Différenciation des fonctions exponentielles et logarithmiques Mordkovich. Différenciation de la fonction exponentielle et logarithmique

Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmiques Leçon en classe 11 "B"
professeur Kopova O.V.

Calculer la dérivée

oralement
1.
2.
3.
3x2 2x5
e
2x
3ex
4.
ln x 3
5.
34x
6.
5 x 2 sin x ln 5 x
en cours d'écriture
X
1
y bûche 5 x 4
7
yx2 log 1 3x 1
2
3 1
y ln 2 x
X

X
Soit une fonction y 2 x e . Trouver un coin
coefficient de la tangente tracée dans
point d'abscisse x0 0 .
Écrivez une équation pour la tangente à
graphique de la fonction f x x 5 ln x au point c
abscisse x0 1 .

Tâche B8 (#8319)

défini sur l'intervalle 5 ; dix . Trouver les lacunes
augmentation de la fonction. Donnez à votre réponse la longueur la plus longue
d'eux.

Tâche B8 (#9031)
La figure montre un graphique de la dérivée d'une fonction,
défini sur l'intervalle 11 ; 2. Trouver un point
extremum de la fonction sur le segment 10 ; cinq .

Tâche B8 (#8795)
La figure montre un graphique de la dérivée d'une fonction,
défini sur l'intervalle 9; 2. Trouver la quantité
points auxquels la tangente au graphe de la fonction
est parallèle à la ligne y x 12 ou coïncide avec elle.

Prototype d'emploi B14

Trouver le point minimum de la fonction y 4x 4 ln x 7 6 .
76xx2
Trouver la plus grande valeur d'une fonction
y 3
Trouver la plus petite valeur d'une fonction
y e 2 x 6e x 3
sur le tronçon 1 ; 2.

Algèbre et début de l'analyse mathématique

Différenciation de la fonction exponentielle et logarithmique

Compilé par:

professeur de mathématiques protocole d'entente école secondaire №203 CHET

Ville de Novossibirsk

Vidutova T.V.

Nombre e. Une fonction y=e X, ses propriétés, graphe, différenciation

1. Construisons des graphiques pour différentes bases a : 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (Option 2) (Option 1) "width="640"

Considérez la fonction exponentielle y = un X, où un 1.

Construisons pour différentes bases mais graphiques:

1. y=2 X

3. y=10 X

2. y=3 X

(Option 2)

(1 option)

1) Tous les graphes passent par le point (0 ; 1) ;

2) Tous les graphiques ont une asymptote horizontale y = 0

à X  ∞;

3) Tous sont tournés avec un renflement vers le bas;

4) Ils ont tous des tangentes en tous leurs points.

Tracez une tangente au graphe de la fonction y=2 X à ce point X= 0 et mesurer l'angle formé par la tangente à l'axe X

A l'aide de constructions exactes des tangentes aux graphes, on voit que si la base mais fonction exponentielle y = un X la base augmente progressivement de 2 à 10, puis l'angle que fait la tangente au graphe de la fonction au point X= 0 et l'axe des x augmente progressivement de 35' à 66,5'.

Il existe donc une base mais, dont l'angle correspondant est de 45'. Et ce sens mais conclu entre 2 et 3, car à mais= 2 l'angle est de 35', avec mais= 3 il est égal à 48'.

Au cours de l'analyse mathématique, il est prouvé que cette base existe, elle est généralement désignée par la lettre e.

Déterminé que e - un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une fraction décimale non périodique infinie :

e = 2,7182818284590… ;

En pratique, on suppose généralement que e ≈ 2,7.

Propriétés du graphe et de la fonction y = e X :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) augmente ;

4) non limité d'en haut, limité d'en bas

5) n'a ni le plus grand ni le plus petit

valeurs;

6) continu ;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) convexe vers le bas ;

9) est différentiable.

Une fonction y = e X appelé exposant .

Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que la fonction y = e X a une dérivée à tout moment X :

(e X ) = e X

(e 5x )" = 5e 5x

(e x-3 )" = e x-3

(e -4x+1 )" = -4e -4x-1

Exemple 1 . Tracez une tangente au graphe de la fonction au point x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = ex

Répondre:

Exemple 2 .

X = 3.

Exemple 3 .

Étudier une fonction pour un extremum

x=0 et x=-2

X= -2 - point maximum

X= 0 – point minimum

Si la base du logarithme est le nombre e, alors ils disent que étant donné un algorithme naturel . Pour les logarithmes naturels, une notation spéciale a été introduite dans (l - logarithme, n - naturel).

Graphique et propriétés de la fonction y = ln x

Propriétés de la fonction y = lnx :

1) D(f) = (0; + ∞);

2) n'est ni pair ni impair ;

3) augmente de (0 ; + ∞ );

4) non limité ;

5) n'a ni la plus grande ni la plus petite valeur ;

6) continu ;

7) E (f) = (- ∞; + ∞);

8) sommet convexe ;

9) est différentiable.

0 la formule de différenciation "width="640" est valide

Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que pour toute valeur x0 la formule de différenciation est valide

Exemple 4 :

Calculer la valeur de la dérivée d'une fonction en un point X = -1.

Par exemple:

Ressources internet :

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Considérons une fonction exponentielle y = a x, où a > 1. Nous construisons des graphes pour différentes bases a : 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1ère option) 3. y = 10 x (2ème option) 1. Construisons des graphes pour différentes bases a : 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1ère option) 3. y = 10 x (2ème option) "> 1. Construisons des graphes pour différentes bases a : 1. y = 2 x 2. y \u003d 3 x (1ère option) 3. y \u003d 10 x (2ème option) "\u003e 1. Construisons des graphiques pour différentes bases : 1. y \u003d 2 x 2. y \u003d 3 x (1ère option) 3 . y = 10 x (Option 2)" title="(!LANG : Considérez une fonction exponentielle y = ax, où a > 1. Traçons des graphiques pour différentes bases a : 1. y = 2 x 2. y = 3 x (option 1) 3. y = 10 x (option 2)"> title="Considérons une fonction exponentielle y = a x, où a > 1. Nous construisons des graphes pour différentes bases a : 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1ère option) 3. y = 10 x (2ème option)"> !}

À l'aide de constructions précises de tangentes aux graphiques, on peut voir que si la base a de la fonction exponentielle y \u003d ax augmente progressivement la base de 2 à 10, alors l'angle entre la tangente au graphique de la fonction à le point x \u003d 0 et l'axe des x augmente progressivement de 35 à 66, cinq. Il existe donc une base a dont l'angle correspondant est 45. Et cette valeur de a est comprise entre 2 et 3, car avec un \u003d 2, l'angle est de 35, avec un \u003d 3, il est de 48. Au cours de l'analyse mathématique, il est prouvé que cette base existe, elle est généralement désignée par la lettre e. Il est établi que e est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une fraction décimale non périodique infinie: e \u003d 2, ...; En pratique, on suppose généralement que e 2,7.

Graphique et propriétés de la fonction y = e x : 1) D (f) = (- ; +) ; 2) n'est ni pair ni impair ; 3) augmente ; 4) non limité par le haut, limité par le bas 5) n'a ni la plus grande ni la plus petite valeur ; 6) continu ; 7) E (f) = (0 ; + ); 8) convexe vers le bas ; 9) est différentiable. La fonction y = e x est appelée l'exposant.

Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que la fonction y \u003d e x a une dérivée en tout point x: -3)" = e x-3

3) -2 x) x \u003d -2 - point maximum x \u003d 0 - point minimum Réponse :

Propriétés de la fonction y = ln x : 1) D (f) = (0 ; +) ; 2) n'est ni pair ni impair ; 3) augmente de (0 ; + ); 4) non limité ; 5) n'a ni la plus grande ni la plus petite valeur ; 6) continu ; 7) E (f) = (-; +); 8) sommet convexe ; 9) est différentiable. Graphique et propriétés de la fonction y = ln x

Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que pour toute valeur x> 0, la formule de différenciation est valide 0 la formule de différenciation est valide"> 0 la formule de différenciation est valide"> 0 la formule de différenciation est valide" title="(!LANG : Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que pour toute valeur x>0 la formule de différenciation est valide"> title="Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que pour toute valeur x> 0, la formule de différenciation est valide"> !} Ressources Internet : pokazatelnojj-funkcii.html pokazatelnojj-funkcii.html