Comment trouver une surface carrée. Quelle est l'aire d'un carré ? Vidéo de formation « Comment trouver l'aire et le périmètre d'un carré »

Formule de superficie est nécessaire pour déterminer l'aire d'une figure, qui est une fonction à valeur réelle définie sur une certaine classe de figures du plan euclidien et satisfaisant 4 conditions :

1. Positivité - La surface ne peut pas être inférieure à zéro ;
2. Normalisation - un carré avec unité latérale a une aire 1 ;
3. Congruence : les figures congruentes ont une surface égale ;
4. Additivité - l'aire de l'union de 2 figures sans points internes communs est égale à la somme des aires de ces figures.

Formules pour l'aire des figures géométriques.

Figure géométrique	Formule	Dessin
Le résultat de l’addition des distances entre les milieux des côtés opposés d’un quadrilatère convexe sera égal à son demi-périmètre.
Secteur cercle. L'aire d'un secteur de cercle est égale au produit de son arc et de la moitié de son rayon.
Segment de cercle. Pour obtenir l'aire du segment ASB, il suffit de soustraire l'aire du triangle AOB à l'aire du secteur AOB.	S = 1 / 2 R(s - CA)
L'aire de l'ellipse est égale au produit des longueurs des demi-axes majeur et mineur de l'ellipse et du nombre pi.
Ellipse. Une autre option pour calculer l'aire d'une ellipse consiste à passer par deux de ses rayons.
Triangle. À travers la base et la hauteur. Formule pour l'aire d'un cercle en utilisant son rayon et son diamètre.
Carré . À ses côtés. L'aire d'un carré est égale au carré de la longueur de son côté.
Carré. À travers ses diagonales. L'aire d'un carré est égale à la moitié du carré de la longueur de sa diagonale.
Polygone régulier. Pour déterminer l'aire d'un polygone régulier, il faut le diviser en triangles égaux qui auraient un sommet commun au centre du cercle inscrit.	S = r p = 1/2 r n a

Carré est un quadrilatère régulier dont tous les côtés et angles sont égaux les uns aux autres.
L'aire d'un carré est égale au carré de son côté :
S = un 2

Preuve

Commençons par le cas où a = 1/n, où n est un nombre entier.
Prenons un carré de côté 1 et divisons-le en n 2 carrés égaux comme le montre la figure 1.

Puisque l'aire du grand carré est égale à un, l'aire de chaque petit carré est égale à 1/n 2. Le côté de chaque petit carré est 1/n, c'est à dire égal à a. Donc,
S = 1/n 2 = (1/n) 2 = une 2 . (1)
Laissez maintenant le numéro un représente une fraction décimale finie contenant n décimales (en particulier, le nombre a peut être un nombre entier, auquel cas n = 0). Alors le nombre m = a · 10 n est un nombre entier. Divisons ce carré de côté a en m 2 carrés égaux comme le montre la figure 2.

De plus, chaque côté d’un carré donné sera divisé en m parties égales et, par conséquent, le côté de tout petit carré est égal à

a/m = a / (a ​​​​· 10 n) = 1/10 n.

D'après la formule (1) L'aire du petit carré est (1/10 n) 2 . Ainsi, L'aire S de ce carré est égale à

m 2 · (1/10 n) 2 = (m/10 n) 2 = ((une · 10 n)/10 n) 2 = une 2 .

Enfin, laisse le numéro un représente une fraction décimale infinie. Considérez le nombre un, obtenu à partir de un en supprimant toutes les décimales après la virgule, en commençant par (n+1)ème. Depuis le numéro un diffère de un pas plus que 1/10n, Que une n ≤ une ≤ une n + 1/10 n, où

une n 2 ≤ une 2 ≤ (une n + 1/10 n) 2 . (2)

Il est clair que la zone S d'un carré donné est compris entre l'aire d'un carré de côté a n et l'aire d'un carré de côté a n + 1/10 n :

c'est-à-dire entre un n 2 Et (un n + 1/10 n) 2:

une n 2 ≤ S ≤ (une n + 1/10 n) 2 . (3)

Nous augmenterons le nombre de manière illimitée n. Puis le numéro 1/10n deviendra arbitrairement petit et, par conséquent, le nombre (an + 1/10 n) 2 différera aussi peu que souhaité du nombre a n 2. Ainsi, à partir des inégalités (2) Et (3) il s'ensuit que le nombre S diffère aussi peu que souhaité du nombre a 2 . Ces nombres sont donc égaux : S = un 2, c'était ce qui devait être prouvé.

L'aire d'un carré peut également être trouvée à l'aide des formules suivantes :

S = 4r 2 ,
S = 2R 2,

Beaucoup de gens se souviennent de ce qu'est un carré depuis l'école. Ce quadrilatère, qui est régulier, a des angles et des côtés absolument égaux. En regardant autour de vous, vous pouvez voir que nous sommes entourés de nombreuses places. Chaque jour, nous les rencontrons, et parfois il est nécessaire de trouver l'aire et le périmètre de cette figure géométrique. Le calcul de ces valeurs ne sera pas difficile si vous prenez quelques minutes pour regarder cette leçon vidéo, qui explique les règles simples pour effectuer les calculs.

Vidéo de formation « Comment trouver l'aire et le périmètre d'un carré »

Que faut-il savoir sur la place ?

Avant de commencer à effectuer des calculs, vous devez connaître certaines informations importantes sur ce chiffre, notamment :

• tous les côtés du carré sont égaux ;
• tous les coins d’un carré sont droits ;
• L'aire d'un carré est un moyen de calculer l'espace qu'une forme occupe dans un espace bidimensionnel ;
• l'espace bidimensionnel est une feuille de papier ou un écran d'ordinateur sur lequel un carré est dessiné ;
• le périmètre n'est pas un indicateur de la plénitude de la figure, mais permet de travailler avec ses côtés ;
• le périmètre est la somme de tous les côtés du carré ;
• Lors du calcul du périmètre, nous opérons avec un espace unidimensionnel, ce qui signifie enregistrer le résultat en mètres et non en mètres carrés (superficie).

Comment trouver l'aire d'un carré ?

Le calcul de l'aire d'une figure donnée peut être expliqué simplement et facilement à l'aide d'un exemple :

• Supposons que le côté du carré mesure 8 mètres ;
• pour calculer l'aire d'un rectangle, vous devez multiplier la valeur d'un côté par l'autre (8 x 8 = 64) ;
• puisque nous multiplions les mètres par les mètres, le résultat est des mètres carrés (m2).

Comment trouver le périmètre d'un carré ?

Sachant que tous les côtés d'un rectangle donné sont égaux, vous devez effectuer les manipulations suivantes pour calculer son périmètre :

• additionnez les quatre côtés du carré (8 + 8 + 8 + 8 = 32) ;
• la valeur résultante sera le périmètre du carré, enregistré en mètres.

Toutes les formules et calculs donnés dans cet article sont applicables à n’importe quel rectangle. Il est important de se rappeler que lorsqu’il s’agit d’autres rectangles non réguliers, les côtés auront des valeurs différentes, par exemple 4 et 8 mètres. Cela signifie que pour trouver l'aire d'un tel rectangle, il faudra multiplier les côtés de la figure qui sont de valeur différente, et non les mêmes.

Il faut également rappeler que la superficie se mesure en mètres carrés et le périmètre en mètres simples. Si le périmètre est tracé sous la forme d'une longue ligne, sa valeur ne changera pas, ce qui indique que les calculs sont effectués dans un espace unidimensionnel.

La superficie est mesurée en deux dimensions, comme indiqué en mètres carrés, que l'on obtient en multipliant mètres par mètres. L'aire est un indicateur de la plénitude d'une figure géométrique et nous indique la couverture imaginaire nécessaire pour remplir un carré ou un autre rectangle.

Des explications simples de la leçon vidéo vous permettront de calculer rapidement l'aire et le périmètre non seulement d'un carré, mais également de n'importe quel rectangle. Ces connaissances issues du cursus scolaire seront utiles lors de la rénovation d'une maison ou d'un jardin.

Matériaux additionnels
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Que sont le rectangle et le carré

Rectangle est un quadrilatère avec tous les angles droits. Cela signifie que les côtés opposés sont égaux.

Carré est un rectangle avec des côtés égaux et des angles égaux. C’est ce qu’on appelle un quadrilatère régulier.

Les quadrangles, y compris les rectangles et les carrés, sont désignés par 4 lettres - sommets. Les lettres latines sont utilisées pour désigner les sommets : A B C D...

Exemple.

Cela se lit comme ceci : quadrilatère ABCD ; carré EFGH.

Quel est le périmètre d'un rectangle ? Formule de calcul du périmètre

Périmètre d'un rectangle est la somme des longueurs de tous les côtés du rectangle ou la somme de la longueur et de la largeur multipliée par 2.

Le périmètre est indiqué par une lettre latine P.. Puisque le périmètre est la longueur de tous les côtés du rectangle, le périmètre s'écrit en unités de longueur : mm, cm, m, dm, km.

Par exemple, le périmètre du rectangle ABCD est noté P. ABCD, où A, B, C, D sont les sommets du rectangle.

Écrivons la formule du périmètre d'un quadrilatère ABCD :

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Exemple.
Soit un rectangle ABCD de côtés : AB=CD=5 cm et AD=BC=3 cm.
Définissons P ABCD.

Solution:
1. Dessinons un rectangle ABCD avec les données d'origine.
2. Écrivons une formule pour calculer le périmètre d’un rectangle donné :

P. ABCD = 2 * (AB + BC)

P. ABCD = 2 * (5 cm + 3 cm) = 2 * 8 cm = 16 cm

Réponse : P ABCD = 16 cm.

Formule pour calculer le périmètre d'un carré

Nous avons une formule pour déterminer le périmètre d'un rectangle.

P. ABCD = 2 * (AB + BC)

Utilisons-le pour déterminer le périmètre d'un carré. En considérant que tous les côtés du carré sont égaux, on obtient :

P. ABCD = 4 * AB

Exemple.
Étant donné un carré ABCD de côté égal à 6 cm, déterminons le périmètre du carré.

Solution.
1. Dessinons un carré ABCD avec les données originales.

2. Rappelons la formule de calcul du périmètre d'un carré :

P. ABCD = 4 * AB

3. Remplaçons nos données dans la formule :

P. ABCD = 4 * 6 cm = 24 cm

Réponse : P ABCD = 24 cm.

Problèmes pour trouver le périmètre d'un rectangle

1. Mesurez la largeur et la longueur des rectangles. Déterminez leur périmètre.

2. Dessinez un rectangle ABCD de 4 cm et 6 cm de côté et déterminez le périmètre du rectangle.

3. Dessinez un carré SEOM de 5 cm de côté et déterminez le périmètre du carré.

Où est utilisé le calcul du périmètre d'un rectangle ?

1. Un terrain a été attribué, il doit être entouré d'une clôture. Quelle sera la longueur de la clôture ?

Dans cette tâche, il est nécessaire de calculer avec précision le périmètre du site afin de ne pas acheter de matériaux excédentaires pour construire une clôture.

2. Les parents ont décidé de rénover la chambre des enfants. Vous devez connaître le périmètre de la pièce et sa superficie afin de calculer correctement la quantité de papier peint.
Déterminez la longueur et la largeur de la pièce dans laquelle vous vivez. Déterminez le périmètre de votre pièce.

Quelle est l'aire d'un rectangle ?

Carré est une caractéristique numérique d'une figure. La surface est mesurée en unités carrées de longueur : cm 2, m 2, dm 2, etc. (centimètre carré, mètre carré, décimètre carré, etc.)
Dans les calculs, il est désigné par une lettre latine S.

Pour déterminer l'aire d'un rectangle, multipliez la longueur du rectangle par sa largeur.
L'aire du rectangle est calculée en multipliant la longueur du AC par la largeur du CM. Écrivons cela sous forme de formule.

S AKMO = AK * KM

Exemple.
Quelle est l'aire du rectangle AKMO si ses côtés mesurent 7 cm et 2 cm ?

S AKMO = AK * KM = 7 cm * 2 cm = 14 cm 2.

Réponse : 14 cm2.

Formule pour calculer l'aire d'un carré

L'aire d'un carré peut être déterminée en multipliant le côté par lui-même.

Exemple.
Dans cet exemple, l'aire du carré est calculée en multipliant le côté AB par la largeur BC, mais comme ils sont égaux, le résultat est de multiplier le côté AB par AB.

S ABCO = AB * BC = AB * AB

Exemple.
Déterminez l'aire d'un carré AKMO de 8 cm de côté.

S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm2

Réponse : 64 cm2.

Problèmes pour trouver l'aire d'un rectangle et d'un carré

1. Étant donné un rectangle de côtés 20 mm et 60 mm. Calculez sa superficie. Écrivez votre réponse en centimètres carrés.

2. Une parcelle de datcha mesurant 20 m sur 30 m a été achetée. Déterminez la superficie de la parcelle de datcha et écrivez la réponse en centimètres carrés.

Lisez l'article pour savoir comment trouver l'aire d'un carré de différentes manières.

Un carré est un rectangle équilatéral. Un quadrilatère régulier et plat donné a l'égalité dans tous ses côtés, angles et diagonales. En raison du fait qu'une telle égalité existe, la formule de calcul de la superficie et d'autres caractéristiques est légèrement modifiée par rapport aux autres chiffres mathématiques. Mais cela ne rend pas la tâche trop difficile. Examinons toutes les formules et solutions aux problèmes dans cet article.

Carré S les angles droits et carrés sont calculés par la formule : un multiplier par b. Mais comme le carré a des côtés complètement égaux, son aire sera égale à : S=(a) à la puissance deux. Comment connaître la taille du côté d'un carré, connaissant son aire ?

• Si l'aire d'un carré est connue, alors le côté est trouvé en calculant l'aire à partir de la racine carrée.
• Par exemple, si l'aire d'un carré est de 49, alors quel est le côté ?
• 49=(a) à la deuxième puissance. Solution: a=racine de 49=7. Réponse : 7.

Si vous avez besoin de trouver le côté d’un carré dont l’aire est trop longue, utilisez une calculatrice. Entrez d'abord le numéro de zone, puis appuyez sur le signe racine du clavier de la calculatrice. Le nombre résultant sera la réponse.

Dans cet exemple, nous utiliserons le théorème de Pythagore. Un carré a tous ses côtés égaux et sa diagonale est d nous considérerons comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle avec une jambe UN. On trouve maintenant la diagonale du carré si son aire est connue :

• Afin de ne pas décrire l'intégralité du théorème de Pythagore, nous résoudrons selon la deuxième option : d=a√2, où a est le côté du carré.
• Ainsi, on connaît l'aire du carré, par exemple, elle est égale à 64. Cela signifie un côté une=√64=8.
• Il s'avère d=8√2. La racine de 2 ne s'avère pas être un entier, la réponse peut donc s'écrire exactement comme ceci : d=8√2. Mais si vous souhaitez calculer la valeur, utilisez la calculatrice : √2= 1,41421356237 et multipliez par 8, vous obtenez 11, 3137084.

Important: Habituellement, en mathématiques, les nombres comportant un grand nombre de chiffres après la virgule ne sont pas laissés dans la réponse. Il doit être arrondi ou laissé à la racine. Par conséquent, la réponse pour trouver la diagonale si l’aire est de 64 sera : d=8√2.

La formule pour trouver l'aire d'un carré à l'aide de la diagonale est simple :

Écrivons maintenant une solution pour trouver l'aire d'un carré en utilisant la diagonale :

• Diagonale d=8.
• 8 au carré est égal à 64.
• 64 divisé par 2 est égal à 32.
• L'aire du carré est de 32.

Conseil: Ce problème a une autre solution grâce au théorème de Pythagore, mais elle est plus complexe. Utilisez donc la solution que nous avons abordée.

Périmètre d'un carré P. est la somme de tous les côtés. Pour connaître son aire, connaissant son périmètre, il faut d'abord calculer le côté du carré. Solution:

• Disons que le périmètre est de 24. Divisez 24 en 4 côtés, nous obtenons 6 - c'est un côté.
• Nous utilisons maintenant la formule pour trouver l'aire, sachant à quoi est égal le côté d'un triangle carré : S=a au carré, S=6 au carré=36.
• Répondre: 36

Comme vous pouvez le constater, connaissant le périmètre d’un carré, vous pouvez simplement trouver son aire.

Rayon R. est la moitié de la diagonale d’un carré inscrit dans un cercle. Nous pouvons maintenant trouver la diagonale en utilisant la formule : d=2*R. Ensuite, on trouve l'aire d'un carré inscrit dans un cercle de rayon donné :

• La diagonale est égale à 2 fois le rayon. Par exemple, le rayon est 5, alors la diagonale est 2*5=10 .
• Il a été décrit ci-dessus comment trouver l'aire d'un carré si la diagonale est connue : S=diagonale au carré divisée par 2. S=10*10 et divisée par 2=50.
• Répondre - 50 .

Cette tâche est un peu plus compliquée, mais aussi facile à résoudre si vous connaissez toutes les formules.

L'image montre que le rayon du cercle inscrit est égal à la moitié du côté. Le côté se trouve à l'aide de la formule inverse de celle montrée sur l'image : a=2*r. On trouve ensuite l'aire d'un carré circonscrit à un cercle de rayon donné en utilisant la formule S=a au carré. Solution:

• Disons que le rayon est 7. Le côté du carré a est 2*7=14.
• S=14 au carré=196.

Si vous comprenez l'essence de la résolution de tels problèmes, vous pouvez les résoudre rapidement et simplement. Regardons quelques exemples supplémentaires.

Exemples de résolution de problèmes sur le thème « Aire d'un carré »

Pour consolider le matériel abordé et mémoriser toutes les formules, vous devez résoudre plusieurs exemples de problèmes sur le thème « Aire d'un carré ». Nous commençons par un problème simple et passons à la résolution de problèmes plus complexes : Exemples de résolution de problèmes complexes sur le thème « Aire d'un carré »

Vous savez maintenant comment utiliser la formule de l'aire d'un carré, ce qui signifie que vous pouvez gérer n'importe quelle tâche. Bonne chance dans vos futures études !

Vidéo : Calculer l'aire d'un carré