Résoudre l'inégalité logarithmique avec solution. Inégalités logarithmiques complexes

Parmi toute la variété des inégalités logarithmiques, les inégalités à base variable sont étudiées à part. Ils sont résolus selon une formule spéciale qui, pour une raison quelconque, est rarement enseignée à l'école:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Au lieu d'un choucas "∨", vous pouvez mettre n'importe quel signe d'inégalité : plus ou moins. L'essentiel est que dans les deux inégalités les signes soient les mêmes.

On se débarrasse donc des logarithmes et on réduit le problème à une inégalité rationnelle. Ce dernier est beaucoup plus facile à résoudre, mais lors de l'élimination des logarithmes, des racines supplémentaires peuvent apparaître. Pour les retrancher, il suffit de trouver la plage des valeurs admissibles. Si vous avez oublié l'ODZ du logarithme, je vous recommande fortement de le répéter - voir "Qu'est-ce qu'un logarithme".

Tout ce qui concerne la plage de valeurs acceptables doit être écrit et résolu séparément:

f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; k(x) > 0 ; k(x) ≠ 1.

Ces quatre inégalités constituent un système et doivent être remplies simultanément. Lorsque la plage de valeurs acceptables est trouvée, il reste à la croiser avec la solution d'une inégalité rationnelle - et la réponse est prête.

Une tâche. Résolvez l'inégalité :

Commençons par écrire l'ODZ du logarithme :

Les deux premières inégalités sont exécutées automatiquement, et la dernière devra être écrite. Puisque le carré d'un nombre est nul si et seulement si le nombre lui-même est nul, on a :

x2 + 1 ≠ 1 ;
x2 ≠ 0 ;
x ≠ 0.

Il s'avère que l'ODZ du logarithme est tous les nombres sauf zéro : x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). On résout maintenant l'inégalité principale :

Nous effectuons le passage de l'inégalité logarithmique à l'inégalité rationnelle. Dans l'inégalité d'origine, il y a un signe "inférieur à", donc l'inégalité résultante devrait également être avec un signe "inférieur à". Nous avons:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

Zéros de cette expression : x = 3 ; x = -3 ; x = 0. De plus, x = 0 est la racine de la deuxième multiplicité, ce qui signifie qu'en la parcourant, le signe de la fonction ne change pas. Nous avons:

On obtient x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Cet ensemble est entièrement contenu dans l'ODZ du logarithme, ce qui signifie que c'est la réponse.

Transformation des inégalités logarithmiques

Souvent, l'inégalité d'origine diffère de celle ci-dessus. C'est facile à régler en règles standard travailler avec les logarithmes - voir "Propriétés de base des logarithmes". À savoir:

1. Tout nombre peut être représenté sous forme de logarithme avec une base donnée ;
2. La somme et la différence des logarithmes de même base peuvent être remplacées par un seul logarithme.

Par ailleurs, je souhaite vous rappeler la plage de valeurs acceptables. Puisqu'il peut y avoir plusieurs logarithmes dans l'inégalité d'origine, il est nécessaire de trouver le DPV de chacun d'eux. De cette façon, régime général solution des inégalités logarithmiques est la suivante :

1. Trouvez l'ODZ de chaque logarithme inclus dans l'inégalité ;
2. Réduisez l'inégalité à l'inégalité standard en utilisant les formules d'addition et de soustraction de logarithmes;
3. Résolvez l'inégalité résultante selon le schéma ci-dessus.

Une tâche. Résolvez l'inégalité :

Trouvez le domaine de définition (ODZ) du premier logarithme :

Nous résolvons par la méthode des intervalles. Trouver les zéros du numérateur :

3x - 2 = 0 ;
x = 2/3.

Ensuite - les zéros du dénominateur :

x-1 = 0 ;
x = 1.

Nous marquons des zéros et des signes sur la flèche de coordonnées:

On obtient x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Le deuxième logarithme de l'ODZ sera le même. Si vous ne me croyez pas, vous pouvez vérifier. Transformons maintenant le deuxième logarithme pour que la base soit deux :

Comme vous pouvez le voir, les triplets à la base et avant le logarithme ont diminué. Nous avons obtenu deux logarithmes de le même socle. Mettons-les ensemble :

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Nous avons obtenu l'inégalité logarithmique standard. Nous nous débarrassons des logarithmes par la formule. Puisqu'il y a un signe inférieur à dans l'inégalité d'origine, l'expression rationnelle résultante doit également être inférieure à zéro. Nous avons:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1 ; 3).

Nous avons deux ensembles :

1. ODZ : x ∈ (−∞ 2/3)∪(1 ; +∞) ;
2. Candidat à la réponse : x ∈ (−1 ; 3).

Il reste à croiser ces ensembles - on obtient la vraie réponse :

Nous nous intéressons à l'intersection des ensembles, nous choisissons donc les intervalles grisés sur les deux flèches. On obtient x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - tous les points sont perforés.

Inégalités logarithmiques

Dans les leçons précédentes, nous nous sommes familiarisés avec les équations logarithmiques et maintenant nous savons ce qu'elles sont et comment les résoudre. Et la leçon d'aujourd'hui sera consacrée à l'étude des inégalités logarithmiques. Quelles sont ces inégalités et quelle est la différence entre la résolution d'une équation logarithmique et les inégalités ?

Inégalités logarithmiques sont des inégalités qui ont une variable sous le signe du logarithme ou à sa base.

Ou, on peut aussi dire qu'une inégalité logarithmique est une telle inégalité dans laquelle sa valeur inconnue, comme dans l'équation logarithmique, sera sous le signe du logarithme.

Les inégalités logarithmiques les plus simples ressemblent à ceci :

où f(x) et g(x) sont des expressions qui dépendent de x.

Regardons cela en utilisant l'exemple suivant : f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Résolution des inégalités logarithmiques

Avant de résoudre les inégalités logarithmiques, il convient de noter que lorsqu'elles sont résolues, elles sont similaires à inégalités exponentielles, à savoir :

Premièrement, lorsque l'on passe des logarithmes aux expressions sous le signe du logarithme, il faut aussi comparer la base du logarithme avec un ;

Deuxièmement, lors de la résolution d'une inégalité logarithmique à l'aide d'un changement de variables, nous devons résoudre les inégalités par rapport au changement jusqu'à ce que nous obtenions l'inégalité la plus simple.

Mais c'est nous qui avons considéré les moments similaires de résolution des inégalités logarithmiques. Voyons maintenant une différence assez significative. Toi et moi savons que fonction logarithmique a un domaine de définition limité, par conséquent, lors du passage des logarithmes aux expressions sous le signe du logarithme, il est nécessaire de prendre en compte la plage des valeurs admissibles (ODV).

Autrement dit, il convient de garder à l'esprit que lors de la résolution d'une équation logarithmique, nous pouvons d'abord trouver les racines de l'équation, puis vérifier cette solution. Mais résoudre l'inégalité logarithmique ne fonctionnera pas de cette façon, car en passant des logarithmes aux expressions sous le signe du logarithme, il faudra noter l'ODZ de l'inégalité.

De plus, il convient de rappeler que la théorie des inégalités consiste en des nombres réels, qui sont positifs et nombres négatifs, ainsi que le chiffre 0.

Par exemple, lorsque le nombre « a » est positif, alors la notation suivante doit être utilisée : a > 0. Dans ce cas, la somme et le produit de ces nombres seront également positifs.

Le principe de base de la résolution d'une inégalité est de la remplacer par une inégalité plus simple, mais l'essentiel est qu'elle soit équivalente à celle donnée. De plus, nous avons également obtenu une inégalité et l'avons à nouveau remplacée par une autre qui a une forme plus simple, et ainsi de suite.

En résolvant des inégalités avec une variable, vous devez trouver toutes ses solutions. Si deux inégalités ont la même variable x, alors ces inégalités sont équivalentes, à condition que leurs solutions soient les mêmes.

Lors de l'exécution de tâches pour résoudre des inégalités logarithmiques, il est nécessaire de se rappeler que lorsque a > 1, la fonction logarithmique augmente, et lorsque 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Façons de résoudre les inégalités logarithmiques

Examinons maintenant certaines des méthodes utilisées lors de la résolution des inégalités logarithmiques. Pour une meilleure compréhension et assimilation, nous allons essayer de les comprendre à l'aide d'exemples précis.

On sait que l'inégalité logarithmique la plus simple a la forme suivante :

Dans cette inégalité, V - est l'un des signes d'inégalité tels que :<,>, ≤ ou ≥.

Lorsque la base de ce logarithme est supérieure à un (a>1), en passant des logarithmes aux expressions sous le signe du logarithme, alors dans cette version le signe de l'inégalité est conservé, et l'inégalité ressemblera à ceci :

qui est équivalent au système suivant :

Dans le cas où la base du logarithme est supérieure à zéro et inférieure à un (0

Ceci est équivalent à ce système :

Regardons d'autres exemples de résolution des inégalités logarithmiques les plus simples présentées dans l'image ci-dessous :

Solution d'exemples

La tâche. Essayons de résoudre cette inégalité :

La décision de la zone des valeurs admissibles.

Essayons maintenant de multiplier son côté droit par :

Voyons ce que nous pouvons faire :

Passons maintenant à la transformation des expressions sous-logarithmiques. Comme la base du logarithme est 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16 ;
3x > 24 ;
x > 8.

Et il en résulte que l'intervalle que nous avons obtenu appartient entièrement à l'ODZ et est une solution à une telle inégalité.

Voici la réponse que nous avons obtenue :

Que faut-il pour résoudre les inégalités logarithmiques ?

Essayons maintenant d'analyser ce dont nous avons besoin pour résoudre avec succès les inégalités logarithmiques ?

Tout d'abord, concentrez toute votre attention et essayez de ne pas faire d'erreur lors de l'exécution des transformations qui sont données dans cette inégalité. En outre, il convient de rappeler que lors de la résolution de telles inégalités, il est nécessaire d'empêcher les expansions et les rétrécissements de l'inégalité ODZ, ce qui peut entraîner la perte ou l'acquisition de solutions étrangères.

Deuxièmement, lors de la résolution d'inégalités logarithmiques, vous devez apprendre à penser logiquement et à comprendre la différence entre des concepts tels qu'un système d'inégalités et un ensemble d'inégalités, afin de pouvoir sélectionner facilement des solutions à une inégalité, tout en étant guidé par son DHS.

Troisièmement, pour réussir à résoudre de telles inégalités, chacun de vous doit parfaitement connaître toutes les propriétés des fonctions élémentaires et comprendre clairement leur signification. De telles fonctions comprennent non seulement les fonctions logarithmiques, mais aussi rationnelles, puissance, trigonométriques, etc., en un mot, toutes celles que vous avez étudiées tout au long scolarité algèbre.

Comme vous pouvez le voir, après avoir étudié le sujet des inégalités logarithmiques, il n'y a rien de difficile à résoudre ces inégalités, à condition d'être attentif et persévérant dans la réalisation de vos objectifs. Afin d'éviter tout problème de résolution des inégalités, vous devez vous entraîner autant que possible, en résolvant diverses tâches et en même temps mémoriser les principaux moyens de résoudre ces inégalités et leurs systèmes. Avec des solutions infructueuses aux inégalités logarithmiques, vous devez analyser attentivement vos erreurs afin de ne pas y revenir à l'avenir.

Devoirs

Pour une meilleure assimilation du sujet et consolidation de la matière abordée, résolvez les inégalités suivantes :

Votre vie privée est importante pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit comment nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez lire notre politique de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions.

Collecte et utilisation des informations personnelles

Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier une personne spécifique ou la contacter.

Vous pouvez être invité à fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.

Voici quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.

Quelles informations personnelles nous collectons :

• Lorsque vous soumettez une candidature sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, notamment votre nom, votre numéro de téléphone, votre adresse e-mail, etc.

Comment utilisons-nous vos informations personnelles:

• Les informations personnelles que nous collectons nous permettent de vous contacter et de vous informer des offres uniques, promotions et autres événements et événements à venir.
• De temps à autre, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour vous envoyer des avis et des communications importants.
• Nous pouvons également utiliser des informations personnelles à des fins internes, telles que la réalisation d'audits, l'analyse de données et diverses recherches afin d'améliorer les services que nous fournissons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
• Si vous participez à un tirage au sort, à un concours ou à une incitation similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Des exceptions:

• Dans le cas où il est nécessaire - conformément à la loi, à l'ordre judiciaire, dans le cadre de procédures judiciaires et / ou sur la base de demandes publiques ou de demandes d'organismes publics sur le territoire de la Fédération de Russie - de divulguer vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée pour des raisons de sécurité, d'application de la loi ou d'autres raisons d'intérêt public.
• En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - y compris administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Maintenir votre vie privée au niveau de l'entreprise

Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les pratiques de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.

Pensez-vous qu'il reste du temps avant l'examen et que vous aurez le temps de vous préparer ? C'est peut-être ainsi. Mais dans tous les cas, plus tôt l'étudiant commence sa formation, plus il réussit les examens. Aujourd'hui, nous avons décidé de consacrer un article aux inégalités logarithmiques. C'est l'une des tâches, ce qui signifie une opportunité d'obtenir un point supplémentaire.

Savez-vous déjà ce qu'est un logarithme (log) ? Nous l'espérons vraiment. Mais même si vous n'avez pas de réponse à cette question, ce n'est pas un problème. Il est très facile de comprendre ce qu'est un logarithme.

Pourquoi exactement 4 ? Il faut élever le nombre 3 à une telle puissance pour obtenir 81. Lorsque vous aurez compris le principe, vous pourrez procéder à des calculs plus complexes.

Vous avez traversé les inégalités il y a quelques années. Et depuis, vous les rencontrez constamment en mathématiques. Si vous rencontrez des difficultés pour résoudre les inégalités, consultez la section appropriée.
Maintenant que nous aurons pris connaissance des concepts séparément, nous passerons à leur considération en général.

L'inégalité logarithmique la plus simple.

Les inégalités logarithmiques les plus simples ne se limitent pas à cet exemple, il y en a trois autres, seulement avec des signes différents. Pourquoi est-ce nécessaire ? Pour mieux comprendre comment résoudre l'inégalité avec les logarithmes. Maintenant, nous donnons un exemple plus applicable, toujours assez simple, nous laissons les inégalités logarithmiques complexes pour plus tard.

Comment le résoudre? Tout commence avec ODZ. Vous devriez en savoir plus si vous voulez toujours résoudre facilement n'importe quelle inégalité.

Qu'est-ce qu'ODZ ? DPV pour les inégalités logarithmiques

L'abréviation représente la plage de valeurs valides. Dans les devoirs pour l'examen, ce libellé apparaît souvent. DPV ne vous est pas seulement utile dans le cas d'inégalités logarithmiques.

Reprenez l'exemple ci-dessus. Nous allons considérer l'ODZ en fonction de celui-ci, afin que vous compreniez le principe, et la solution des inégalités logarithmiques ne soulève pas de questions. Il découle de la définition du logarithme que 2x+4 doit être supérieur à zéro. Dans notre cas, cela signifie ce qui suit.

Ce nombre doit être positif par définition. Résoudre l'inégalité présentée ci-dessus. Cela peut même se faire oralement, ici il est clair que X ne peut pas être inférieur à 2. La solution de l'inégalité sera la définition de la plage des valeurs acceptables.
Passons maintenant à la résolution de l'inégalité logarithmique la plus simple.

Nous écartons les logarithmes eux-mêmes des deux parties de l'inégalité. Que nous reste-t-il en conséquence ? simple inégalité.

C'est facile à résoudre. X doit être supérieur à -0,5. Maintenant, nous combinons les deux valeurs obtenues dans le système. De cette façon,

Ce sera la zone des valeurs acceptables pour l'inégalité logarithmique considérée.

Pourquoi ODZ est-il vraiment nécessaire ? C'est l'occasion d'éliminer les réponses incorrectes et impossibles. Si la réponse n'est pas dans la plage des valeurs acceptables, alors la réponse n'a tout simplement pas de sens. Cela mérite d'être rappelé pendant longtemps, car dans l'examen, il est souvent nécessaire de rechercher ODZ, et cela ne concerne pas seulement les inégalités logarithmiques.

Algorithme pour résoudre l'inégalité logarithmique

La solution consiste en plusieurs étapes. Tout d'abord, il est nécessaire de trouver la plage de valeurs acceptables. Il y aura deux valeurs dans l'ODZ, nous l'avons considéré ci-dessus. L'étape suivante consiste à résoudre l'inégalité elle-même. Les méthodes de résolution sont les suivantes :

• méthode de remplacement du multiplicateur ;
• décomposition;
• méthode de rationalisation.

Selon la situation, l'une des méthodes ci-dessus doit être utilisée. Allons directement à la solution. Nous révélerons la méthode la plus populaire qui convient pour résoudre les tâches USE dans presque tous les cas. Ensuite, nous considérerons la méthode de décomposition. Cela peut aider si vous rencontrez une inégalité particulièrement « délicate ». Donc, l'algorithme pour résoudre l'inégalité logarithmique.

Exemples de solutions :

Ce n'est pas en vain que nous avons pris précisément une telle inégalité ! Faites attention au fond. N'oubliez pas : s'il est supérieur à un, le signe reste le même lors de la recherche de la plage de valeurs valides ; sinon, le signe de l'inégalité doit être modifié.

On obtient alors l'inégalité :

Maintenant, nous amenons le côté gauche à la forme de l'équation égale à zéro. Au lieu du signe "inférieur à", on met "égal", on résout l'équation. Ainsi, nous trouverons l'ODZ. Nous espérons que vous n'aurez aucun problème à résoudre une équation aussi simple. Les réponses sont -4 et -2. Ce n'est pas tout. Vous devez afficher ces points sur le graphique, placez "+" et "-". Que faut-il faire pour cela ? Remplacez les nombres des intervalles dans l'expression. Là où les valeurs sont positives, nous y mettons "+".

Répondre: x ne peut pas être supérieur à -4 et inférieur à -2.

Nous avons trouvé la plage de valeurs valides uniquement pour le côté gauche, nous devons maintenant trouver la plage de valeurs valides pour le côté droit. Ce n'est en aucun cas plus facile. Réponse : -2. Nous croisons les deux zones reçues.

Et ce n'est que maintenant que nous commençons à résoudre l'inégalité elle-même.

Simplifions-le autant que possible pour faciliter la décision.

Nous utilisons à nouveau la méthode des intervalles dans la solution. Passons les calculs, avec lui tout est déjà clair à partir de l'exemple précédent. Répondre.

Mais cette méthode convient si l'inégalité logarithmique a les mêmes bases.

Résoudre des équations logarithmiques et des inégalités avec motifs différents suppose une réduction initiale à une base. Ensuite, utilisez la méthode ci-dessus. Mais il y a plus cas difficile. Considérons l'un des types les plus complexes d'inégalités logarithmiques.

Inégalités logarithmiques à base variable

Comment résoudre des inégalités avec de telles caractéristiques ? Oui, et tel peut être trouvé dans l'examen. Résoudre les inégalités de la manière suivante aura également un effet bénéfique sur votre processus éducatif. Examinons la question en détail. Laissons la théorie de côté et passons directement à la pratique. Pour résoudre des inégalités logarithmiques, il suffit de se familiariser une fois avec l'exemple.

Pour résoudre l'inégalité logarithmique de la forme présentée, il faut réduire le côté droit au logarithme de même base. Le principe ressemble aux transitions équivalentes. En conséquence, l'inégalité ressemblera à ceci.

En fait, il reste à créer un système d'inégalités sans logarithmes. Par la méthode de rationalisation, on passe à un système d'inégalités équivalent. Vous comprendrez la règle elle-même lorsque vous remplacerez les valeurs appropriées et suivrez leurs modifications. Le système aura les inégalités suivantes.

En utilisant la méthode de rationalisation lors de la résolution des inégalités, vous devez vous rappeler ce qui suit : vous devez soustraire un de la base, x, par définition du logarithme, est soustrait des deux parties de l'inégalité (la droite de la gauche), les deux les expressions sont multipliées et placées sous le signe d'origine par rapport à zéro.

La solution ultérieure est effectuée par la méthode des intervalles, tout est simple ici. Il est important que vous compreniez les différences dans les méthodes de résolution, puis tout commencera à fonctionner facilement.

Il existe de nombreuses nuances dans les inégalités logarithmiques. Les plus simples d'entre eux sont assez faciles à résoudre. Comment faire en sorte que chacun d'eux soit résolu sans problème ? Vous avez déjà reçu toutes les réponses dans cet article. Maintenant, vous avez une longue pratique devant vous. Entraînez-vous constamment à résoudre divers problèmes lors de l'examen et vous pourrez obtenir le meilleur score. Bonne chance dans votre travail difficile!