet, c'est-à-dire qu'elle a des coordonnées. La directrice a une équation , c'est-à-dire . La parabole, comme l'ellipse, a la propriété de réfléchir la lumière (fig. 12.18). Nous affirmons à nouveau la propriété sans justificatif. Proposition 12 . 5 Soit le foyer de la parabole, soit un point arbitraire de la parabole, soit un rayon ayant pour origine un point parallèle à l'axe de la parabole. Ensuite, la normale à la parabole au point coupe en deux l'angle formé par le segment et le rayon. Riz. 12 . 18. Réflexion d'un faisceau lumineux à partir d'une parabole Cette propriété signifie qu'un faisceau lumineux devenu flou, réfléchi par la parabole, continuera à aller parallèlement à l'axe de cette parabole. Inversement, tous les rayons provenant de l'infini et parallèles à l'axe de la parabole convergeront vers son foyer. Cette propriété est largement utilisée en ingénierie. Dans les projecteurs, on place généralement un miroir dont la surface est obtenue en faisant tourner une parabole autour de son axe de symétrie (miroir parabolique). La source lumineuse des projecteurs est placée au foyer de la parabole. En conséquence, le projecteur donne un faisceau de faisceaux de lumière presque parallèles. La même propriété est également utilisée dans les antennes de réception des communications spatiales et dans les miroirs des télescopes, qui collectent un flux de faisceaux parallèles d'ondes radio ou un flux de faisceaux parallèles de lumière et le concentrent au foyer du miroir.

26) Définition de la matrice. Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres contenant un certain nombre m lignes et un certain nombre n colonnes.

Concepts de base d'une matrice : Les nombres m et n sont appelés les ordres de la matrice. Si m=n, la matrice est appelée carré, et le nombre m=n est son ordre.

Dans ce qui suit, la notation suivante sera utilisée pour écrire la matrice :

Bien que parfois dans la littérature il y ait une désignation:

Cependant, pour une brève désignation de la matrice, une lettre majuscule de l'alphabet latin est souvent utilisée (par exemple, A), ou le symbole ||a ij ||, et parfois avec une explication : A=||a ij ||=(a ij) (i =1,2,...,m;j=1,2,...n)

Les nombres a ij , qui font partie de cette matrice, sont appelés ses éléments. Dans l'enregistrement a ij, le premier index i signifie le numéro de ligne et le deuxième index j est le numéro de colonne.

Par exemple, la matrice

est une matrice 2×3, ses éléments a 11 =1, a 12 =x, a 13 =3, a 21 =-2y, ...

Nous avons donc introduit la définition d'une matrice. Considérez les types de matrices et donnez les définitions qui leur correspondent.

Types de matrices

Introduisons le concept de matrices : carrée, diagonale, identité et zéro.

Définition d'une matrice carrée : Matrice Carrée Le nième ordre est appelé une matrice n × n.

Dans le cas d'une matrice carrée

les notions de diagonales principales et secondaires sont introduites. diagonale principale matrice est appelée la diagonale allant du coin supérieur gauche de la matrice au coin inférieur droit.

diagonale latérale d'une même matrice s'appelle la diagonale allant du coin inférieur gauche au coin supérieur droit.

Le concept de matrice diagonale : Diagonale est une matrice carrée dans laquelle tous les éléments en dehors de la diagonale principale sont égaux à zéro.

Le concept de matrice identité : Solitaire(notée E parfois I) est appelée une matrice diagonale avec des uns sur la diagonale principale.

Le concept de matrice nulle : Nul est une matrice dont tous les éléments sont égaux à zéro.

Deux matrices A et B sont dites égales (A=B) si elles sont de même taille (c'est-à-dire qu'elles ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes et que leurs éléments correspondants sont égaux). Donc si

alors A \u003d B, si a 11 \u003d b 11, a 12 \u003d b 12, a 21 \u003d b 21, a 22 \u003d b 22

Matrices d'un genre particulier

Matrice Carrée appelé triangulaire supérieur, si à je>j, et triangulaire inférieur, si à je

Vue générale des matrices triangulaires :

Notez que parmi les éléments diagonaux peut avoir zéro élément. Matrice est appelé trapèze supérieur si les trois conditions suivantes sont remplies :

1. pour i>j ;

2. Il existe un nombre naturel r satisfaisant les inégalités , Quel .

3. Si un élément diagonal , alors tous les éléments de la i-ème ligne et de toutes les lignes suivantes sont égaux à zéro.

Vue générale des matrices trapézoïdales supérieures :

à .

à .

pour r=n

à r=m=n.

A noter que pour r=m=n, la matrice trapézoïdale supérieure est une matrice triangulaire avec des entrées diagonales non nulles.

27) Actions avec des matrices

Ajout de matrice

Des matrices de même taille peuvent être ajoutées.

La somme de deux telles matrices A et B est la matrice C dont les éléments sont égaux à la somme des éléments correspondants des matrices A et B. Symboliquement, on écrira : A+B=C.

Il est facile de voir que l'addition matricielle obéit à des lois commutatives et associatives :

(A+B)+C=A+(B+C).

La matrice zéro lors de l'addition de matrices joue le rôle du zéro habituel lors de l'addition de nombres : A+0=A.

Soustraction matricielle.

La différence de deux matrices A et B de même taille est une matrice C telle que

De cette définition il résulte que les éléments de la matrice C sont égaux à la différence des éléments correspondants des matrices A et B.

La différence des matrices A et B est notée comme suit: C \u003d A - B.

3. Multiplication matricielle

Considérons la règle de multiplication de deux matrices carrées du second ordre.

Le produit de la matrice A et de la matrice B est la matrice C=AB.

Règles de multiplication des matrices rectangulaires :

Multiplier la matrice A par la matrice B a du sens lorsque le nombre de colonnes dans la matrice A est le même que le nombre de lignes dans la matrice B.

En multipliant deux matrices rectangulaires, on obtient une matrice contenant autant de lignes qu'il y avait de lignes dans la première matrice et autant de colonnes qu'il y avait de colonnes dans la deuxième matrice.

4. Multiplier une matrice par un nombre

En multipliant la matrice A par le nombre , tous les nombres qui composent la matrice A sont multipliés par le nombre . Par exemple, multiplions la matrice par le nombre 2. Nous obtenons, c'est-à-dire lors de la multiplication d'une matrice par un nombre, le facteur est "introduit" sous le signe de la matrice.

Transposition matricielle

La matrice transposée est la matrice AT obtenue à partir de la matrice originale A en remplaçant les lignes par des colonnes.

Formellement, la matrice transposée pour une matrice m*n A est une matrice n*m ​​AT, définie comme AT = A .

Par exemple,

Propriétés des matrices transposées

2. (A + B)T = AT + BT

28) Le concept du déterminant de l'ordre n

Soit un tableau carré composé de nombres disposés en n rangées horizontales et n rangées verticales. En utilisant ces nombres, selon certaines règles, un certain nombre est calculé, appelé déterminant du nième ordre et noté comme suit:

(1)

Les lignes horizontales du déterminant (1) sont appelées lignes, les lignes verticales sont appelées colonnes et les nombres sont appelés éléments du déterminant (le premier indice signifie le numéro de ligne, le deuxième indice est le numéro de colonne, à l'intersection de laquelle il y a un élément ; i = 1, 2, ..., n ; j = 1, 2, ..., n). L'ordre d'un déterminant est le nombre de ses lignes et de ses colonnes.

Une droite imaginaire reliant les éléments du déterminant pour lesquels les deux indices sont identiques, c'est-à-dire éléments

est appelée diagonale principale, l'autre diagonale est appelée diagonale latérale.

Le déterminant d'ordre n est un nombre qui est la somme algébrique de n ! termes, dont chacun est le produit de n de ses éléments, pris un seul de chaque n lignes et de chaque n colonnes d'un tableau carré de nombres, avec la moitié des (certains) termes pris avec leurs signes, et le reste avec signes opposés.

Montrons comment sont calculés les déterminants des trois premiers ordres.

Le déterminant de premier ordre est l'élément lui-même, c'est-à-dire

Le déterminant de second ordre est le nombre obtenu comme suit :

(2)

La formule (3) montre qu'avec leurs signes, on prend des termes qui sont le produit des éléments de la diagonale principale, ainsi que des éléments situés aux sommets de deux triangles dont les bases lui sont parallèles; avec des membres opposés qui sont des produits d'éléments de la diagonale secondaire, ainsi que des éléments situés aux sommets de deux triangles qui lui sont parallèles.

Exemple 2. Calculez le déterminant du troisième ordre :

Solution. En utilisant la règle des triangles, on obtient

Le calcul des déterminants du quatrième et des ordres suivants peut être réduit au calcul des déterminants des deuxième et troisième ordres. Cela peut être fait en utilisant les propriétés des déterminants. Passons maintenant à leur considération.

Propriétés du déterminant d'ordre n

Propriété 1. Lors du remplacement de lignes par des colonnes (transposition), la valeur du déterminant ne changera pas, c'est-à-dire

Propriété 2. Si au moins une ligne (ligne ou colonne) est constituée de zéros, alors le déterminant est égal à zéro. La preuve est évidente.

En effet, alors dans chaque terme du déterminant l'un des facteurs sera nul.

Propriété 3. Si deux lignes parallèles adjacentes (lignes ou colonnes) sont interchangées dans le déterminant, alors le déterminant changera de signe en l'opposé, c'est-à-dire

Propriété 4. S'il y a deux lignes parallèles identiques dans le déterminant, alors le déterminant est égal à zéro :

Propriété 5. Si deux lignes parallèles du déterminant sont proportionnelles, alors le déterminant est égal à zéro :

Propriété 6. Si tous les éléments du déterminant dans la même ligne sont multipliés par le même nombre, alors la valeur du déterminant changera ce nombre de fois :

Conséquence. Le facteur commun contenu dans tous les éléments d'une même ligne peut être extrait du signe déterminant, par exemple :

Propriété 7. Si dans le déterminant tous les éléments d'une ligne sont présentés comme la somme de deux termes, alors il est égal à la somme de deux déterminants :

Propriété 8. Si le produit des éléments correspondants d'une série parallèle par un facteur constant est ajouté aux éléments de n'importe quelle série, alors la valeur du déterminant ne changera pas:

Propriété 9. Si une combinaison linéaire des éléments correspondants de plusieurs lignes parallèles est ajoutée aux éléments de la ième ligne, la valeur du déterminant ne changera pas :

il est possible de construire divers mineurs du premier, deuxième et troisième ordre.

Courbes du second ordre sur un plan sont appelées droites définies par des équations dans lesquelles les coordonnées variables X et y contenue au second degré. Ceux-ci incluent l'ellipse, l'hyperbole et la parabole.

La forme générale de l'équation de la courbe du second ordre est la suivante :

où A B C D E F- des nombres et au moins un des coefficients A, B, C n'est pas égal à zéro.

Lors de la résolution de problèmes avec des courbes du second ordre, les équations canoniques d'une ellipse, d'une hyperbole et d'une parabole sont le plus souvent considérées. Il est facile de leur passer d'équations générales, l'exemple 1 de problèmes avec des ellipses y sera consacré.

Ellipse donnée par l'équation canonique

Définition d'une ellipse. Une ellipse est l'ensemble de tous les points du plan, ceux pour lesquels la somme des distances aux points, appelés foyers, est constante et supérieure à la distance entre les foyers.

Les foyers sont marqués comme dans la figure ci-dessous.

L'équation canonique d'une ellipse est :

où une et b (une > b) - les longueurs des demi-axes, c'est-à-dire la moitié des longueurs des segments coupés par l'ellipse sur les axes de coordonnées.

La droite passant par les foyers de l'ellipse est son axe de symétrie. Un autre axe de symétrie de l'ellipse est une droite passant par le milieu du segment perpendiculaire à ce segment. Point O l'intersection de ces lignes sert de centre de symétrie de l'ellipse, ou simplement de centre de l'ellipse.

L'axe des abscisses de l'ellipse se coupe aux points ( une, O) et (- une, O), et l'axe y est aux points ( b, O) et (- b, O). Ces quatre points sont appelés les sommets de l'ellipse. Le segment entre les sommets de l'ellipse sur l'axe des abscisses est appelé son grand axe et sur l'axe des ordonnées - le petit axe. Leurs segments du haut au centre de l'ellipse sont appelés demi-axes.

Si une = b, alors l'équation de l'ellipse prend la forme . C'est l'équation d'un cercle de rayon une, et un cercle est un cas particulier d'ellipse. Une ellipse peut être obtenue à partir d'un cercle de rayon une, si vous le compressez en une/b fois le long de l'axe Oy .

Exemple 1 Vérifier si la ligne donnée par l'équation générale , une ellipse.

Solution. On fait des transformations de l'équation générale. On applique le transfert du terme libre au membre droit, la division terme à terme de l'équation par le même nombre et la réduction des fractions :

Réponse. L'équation résultante est l'équation canonique de l'ellipse. Cette droite est donc une ellipse.

Exemple 2Écrivez l'équation canonique d'une ellipse si ses demi-axes sont respectivement 5 et 4.

Solution. On regarde la formule de l'équation canonique de l'ellipse et du substitut : le demi-grand axe est une= 5 , le petit demi-axe est b= 4 . On obtient l'équation canonique de l'ellipse :

Points et marqués en vert sur le grand axe, où

appelé des trucs.

appelé excentricité ellipse.

Attitude b/une caractérise "l'aplatissement" de l'ellipse. Plus ce rapport est petit, plus l'ellipse est étendue selon le grand axe. Cependant, le degré d'allongement de l'ellipse est plus souvent exprimé en termes d'excentricité, dont la formule est donnée ci-dessus. Pour différentes ellipses, l'excentricité varie de 0 à 1, restant toujours inférieure à un.

Exemple 3Écrire l'équation canonique d'une ellipse si la distance entre les foyers est 8 et le grand axe est 10.

Solution. Nous tirons des conclusions simples :

Si le grand axe est 10, alors sa moitié, c'est-à-dire le demi-axe une = 5 ,

Si la distance entre les foyers est de 8, alors le nombre c des coordonnées du foyer est 4.

Remplacez et calculez :

Le résultat est l'équation canonique de l'ellipse :

Exemple 4Écrivez l'équation canonique d'une ellipse si son grand axe est 26 et l'excentricité est .

Solution. Comme il ressort à la fois de la taille du grand axe et de l'équation d'excentricité, le grand demi-axe de l'ellipse une= 13 . À partir de l'équation d'excentricité, nous exprimons le nombre c, nécessaire pour calculer la longueur du petit demi-axe :

.

On calcule le carré de la longueur du petit demi-axe :

On compose l'équation canonique de l'ellipse :

Exemple 5 Déterminer les foyers de l'ellipse donnée par l'équation canonique.

Solution. Besoin de trouver un numéro c, qui définit les premières coordonnées des foyers de l'ellipse :

.

On obtient les foyers de l'ellipse :

Exemple 6 Les foyers de l'ellipse sont situés sur l'axe Bœuf symétrique par rapport à l'origine. Ecrire l'équation canonique d'une ellipse si :

1) la distance entre les foyers est de 30 et le grand axe est de 34

2) le petit axe est 24, et l'un des foyers est au point (-5 ; 0)

3) excentricité, et l'un des foyers est au point (6 ; 0)

Nous continuons à résoudre ensemble les problèmes sur l'ellipse

Si - un point arbitraire de l'ellipse (marqué en vert sur le dessin dans la partie supérieure droite de l'ellipse) et - les distances à ce point des foyers, alors les formules pour les distances sont les suivantes :

Pour chaque point appartenant à l'ellipse, la somme des distances aux foyers est une valeur constante égale à 2 une.

Droites définies par des équations

appelé réalisateurs ellipse (dans le dessin - lignes rouges le long des bords).

Des deux équations ci-dessus, il s'ensuit que pour tout point de l'ellipse

,

où et sont les distances de ce point aux directrices et .

Exemple 7 Soit une ellipse. Écris une équation pour ses directrices.

Solution. Nous examinons l'équation directrice et constatons qu'il est nécessaire de trouver l'excentricité de l'ellipse, c'est-à-dire . Toutes les données pour cela sont. Nous calculons :

.

On obtient l'équation de la directrice de l'ellipse :

Exemple 8Écrire l'équation canonique d'une ellipse si ses foyers sont des points et ses directrices sont des droites.

Taper