4 х мерный мир. О наличии четвёртого, пятого и более измерений

Здесь, на земле, мы все живем в трехмерном измерении , характеризующимся метрическими единицами: длиной, шириной, высотой. А что такое четвертое измерение ? Как можно его представить, с чем сравнить?

Вся Библия пронизана описанием четвертого измерения, как места обитания различных духовных существ, начиная от Божьих Ангелов до самых падших сущностей. Есть весьма любопытное место в Писании, иллюстрирующее нам, что такое четвертое измерение:

18 чтобы вы, укорененные и утвержденные в любви, могли постигнуть со всеми святыми, что широта и долгота, и глубина и высота ,
19 и уразуметь превосходящую разумение любовь Христову, дабы вам исполниться всею полнотою Божиею.
(К Ефесянам 3:18,19)

Оказывается, эта область духовного мира имеет свои метрические характеристики. Эта область познаваема, при условии укоренения в любви Христовой.

Эта область Божьего творения открывает верующим любовь Христову, которую невозможно объять рассудком, и распахивает двери ко всей полноте Божией. Дух захватывает, лишь представишь себе, какие бесконечные возможности познания мира открывает нам четвертое измерение !

Эта область духовного мира неизмеримо больше физического, т.е. больше всех видимых, проявленных звезд, галактик, планет. В Библии написано, что весь материальный мир покоится на Слове Божьем. "Земля - подножие ног Его ". Все человечество сравнивается с каплей из ведра. Ис.40:15 "Вот народы - как капля из ведра, и считаются как пылинка на весах. Вот, острова как порошинку поднимает Он."

Как я уже писал в предыдущих , четвертое измерение представляет собой духовную область мироздания Божьего, которую условно можно разделить на три составляющие:

1 Небо (обычное, видимое в виде облаков, паров воздуха, т.е. атмосферы).

2 Воздух (невидимая для глаз сфера обитания "князя тьмы, господствующего в воздухе" и его воинства).

3 Небо небес (место обитания Бога, Святых Ангелов и душ святых).

Есть замечательная книга "Четвертое измерение ", написанная всемирно известным евангелистом, старшим пастором Корейской церкви Полного Евангелия, численностью около миллиона верующих прихожан, Йонги Чо .

После прочтения его книги моя вера буквально подскочила. Я перечитывал ее вновь и вновь, впитывая в себя дух Божьей веры, наполняющий каждую строчку этой книги.
Я стал глубже понимать значение истинной веры, которая действует сейчас и здесь, не через некоторое время, не завтра, не через год, а именно, сейчас. В моем разуме, как бы распахнулись окна в другой мир, в котором действуют свои законы, отличные от законов материального мира. Если в материальном мире мы связаны временем, то в четвертом измерении всякое наше желание мгновенно реализуется.

Меня поразила непоколебимая увереннось Йонги Чо в осуществлении ожидаемого по его молитвам. В книге очень наглядно и живо описывается момент, когда он, молодой и бедный пастор, вынужденный за километров пешком добираться до своей церкви для служения пастве, однаждый помолился Богу, попросив у него велосипед, чтобы добираться на нем до места служения.

День ждал, месяц, второй, третий, а велосипеда как не было, так и нет. Он снова помолился, и Бог проговорил к нему:
"Ты знаешь, сколько марок велосипеда существует на земле, сколько моделей, окрасок? Проси конкретно, что ты хочешь..."

Молодой парень быстро сообразил что к чему и в своей молитве попросил у Бога велосипед конкретной марки, конкретной страны-изготовителя, конкретного цвета и конкретной стоимости. После этого он возложил упование свое на Бога и просто стал ждать. Зная о его мечте, некоторые прихожане спрашивали: "Ну где же твой велосипед, о котором ты молился?" Йонги Чо в ответ показал на свой живот:
"Вот здесь..." Время шло, а велосипеда все не было. Прихожане начали шутить над ним, говоря: "Наш пастор беременен велосипедом!"
Молодой парень не обижался на них, и однажды просто сказал:
-А вы знаете, что женщина вынашивает ребенка девять месяцев?
-Да, конечно, знаем, - отвечали насмешники.
-Скажите, ребенок в течение 9 месяцев в утробе матери реально существует?
-Да, конечно, мы согласны с этим.
-Вот и мой велосипед реально уже существует...
Через какое то время приезжий миссионер из Америки подарил ему велосипед точно такой расцветки, модели, цены, о котором он просил у Бога.

Удивительное веры! Многим христианам, годами выпрашивающим у Бога, есть чему поучиться у этого человека.

Служения евангелиста Йонги Чо, проводимые по всему миру, всегда сопровождались и сопровождаются чудесами исцеления, . Миллионы людей через его служение пришли к Богу.

Можно много говорить об этом удивительном служителе Божьем, но лучше всего расскажет о нем и его учении книга " Четвертое измерение ", которую любезно предоставляю читателям моего для прочтения. Уверен, после прочтения этой удивительной книги каждый жаждущий и ищущий обязательно откроет для себя основные принципы духовного мира и закон непоколебимой веры.

См. также: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=3_11

Предисловие
Введение
1. Принцип наращивания размерностей
2. Принцип аналогий
3. Принцип многомерных массивов
4. Принцип сущностей
5. Принцип композиции
6. Принцип схлопывания
7. Принцип бесконечной рекурсии
Заключение
Литература
^Примечания (в конце статьи)

Влекут с завидным постоянством
Нас многомерные пространства.
Их наделяем чудесами,
О них мечтаем мы часами.
Повсюду ищем день за днём...
При этом сами в них живём. ©

ПРЕДИСЛОВИЕ

Почему люди веками пытаются понять и объяснить четырёхмерное пространство? Зачем им это нужно? Что толкает их на поиски загадочного четырёхмерного мира? Представляется, что этому есть несколько причин.

Во-первых, людей подталкивает к поиску невидимого пространства неосознаваемое ими чувствознание, другими словами, вера в Высшие основы Мироздания, как память о пребывании в том мире ещё до момента своего рождения.

Во-вторых, на существование Высшего мира прямо указывают все мировые религии и эзотерические учения. Данный факт невозможно сбросить со счетов или объявить случайным совпадением случайностей. Тем более, что случайность является всего лишь математической абстракцией и потому принципиально нереализуема в реальном мире, в котором все события строго обусловлены причинно-следственными связями.

В-третьих, на это указывает опыт, накопленный огромным числом экстрасенсов и мистиков всех времён и народов, в большинстве случаев никак не связанных между собой и не знакомых с опытом своих «коллег», но свидетельствующих, фактически, об одном и том же. Более того, каждый человек проводит в том мире третью часть своей жизни; это происходит во время сна.

Так в чём же тогда состоит проблема понимания четырёхмерного пространства?

ВВЕДЕНИЕ

С одной стороны, никакой проблемы понимания четырёхмерного пространства, казалось бы, не должно быть вовсе, так как имеется современное Учение – Агни Йога , б`ольшая часть книг которого почти целиком посвящена мирам высшей размерности. Имеются также подробнейшие разъяснения базовых положений этого Учения и, в частности, всех основных особенностей многомерных миров .

С другой стороны, проблема налицо, поскольку в науке нет даже определений^1 таких важнейших компонентов пространства, как точка, прямая, плоскость, а понятие размерность неточно^2 отражает фундаментальное свойство размерности пространства. Всё это в совокупности с верой в нуль, непрерывность и бесконечность^3, способствует появлению различных заблуждений и противоречий, например, таких как:

Оперирование понятием пространства бесконечно большой размерности;
отрицание возможности существования даже четырёхмерного пространства только на том основании, что четвёртую перпендикулярную координатную ось провести невозможно;
непонимание сути многомерности пространства;
игнорирование реально существующих^4 пространств высшей размерности;
разработка «многомерных» моделей Вселенной^5, не имеющих ничего общего с реальностью .

Предпринималось много попыток обосновать существование высшего, четырехмерного пространства. Среди них известны математические, физические, геометрические, психологические и другие попытки . Однако все их можно признать неудачными, поскольку они так и не дали чёткого и верного ответа на главный вопрос: что собой представляет и куда направлена «ось» 4-го измерения.

Рассмотрим теперь основные подходы к конструированию 4-х мерного пространства подробнее.

1. ПРИНЦИП НАРАЩИВАНИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Данный подход, или принцип основан на следующих простых рассуждениях. Пусть, к примеру, имеется 3D-объект – школьная тетрадь в линейку. Здесь буква «D» означает «размерность» (от англ. слова Dimension). Будучи трёхмерным объектом, тетрадь обладает тремя измерениями: длиной, шириной и толщиной.

Открыв тетрадь, мы можем наглядно убедиться в том, что «пространство» нулевой размерности (точки линеек) вложено в одномерное «пространство» (горизонтальные линии), а оно, в свою очередь, вложено в двухмерное «пространство» (страницу). Двухмерное «пространство», или страницы вложено в трёхмерное (тетрадь).

Простая индукция позволяет предположить, что трёхмерное пространство должно быть вложено в четырёхмерное, и так далее .

Прежде всего, здесь следует отметить, что наращивание размерности пространства на этапах 0D ––> 1D, 1D ––> 2D, 2D ––> 3D всегда осуществлялось в направлении, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОМ предыдущим направлениям. При переходе же к 4D-пространству этот принцип был нарушен, что ставит под сомнение как допустимость такого приёма, так и справедливость полученных результатов.

Кроме того, поскольку математическая точка не обладает размерами, то «пространства» с размерностью 0, 1 и 2 являются (также как и сама точка) лишь математическими абстракциями, то есть реально существовать не могут. Таким образом, минимальная размерность реального пространства равна трём: Dmin = 3. Следовательно, принцип индукции, выведенный для АБСТРАКТНЫХ объектов, не может быть положен в основу конструирования РЕАЛЬНОГО 4-х мерного пространства, а само 4-х мерное пространство не может быть объяснено рассмотренным выше способом.

Выводы 1:

1.1. Четырёхмерное пространство, полученное путём наращивания размерностей, является не более чем математической абстракцией, то есть игрой воображения.
1.2. Применение принципа наращивания размерностей для обоснования 4D-пространства чревато формированием ложных представлений о многомерных пространствах (рис. 1.2).
1.3. Наш 3-х мерный мир, который мы видим, ощущаем и понимаем, принципиально не может оказаться вложенным в какой-либо другой мир с числом измерений, отличным от трёх.

Тем не менее, отметим в нашем примере с тетрадкой и запомним два очень важных момента:

1. НИЗШЕЕ пространство всегда мысленно «вкладывалось» В ВЫСШЕЕ, то есть в пространство с б`ольшим числом измерений.
2. ВСЕ рассмотренные пространства наполнены материей ОДНОГО типа, то есть трёхмерной атомарной материей. В примере это были атомы, входящие в состав тетрадной бумаги и краски.

2. ПРИНЦИП АНАЛОГИЙ

Этот способ создания «четырёхмерных» фигур близок к рассмотренному в предыдущем разделе. В отличии от своих предшественников сторонники данного способа честно признают тот факт, что четвёртую перпендикулярную ось провести невозможно, но уверяют, что для получения четвёртого измерения необходимо и достаточно простых аналогий (табл. 2.1). Однако доказательства четырёхмерности полученных фигур, к сожалению, не приводятся.

Рассматривая рисунок 2.1 слева направо и фиксируя свойства геометрических объектов, придём к таблице свойств.

Таблица 2.1

1D: Отрезок | 2D: Треугольник | 3D: Тетраэдр | 4D: Симплекс
=======================================================
2 вершины | 3 вершины | 4 вершины | 5 вершин
1 ребро | 3 ребра | 6 рёбер | 10 рёбер
--- | 1 грань | 3 грани | 10 граней
--- | --- | 1 тетрагрань | 5 тетраграней
--- | --- | --- | 1 симплекс-грань

Как видно из рисунка и таблицы, в основе «принципа аналогий» лежит идея достаточности для перехода в новое измерение простого увеличения числа вершин геометрической фигуры и попарного соединения всех вершин рёбрами.
Более наглядное представление о принципе аналогий можно получить, просмотрев фрагмент видеофильма .

Подводя итоги, сформулируем выводы.

Выводы 2:

2.1. Основанные на принципе аналогий «многомерные» построения являются математическими абстракциями и существуют исключительно в воображении.
2.2. Разработанные виртуальные (компьютерные) реализации «четырёхмерных» геометрических многогранников не могут служить обоснованием реальности таких объектов, поскольку само понятие «виртуальный» является синонимом понятия «не существующий в реальности».
2.3. Перенесение этих абстракций в реальный мир требует предварительного доказательства их многомерности.

3. ПРИНЦИП МНОГОМЕРНЫХ МАССИВОВ

В предыдущих разделах мы убедились, что понять и описать реальное (не абстрактное) 4-х мерное пространство оказалось совсем непросто. Однако математика, как известно, с лёгкостью оперирует так называемыми многомерными объектами, например, «многомерными» массивами и векторами.

В связи с данным обстоятельством возникает идея применить для описания многомерных пространств и объектов якобы многомерные математические конструкции, например, массивы. Задать многомерный массив можно, дав определение, но можно ввести его в рассмотрение и поэтапно, то есть путём последовательных рассуждений, аналогичных проделанным в примере со школьной тетрадкой. Пойдём вторым путём:

Положение точки x на отрезке прямой задаётся одной координатой, другими словами, однокомпонентным одномерным массивом: A1 = (x1);
Положение точки x на плоскости определяется двумя координатами, то есть двухкомпонентным одномерным массивом: A2 = (x1, x2);
Положение точки x в трёхмерном пространстве будет описано тремя координатами, или трёхкомпонентным одномерным массивом: A3 = (x1, x2, x3);
Продолжая индукцию, придём к четырёхкомпонентному одномерному массиву, описывающему положение точки x в четырёхмерном гиперпространстве: A4 = (x1, x2, x3, x4).

Применяя понятие массива рекурсивно, то есть вкладывая одни массивы в другие, можно ввести иерархическую систему массивов для описания более крупных пространственных объектов:

Точка – массив координат в текущем пространстве;
Линия – массив точек (матрица);
Страница – массив линий («куб»);
Книга – массив страниц («гиперкуб»);
Книжная полка – массив книг (массив 5-го порядка);
Книжный шкаф – массив полок (массив 6-го порядка);
Книгохранилище – массив шкафов (массив 7-го порядка).

Приведём ещё один пример применения моделей пространства на основе вложенных многомерных массивов:

Атом – (одномерный) массив координат;
Молекула – (двухмерный) массив атомов;
Тело – (трёхмерный) массив молекул;
Небесное тело – (четырёхмерный) массив тел;
Звёздная система – (пятимерный) массив небесных тел;
Галактика – (шестимерный) массив звёздных систем;
Вселенная – (семимерный) массив Галактик.

Выводы 3:

3.1. Все объекты в рассмотренной иерархической модели имеют ОДИНАКОВУЮ пространственную размерность, которая определяется числом компонентов исходного одномерного массива. Однако этим компонентам можно дать не только пространственную, но и произвольную интерпретацию.
3.2. Ни количество вложенных массивов, ни их размерность (правильнее говорить – порядок!) никак не связаны с мерностью моделируемого пространства.
3.3. Таким образом, применив «многомерные» (правильнее говорить – многокомпонентные!) массивы, мы опять ни на шаг не приблизились к нашей цели – пониманию смысла многомерного пространства.

4. ПРИНЦИП СУЩНОСТЕЙ

Попробуем теперь от идеи конструирования мифических якобы «четырёхмерных» объектов перейти к реальным сущностям, чтобы взглянуть на мир как бы изнутри, то есть их «глазами». Предположим также, что в пространстве любой размерности (например, в трёхмерном пространстве) могут одновременно пребывать существа разного уровня развития, с разными возможностями по перемещению в пространстве, то есть с разным числом измерений.

Начнём с камней. К этой же группе можно причислить также «тессеракты», «симплексы» и все прочие многогранники. Это всё пассивные объекты, не способные к движению ни в одном из направлений. Поэтому отнесём их к категории «существ» нулевой^6 размерности.

К одномерным^7 сущностям можно отнести растения, которые имеют возможность «двигаться» только в одном направлении (в «направлении» увеличения своих размеров) с жёсткой привязкой к одной конкретной точке пространства.

Двухмерными^8 существами назовём тех, кто будет способен перемещаться в двух направлениях, то есть в пределах поверхности. Даже если эта поверхность имеет сложные очертания и переходит, например, с поверхности почвы в поверхность ствола дерева.

Простая аналогия позволяет предположить, что трёхмерные существа должны иметь способность перемещаться в 3-х различных направлениях. Например, они должны уметь не только ползать, но и ходить, прыгать или летать.

Та же аналогия приводит нас к выводу об обязательном наличии у четырёхмерных сущностей четвёртой сверх способности к перемещению в 4-м направлении. Таким направлением может стать движение ВНУТРЬ трёхмерных объектов.

Свойствами 4-х мерных сущностей обладают, например, эфир (радиоволны), радиоактивные ядра гелия (альфа-частицы), вирусы и так далее.

Выводы 4:

4.1. Четырёхмерные сущности невидимы. Например, размеры вируса лишь на два порядка превышают размеры атома. На острие иглы могут свободно разместиться 100 000 вирусов гриппа.
4.2. Логично предположить, что невидимые четырёхмерные сущности обитают в невидимом четырёхмерном пространстве.
4.3. Четырёхмерное пространство должно обладать очень тонкой структурой. Например, пространством обитания вируса является биологическая клетка, размеры которой измеряются нанометрами (1 нм = 1/1000000000 м).
4.4. Координатная «ось» четвёртого измерения направлена внутрь трёхмерного пространства.
4.5. Само по себе четырёхмерное пространство и четырёхмерные сущности трёхмерны. Однако ОТНОСИТЕЛЬНО трёхмерного пространства они обладают свойствами 4-го измерения.

5. ПРИНЦИП КОМПОЗИЦИИ

С появлением Теории относительности в сознании широких масс укоренилось представление о времени, как о четвёртой пространственной координате . Примирению разума со столь странной точкой зрения, очевидно, способствовали также различные временные графики, тренды и диаграммы. Удивительно только, что творческое воображение приверженцев такого взгляда на МНОГОмерное пространство почему-то всегда таинственным образом полностью иссякает на цифре «четыре».

Из физики известно, что существуют различные системы физических единиц, в частности, система СГС (сантиметр-грамм-секунда) , где в качестве независимых физических величин используются длина, масса и время. Все остальные величины выводятся из трёх основных. Таким образом, в роли трёх «китов» Мироздания в СГС выступают Пространство, Материя и Время.

В современной физике пространство и время искусственно объединены в единый четырёхмерный «континуум», называемый пространством Минковского . Многие искренне верят в то, что оно и есть то самое четырёхмерное пространство. Однако подобный взгляд на многомерное пространство чреват появлением целого ряда нелогичностей и несуразностей.

Во-первых, время, будучи независимой величиной, не может выступать в качестве свойства (пространственной характеристики) другой НЕЗАВИСИМОЙ величины – пространства.

Во-вторых, если всерьёз считать время четвёртой пространственной координатой, то в таком случае четырёхмерные сущности (то есть все мы, как обитатели «четырёхмерного» пространства-времени) должны обладать способностью перемещаться не только в пространстве, но и во времени! Однако мы знаем, что это не так. Таким образом, одна из якобы пространственных координат не обладает свойствами, которые присущи настоящим пространственным координатам.

В-третьих, настоящее пространство не может само по себе перемещаться относительно своих неподвижных обитателей ни в одном из своих направлений. Однако пространство-время такой фантастической способностью обладает. Более того, оно движется в четвёртом (временном) направлении исключительно избирательно: с разной скоростью по отношению к камням, растениям, животным и людям.

В-четвёртых, можно предположить, что по логике релятивистов 5-ти мерным пространством должна стать композиция пространства-времени с третьим «китом» Мироздания – материей.

В-пятых, напрашивается резонный вопрос: с какой системой единиц (СГСЭ или СГСМ) будет связано 6D-пространство?

Однако самым парадоксальным в релятивистском видении 4D-пространства является то, что на типичном релятивистском 3-х мерном графическом изображении якобы 4-х мерного пространства (рис. 5.1) 4-я координатная (временн`ая) ось отсутствует как таковая (!); зато хорошо виден результат присутствия материи (массы), которая в составе четырёхмерного «пространства-времени» даже не упоминается. :)

Наверное, именно поэтому словосочетание «пространство-время» так часто вызывает скепсис и ассоциируется с бородатым анекдотом про то, как в армии был найден собственный способ композиции пространства и времени, выразившийся в приказе рыть канаву от забора до обеда.

Выводы 5:

5.1. Совместное рассмотрение пространства и времени вполне допустимо.
5.2. Наделение времени свойствами пространства – искусственный приём, далёкий от реальности.
5.3. Релятивистский «четырёхмерный» пространственно-временной «континуум» не имеет ни малейшего отношения к реальному четырёхмерному пространству, тем более, к пространствам, размерность которых превышает 4, и является ещё одним примером математических фантазий на тему многомерности.

6. ПРИНЦИП СХЛОПЫВАНИЯ

Поскольку центральным вопросом любой модели 4-х мерного пространства является вопрос о выборе направления 4-ой пространственной координаты, в разделах 1 – 5 были рассмотрены различные подходы к решению этой проблемы.

Так, авторы «четырёхмерных» многогранников направляли четвёртую ось, куда хотели. Авторы многомерных массивов – в никуда. Вирусы и другие четырёхмерные сущности могли перемещаться внутрь трёхмерного пространства. Релятивисты же наделили обитателей 4-х мерного пространства (к которым они причислили и всех нас) способностью перемещаться во времени, как в обычном пространстве, значит, – в любом временн`ом направлении.

Казалось бы, все варианты уже исчерпаны, и настал момент определиться с выбором одного из известных направлений для четвёртой оси. Ан, нет! Авторы модной ныне «Теории струн» нашли ещё одно никем не занятое «направление». Глядя на смотанный поливочный шланг, они придумали все «лишние» координатные оси скрутить в колечки, трубочки и бублички. А чтобы объяснить, почему мы их не видим, наделили колечки размерами, которые «бесконечно малы даже в масштабе субатомных частиц» . Сторонники струнной теории считают, что все высшие пространственные измерения самопроизвольно схлопнулись, или по научному «компактифицировались» сразу после образования Вселенной.

Предвосхищая другой вопрос, – Зачем схлопнулись? – Теория струн выдвинула также гипотезу «ландшафта», в соответствии с которой никакого «схлопывания» вовсе и не было, все оси высших измерений целёхоньки, а невидимы они для нас по той причине, что наше 3-х мерное пространство, будучи гиперповерхностью (бр`аной) многомерного пространства Вселенной, якобы не позволяет нам взглянуть за пределы этой самой браны. К сожалению, ориентированы невидимые координатные оси в никому неизвестных направлениях.

Кроме перечисленного, нельзя не коснуться также других «заслуг» Теории струн.

Теория эта создавалась для описания физических закономерностей, проявляющихся на самом низком уровне рассмотрения материи, то есть на уровне субатомных частиц, а также их взаимодействий. Однако ситуация, когда одна гипотеза (Теория струн) пытается описать другие гипотезы (догадки о строении и о количестве элементарных частиц), представляется весьма сомнительной. Настораживает также полное отсутствие единого мнения по вопросу о реальном числе измерений многомерной Вселенной.

Существует множество способов свести многомерные струнные модели к наблюдаемому 3-х мерному пространству. Однако критерия для определения оптимального пути редукции не существует. В то же время, количество таких вариантов поистине огромно. По некоторым оценкам их число вообще бесконечно.

Кроме того, «математический аппарат теории струн столь сложен, что сегодня никто даже не знает точных уравнений этой теории. Вместо этого физики используют лишь приближенные варианты этих уравнений, и даже эти приближенные уравнения столь сложны, что пока поддаются только частичному решению» . При этом хорошо известно, что чем сложнее теория, тем дальше она отстоит от Истины.

Будучи исключительно продуктом воображения, Теория струн остро нуждается в экспериментальном подтверждении и проверке, однако, скорее всего, в обозримом будущем её нельзя будет ни подтвердить, ни проверить в силу очень серьёзных технологических ограничений. В этой связи некоторые учёные сомневаются, заслуживает ли вообще такая теория статуса научной.

Выводы 6:

6.1. Сосредоточив всё внимание на описании мельчайших частиц, Теория струн упустила из виду объяснение таких проявлений миров Высшей размерности, как вещие сны, астральные выходы, одержание, телепатия, пророчества и т. п.
6.2. То обстоятельство, что Теория струн хорошо описывает целый ряд явлений без привлечения старых физических теорий, подтверждает гипотезу о реальной многомерности Вселенной.

7. ПРИНЦИП БЕСКОНЕЧНОЙ РЕКУРСИИ

Принцип бесконечной рекурсии или фрактальности Мира основан на гипотезе о бесконечной делимости материи и берёт своё начало с трудов греческого философа Анаксагора (5-й век до Р. Х.), утверждавшего, что в каждой частице, какой бы малой она ни была, «есть города, населённые людьми, обработанные поля, и светит солнце, луна и другие звёзды, как у нас».

В философском плане данную идею разделял, к примеру, В. И. Ленин (1908), считавший, что «электрон так же неисчерпаем, как и атом, природа бесконечна...». В литературе – Джонатан Свифт со своим знаменитым Гулливером (1727). В поэзии – Валерий Брюсов (1922):

Быть может, эти электроны
Миры, где пять материков,
Искусства, знанья, войны, троны
И память сорока веков!
Ещё, быть может, каждый атом –
Вселенная, где сто планет;
Там – всё, что здесь, в объёме сжатом,
Но также то, чего здесь нет.
Их меры малы, но всё та же
Их бесконечность, как и здесь;
Там скорбь и страсть, как здесь, и даже
Там та же мировая спесь...

Сторонники рекурсивного подхода из числа современных учёных считают, что Вселенная состоит из бесконечного числа вложенных фрактальных уровней материи с подобными друг другу характеристиками. Пространство при этом имеет ДРОБНУЮ размерность стремящуюся к трём. Точное значение размерности зависит от строения материи и её распределения в пространстве.

Таким образом, здесь имеются два принципиальных момента, которые, фактически, обесценивают безусловно продуктивную идею о вложенности материи и планов Мироздания друг в друга. Во-первых, это совершенно бессмысленное вложение гигантской Вселенной в каждую микрочастицу собственной материи. Во-вторых, исключительно вольное обращение с понятием размерности.

Поскольку темой статьи является уяснение принципов многомерности пространства, остановимся на втором моменте более подробно.

Например, С. И. Сухонос , соглашаясь с тем, что даже паутинка трёхмерна, всерьёз обосновывает нульмерность Вселенной... для «внешнего наблюдателя». Однако, пребывая внутри замкнутого пространства Вселенной, мы не в праве делать какие-либо умозаключения о том, что находится за её внешней границей. Таким образом, любые рассуждения о мыслях «внешнего наблюдателя» относятся, в лучшем случае, к жанру научной фантастики.

Галактикам, в плане размерности, повезло несколько больше, чем Вселенной: их скопления автор признаёт одномерными, «неправильные» Галактики считает двухмерными, «правильные» (сферической формы) – трёхмерными, а статусом четырёхмерного пространства наделяет спиральные Галактики.

К сожалению, понятие «размерность» пространства в этих рассуждениях связано, прежде всего, с понятием «размер», затем – «форма» и меньше всего размерность зависит от числа измерений материи.

Выводы 7:

7.1. Бесконечность, будучи продуктом воображения, не реализуема в реальном мире, следовательно идея бесконечной рекурсии является не более, чем мифом.
7.2. Суждение о том, что часть (к примеру, атом) может содержать целое (Вселенную), является абсурдом.
7.3. Пространства с дробной размерностью не существуют по определению, а взгляд сторонников рекурсивного подхода на размерность противоречит общепринятым представлениям и здравому смыслу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На адекватное отражение реальной картины мира может претендовать не более, чем только одна из рассмотренных выше моделей 4-х мерного пространства, поскольку все они между собой попарно не совместны.

2. Все проблемы с пониманием многомерного пространства существуют исключительно внутри науки, в основном, в математике.

3. Базовые математические абстракции, прежде всего, «бесконечность», «непрерывность» и «нуль» не позволяют понять и описать пространства с размерностью выше трёх, поэтому все существующие представления о якобы многомерном пространстве выглядят смешно и наивно.

4. Разработка математических моделей пространств высшей размерности невозможна без пересмотра древних (2500-летней давности) догматов трёхмерной (то есть современной) математики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Агни Йога. – 15 книг в 3-х томах. – Самара, 1992.
2. Клизовский А. И. Основы миропонимания Новой Эпохи. В 3-х томах. – Рига: Виеда, 1990.
3. Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь: Основные термины. М.: Рус. яз., 1989. – 244 с.
4. Девис. П. Суперсила: Поиски единой теории природы. – М.: Мир, 1989. – 272 с.
5. Тессеракт: Материал из Википедии. – https://ru.wikipedia.org/wiki/Тессеракт
6. Измерения: видеофильм, часть 3 из 9 / Авторы: Йос Лейс, Этьен Жис, Орельян Альварез. – 14 мин (фрагмент – 2 мин).
7. Александр Котлин. Пространство-материя. Концепция. –
8. Специальная теория относительности. – https://ru.wikipedia.org/wiki/ Специальная_теория_относительности
9. Успенский П. Д. Tertium organum: Ключ к загадкам мира. – Типогpафiя СПб. Т-ва Печ. и Изд. дела «Тpyдъ», 1911.
10. СГС: Материал из Википедии. – http://ru.wikipedia.org/wiki/СГС
11. Четырёхмерное пространство: Материал из Википедии. – https://ru.wikipedia.org/wiki/Четырёхмерное_пространство
12. Пространство-время: Материал из Википедии. – https://ru.wikipedia.org/wiki/Пространство-время
13. Брайан Грин. Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории: Пер. с англ. / Общ. ред. В. О. Малышенко. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 288 с.
14. Сухонос С. И. Масштабная гармония Вселенной. – М.: Новый центр, 2002. – 312 с.
15. Александр Котлин. Как понять 10-ти мерное пространство? –

ПРИМЕЧАНИЯ

1. Вот что говорит об этом великий математик Гильберт: «вообразим три системы вещей, которые мы назовём точками, прямыми и плоскостями. Что это за ""вещи"" – мы не знаем, да и незачем нам это знать. Было бы даже греховно стараться это узнать».

2. На самом деле размерность пространства определяется не числом мифических, другими словами абстрактных «осей», а числом допустимых (для данного пространства) направлений движения, например: вперёд-назад, влево-вправо, вверх-вниз для пространства 3-х измерений.

3. Использование древних (возрастом 2500 лет) математических абстракций непрерывности, бесконечности и нуля (как порождения бесконечности) в задачах исследования многомерных пространств можно сравнить с применением топора для раскалывания атомных ядер в физике.

4. То, что наука называет полями (например, электромагнитное поле) или никак не называет (например, мир чувств, мир мыслей, ...), на самом деле являются реально существующими пространствами высшей размерности.

5. Прежде всего, это касается моделей многомерных пространств с координатными осями, скрученными в колечки, трубочки и бублички, которые рассматриваются в рамках так называемой «Теории струн».

6. Строго говоря, камни могут двигаться в 3-х направлениях: перемещаться ледниками, погружаться под воду, выходить из глубин океана на поверхность суши, разрушаться под воздействием волн или атмосферы. Однако эти движения происходят по нашим меркам очень медленно, со скоростью смены геологических эпох. То есть сущности «нулевой» размерности живут в других временных рамках, или с другой скоростью, не сопоставимой с той, что привычна нам.

7. Если быть объективными, то надо признать, что растения не одномерны, а трёхмерны, так как способны перемещаться не только вверх, но и в пределах поверхности: в результате размножения (корнями или семенами). Однако такое движение будет проявлено лишь через год (при неблагоприятных обстоятельствах – через несколько лет), то есть со скоростью значительно меньшей скорости роста растения.

Ежедневная аудитория портала Проза.ру - порядка 100 тысяч посетителей, которые в общей сумме просматривают более полумиллиона страниц по данным счетчика посещаемости, который расположен справа от этого текста. В каждой графе указано по две цифры: количество просмотров и количество посетителей.

Самой долгой историей научных дискуссий из всех типов параллельных вселенных может похвастаться параллельная вселенная высших измерений. Здравый смысл и органы чувств говорят нам, что мы живём в трёх измерениях - длина, ширина и высота. Как бы мы ни двигали объект в пространстве, его положение всегда можно описать этими тремя координатами. Вообще, этими тремя числами человек может определить точное положение любого объекта во Вселенной, от кончика своего носа до самых отдалённых галактик.

На первый взгляд четвёртое пространственное измерение противоречит здравому смыслу. К примеру, когда дым заполняет всю комнату, мы не видим, чтобы он исчезал в другом измерении. Нигде в нашей Вселенной мы не видим объектов, которые внезапно исчезали бы или уплывали в иную вселенную. Это означает, что высшие измерения, если таковые существуют, по размеру должны быть меньше атома.

Три пространственных измерения образуют фундамент, основу греческой геометрии. К примеру, Аристотель в трактате "О небе" писал:

"Величина, делимая в одном измерении, есть линия, в двух - плоскость, в трёх - тело, и, кроме них, нет никакой другой величины, так как три измерения суть все измерения ".

В 150 г. н. э. Птолемей Александрийский предложил первое "доказательство" того, что высшие измерения "невозможны". В трактате "О расстоянии" он рассуждает следующим образом. Проведём три взаимно перпендикулярные прямые линии (как линии, которые образуют угол комнаты). Очевидно, провести четвёртую линию, перпендикулярную трём первым, невозможно, следовательно, четвёртое измерение невозможно.

На самом деле ему удалось доказать таким образом только одно: наш мозг не способен наглядно представить себе четвёртое измерение. С другой стороны, компьютеры постоянно занимаются расчётами в гиперпространстве.

На протяжении двух тысячелетий любой математик, который отваживался заговорить о четвёртом измерении, рисковал подвергнуться насмешкам. В 1685 году математик Джон Уоллис в полемике о четвёртом измерении назвал его "чудовищем в природе, возможным не более, нежели химера или кентавр". В XIX веке "король математиков" Карл Гаусс разработал математику четвёртого измерения в значительной степени, но побоялся публиковать результаты, опасаясь негативной реакции. Сам он, однако, проводил эксперименты и пытался определить, действительно ли чисто трёхмерная греческая геометрия правильно описывает Вселенную. В одном из экспериментов он поместил трёх помощников на вершинах трёх соседних холмов. У каждого помощника был фонарь; свет всех треё фонарей образовал в пространстве гигантский треугольник. Сам же Гаусс тщательно измерил все углы этого треугольника и, к собственному разочарованию, обнаружил, что сумма внутренних углов треугольника действительно составляет 180°. Из этого учёный заключил, что если отступления от стандартной греческой геометрии и существуют, то они настолько малы, что их невозможно обнаружить подобными способами.

В результате честь описать и опубликовать основы математики высших измерений выпала Георгу Бернхарду Риману, ученику Гаусса. (Через несколько десятилетий эта математика целиком вошла в общую теорию относительности Эйнштейна.) На своей знаменитой лекции в 1854 г. Риман одним махом опрокинул 2000 лет владычества греческой геометрии и установил основы математики высших, криволинейных измерений; мы и сегодня пользуемся этой математикой.

В конце XIX в. замечательное открытие Римана прогремело по всей Европе и вызвало широчайший интерес публики; четвертое измерение произвело настоящую сенсацию среди артистов, музыкантов, писателей, философов и художников. Скажем, историк искусства Линда Дальримпл Хендерсон считает, что кубизм Пикассо возник отчасти под впечатлением от четвертого измерения. (Портреты женщин кисти Пикассо, на которых глаза смотрят вперед, а нос находится сбоку, представляют собой попытку представить четырехмерную перспективу, ведь при взгляде из четвертого измерения можно одновременно видеть лицо, нос и затылок женщины.) Хендерсон пишет: «Подобно черной дыре, четвертое измерение обладало загадочными свойствами, которые не удавалось до конца понять даже самим ученым. И все же четвертое измерение было гораздо более понятным и представимым, чем черные дыры или любые другие научные гипотезы после 1919 г., за исключением теории относительности».

Но исторически сложилось так, что физики рассматривали четвертое измерение лишь как забавную диковинку. Никаких свидетельств существования высших измерений не было. Положение начало меняться в 1919 г., когда физик Теодор Калуца написал очень спорную статью, в которой намекнул на существование высших измерений. Начав с общей теории относительности Эйнштейна, он поместил ее в пятимерное пространство (четыре пространственных измерения и пятое - время; поскольку время уже утвердилось как четвертое измерение пространства-времени, физики теперь называют четвертое пространственное измерение пятым). Если делать размер Вселенной вдоль пятого измерения все меньше и меньше, уравнения волшебным образом распадаются на две части. Одна часть описывает стандартную теорию относительности Эйнштейна, зато другая превращается в теорию света Максвелла!

Это стало поразительным откровением. Возможно, тайна света скрыта в пятом измерении! Такое решение шокировало даже Эйнштейна; казалось, оно обеспечивает элегантное объединение света и гравитации. (Эйнштейн был так потрясен предположением Калуцы, что два года раздумывал, прежде чем дал согласие на публикацию его статьи.) Эйнштейн писал Калуце: «Идея получить [объединенную теорию] посредством пятимерного цилиндра никогда не пришла бы мне в голову... С первого взгляда мне ваша идея чрезвычайно понравилась... Формальное единство вашей теории поразительно».

Много лет физики задавались вопросом: если свет - это волна, то что, собственно, колеблется? Свет способен преодолевать миллиарды световых лет пустого пространства, но пустое пространство - это вакуум, в нем нет никакого вещества. Так что же колеблется в вакууме? Теория Калуцы позволяла выдвинуть по этому поводу конкретное предположение: свет - это настоящие волны в пятом измерении. Уравнения Максвелла, точно описывающие все свойства света, получаются в ней просто как уравнения волн, которые двигаются в пятом измерении.

Представьте себе рыб, плавающих в мелком пруду. Возможно, они даже не подозревают о существовании третьего измерения, ведь их глаза смотрят в стороны, а плыть они могут только вперед или назад, вправо или влево. Возможно, третье измерение даже кажется им невозможным. Но теперь вообразите себе дождь на поверхности пруда. Рыбы не могут видеть тре¬тье измерение, но они видят тени и рябь на поверхности пруда. Точно так же теория Калуцы объясняет свет как рябь, которая двигается по пятому измерению.

Калуца дал также ответ на вопрос, где находится пятое измерение. Поскольку мы не видим вокруг никаких признаков его существования, оно должно быть «свернутым» до столь малой величины, что заметить его невозможно. (Возьмите двумерный лист бумаги и плотно скатайте его в цилиндр. Издалека цилиндр будет казаться одномерной линией. Получается, что вы свернули двумерный объект и сделали его одномерным.)

На протяжении нескольких десятилетий Эйнштейн принимался время от времени работать над этой теорией. Но после его смерти в 1955 г. теорию быстро забыли, она превратилась в забавное примечание на страницах истории физики.

Фрагмент из книги Петра Д. Успенского "Новая модель вселенной":

Идея существования скрытого знания, превосходящего знание, которое человек может достичь собственными усилиями, растет и укрепляется в умах людей при понимании ими неразрешимости многих стоящих перед ними вопросов и проблем.

Человек может обманывать себя, может думать, что его знания растут и увеличиваются, что он знает и понимает больше, нежели знал и понимал прежде; однако иногда он становится искренним с самим собой и видит, что по отношению к основным проблемам существования он так же беспомощен, как дикарь или ребенок, хотя и изобрел множество умных машин и инструментов, усложнивших его жизнь, но не сделавших ее понятнее.
Говоря с самим собой еще откровеннее, человек, возможно, признает, что все его научные и философские системы и теории сходны с этими машинами и инструментами, потому что они только усложняют проблемы, ничего не объясняя.

Среди окружающих человека неразрешимых проблем две занимают особое положение – проблема невидимого мира и проблема смерти.

Все без исключения религиозные системы, от таких богословски разработанных до мельчайших деталей, как христианство, буддизм, иудаизм, до совершенно выродившихся религий "дикарей", которые кажутся современному знанию "примитивными", – все они неизменно делят мир на видимый и невидимый. В христианстве: Бог, ангелы, дьяволы, демоны, души живых и мертвых, небеса и ад. В язычестве: божества, олицетворяющие силы природы, – гром, солнце, огонь, духи гор, лесов, озер, духи вод, духи домов – все это принадлежит невидимому миру.
В философии признается мир явлений и мир причин, мир вещей и мир идей, мир феноменов и мир ноуменов. В индийской философии (особенно в некоторых ее школах) видимый, или феноменальный, мир, майя, иллюзия, которая означает ложное понятие о невидимом мире, вообще считается несуществующим.

В науке невидимый мир – это мир очень малых величин, а также, как это ни странно, очень больших величин. Видимость мира определяется его масштабом. Невидимый мир представляет собой, с одной стороны, мир микроорганизмов, клеток, микроскопический и ультрамикроскопический мир; далее за ним следует мир молекул, атомов, электронов, "колебаний"; с другой же стороны, – это мир невидимых звезд, далеких солнечных систем, неизвестных вселенных.

Микроскоп расширяет границы нашего зрения в одном направлении, телескоп – в другом, но оба весьма незначительны по сравнению с тем, что остается невидимым.

Физика и химия дают нам возможность исследовать явления в таких малых частицах и в таких отдаленных мирах, которые никогда не будут доступны нашему зрению. Но это лишь укрепляет идею о существовании огромного невидимого мира вокруг небольшого видимого.
Математика идет еще дальше. Как уже было указано, она исчисляет такие соотношения между величинами и такие соотношения между этими соотношениями, которые не имеют аналогий в окружающем нас видимом мире. И мы вынуждены признать, что невидимый мир отличается от видимого не только размерами, но и какими-то иными качествами, которые мы не в состоянии ни определить, ни понять и которые показывают нам, что законы, обнаруживаемые в физическом мире, не могут относиться к миру невидимому.
Таким образом, невидимые миры религиозных, философских и научных систем в конце концов теснее связаны друг с другом, чем это кажется на первый взгляд. И такие невидимые миры различных категорий обладают одинаковыми свойствами, общими для всех. Свойства эти таковы. Во-первых, они непостижимы для нас, т.е. непонятны с обычной точки зрения или для обычных средств познания; во-вторых, они содержат в себе причины явлений видимого мира.

Идея причин всегда связана с невидимым миром. В невидимом мире религиозных систем невидимые силы управляют людьми и видимыми явлениями. В невидимом мире науки причины видимых явлений проистекают из невидимого мира малых величин и "колебаний".
В философских системах феномен есть лишь наше понятие о ноумене, т.е. иллюзия, истинная причина которой остается для нас скрытой и недоступной.

Таким образом, на всех уровнях своего развития человек понимал, что причины видимых и доступных наблюдению явлений находятся за пределами сферы его наблюдений. Он обнаружил, что среди доступных наблюдению явлений некоторые факты можно рассматривать как причины других фактов; но эти выводы были недостаточны для понимания всего, что случается с ним и вокруг него. Чтобы объяснить причины, необходим невидимый мир, состоящий из "духов", "идей" или "колебаний".

Рассуждая по аналогии с существующими измерениями, следует предположить, что если бы четвертое измерение существовало, то это значило бы, что вот здесь, рядом с нами находится какое-то другое пространство, которого мы не знаем, не видим и перейти в которое не можем. В эту "область четвертого измерения" из любой точки нашего пространства можно было бы провести линию в неизвестном для нас направлении, ни определить, ни постигнуть которое мы не можем. Если бы мы могли представить себе направление этой линии, идущей из нашего пространства, то мы увидели бы "область четвертого измерения".

Геометрически это значит следующее. Можно представить себе три взаимно-перпендикулярные друг к другу линии. Этими тремя линиями мы измеряем наше пространство, которое поэтому называется трехмерным. Если существует "область четвертого измерения", лежащая вне нашего пространства, значит, кроме трех известных нам перпендикуляров, определяющих длину, ширину и высоту предметов, должен существовать четвертый перпендикуляр, определяющий какое-то непостижимое нам, новое протяжение. Пространство, измеряемое четырьмя этими перпендикулярами, и будет четырехмерным.

Невозможно ни определить геометрически, ни представить себе этот четвертый перпендикуляр, и четвертое измерение остается для нас крайне загадочным. Существует мнение, что математики знают о четвертом измерении что-то недоступное простым смертным. Иногда говорят, и это можно встретить даже в печати, что Лобачевский "открыл" четвертое измерение. В последние двадцать лет открытие "четвертого" измерения часто приписывали Эйнштейну или Минковскому.

В действительности, математика может сказать о четвертом измерении очень мало. В гипотезе о четвертом измерении нет ничего, что делало бы ее недопустимой с математической точки зрения. Она не противоречит ни одной из принятых аксиом и потому не встречает особого противодействия со стороны математики. Математика вполне допускает возможность установить отношения, которые должны существовать между четырехмерным и трехмерным пространством, т.е. некоторые свойства четвертого измерения. Но делает она все это в самой общей и неопределенной форме. Точное определение четвертого измерения в математике отсутствует.

Четвертое измерение можно считать доказанным геометрически только в том случае, когда определено направление неизвестной линии, идущей из любой точки нашего пространства в область четвертого измерения, т.е. найден способ построения четвертого перпендикуляра.

Трудно даже приблизительно обрисовать, какое значение для всей нашей жизни имело бы открытие четвертого перпендикуляра во вселенной. Завоевание воздуха, способность видеть и слышать на расстоянии, установление сношений с другими планетами и звездными системами – все это было бы ничто по сравнению с открытием нового измерения. Но пока этого нет. Мы должны признать, что мы бессильны перед загадкой четвертого измерения, – и попытаться рассмотреть вопрос в тех пределах, которые нам доступны.

При более близком и точном исследовании задачи мы приходим к заключению, что при существующих условиях решить ее невозможно. Чисто геометрическая на первый взгляд, проблема четвертого измерения геометрическим путем не решается. Нашей геометрии трех измерений недостаточно для исследования вопроса о четвертом измерении, так же как одной планиметрии недостаточно для исследования вопросов стереометрии. Мы должны обнаружить четвертое измерение, если оно существует, чисто опытным путем, – а также найти способ его перспективного изображения в трехмерном пространстве. Только тогда мы сможем создать геометрию четырех измерений.

Самое поверхностное знакомство с проблемой четвертого измерения показывает, что ее необходимо изучать со стороны психологии и физики.

Четвертое измерение непостижимо. Если оно существует и если все же мы не в состоянии познать его, то, очевидно, в нашей психике, в нашем воспринимающем аппарате чего-то не хватает, иными словами, явления четвертого измерения не отражаются в наших органах чувств. Мы должны разобраться, почему это так, какие дефекты вызывают нашу невосприимчивость, и найти условия (хотя бы теоретические), при которых четвертое измерение становится понятным и доступным. Все эти вопросы относятся к психологии или, возможно, к теории познания.

Мы знаем, что область четвертого измерения (опять-таки, если она существует) не только непознаваема для нашего психического аппарата, но недоступна чисто физически. Это уже зависит не от наших дефектов, а от особых свойств и условий области четвертого измерения. Нужно разобраться, что за условия делают область четвертого измерения недоступной для нас, найти взаимоотношения физических условий области четвертого измерения нашего мира и, установив это, посмотреть, нет ли в окружающем нас мире чего-либо похожего на эти условия, нет ли отношений, аналогичных отношениям между трехмерными и четырехмерными областями.

Вообще говоря, прежде чем строить геометрию четырех измерений, нужно создать физику четырех измерений, т.е. найти и определить физические законы и условия, существующие в пространстве четырех измерений.

"Мы не можем решать проблемы, используя те же подходы в мышлении, которые мы использовали, чтобы создать проблемы." (Альберт Ейнштейн)

via quantum-tech. ru и blogs.mail.ru/ chudatrella.

• Перевод

Наверняка вам известно, что планеты движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам. Но почему? На самом деле, они двигаются по окружностям в четырёхмерном пространстве. А если спроецировать эти окружности на трёхмерное пространство, они превращаются в эллипсы.

На рисунке плоскость обозначает 2 из 3 измерений нашего пространства. Вертикальное направление – это четвёртое измерение. Планета движется по кругу в четырёхмерном пространстве, а её «тень» в трёхмерном движется по эллипсу.

Что же это за 4-е измерение? Оно похоже на время, но это не совсем время. Это такое особенное время, которое течёт со скоростью, обратно пропорциональной расстоянию между планетой и солнцем. И относительно этого времени планета двигается с постоянной скоростью по кругу в 4 измерениях. А в обычном времени его тень в трёх измерениях двигается быстрее, когда она находится ближе к солнцу.

Звучит странно – но это просто необычный способ представления обычной ньютоновской физики. Этот способ известен по крайней мере с 1980 года благодаря работе математического физика Юргена Мозера. А я узнал об этом, получив на email работу за авторством Джеспера Горансона под названием «Симметрии в задаче Кеплера» (8 марта 2015).

Самое интересное в этой работе – такой подход объясняет один интересный факт. Если взять любую эллиптическую орбиту, и повернуть её в 4-мерном пространстве, то мы получим другую допустимую орбиту.

Конечно, можно вращать эллиптическую орбиту вокруг солнца и в обычном пространстве, получая допустимую орбиту. Интересно то, что это можно делать в 4-мерном пространстве, например, заужая или расширяя эллипс.

В общем случае любую эллиптическую орбиту можно превратить в любую другую. Все орбиты с одинаковой энергией – это круговые орбиты на одной и той же сфере в 4-мерном пространстве.

Задача Кеплера

Допустим, у нас есть частица, которая двигается по закону обратных квадратов. Уравнением её движения будет

Где r - позиция как функция времени, r - расстояние от центра, m – масса, а k определяет силу. Отсюда можно вывести закон сохранения энергии

Для некоей константы E, зависящей от орбиты, но не меняющейся со временем. Если эта сила будет притяжением, то k > 0, а на эллиптической орбите E < 0. Будем звать частицу планетой. Планета двигается вокруг солнца, которое настолько тяжело, что его колебаниями можно пренебречь.

Будем исследовать орбиты с одной энергией E. Поэтому единицы массы, длины и времени можно принять любыми. Положим

M = 1, k = 1, E = -1/2

Это избавит нас от лишних букв. Теперь уравнение движения выглядит как

А закон сохранения говорит

Теперь, следуя идее Мозера, перейдём от обычного времени к новому. Назовём его s и потребуем, чтобы

Такое время идёт медленнее по мере удаления от солнца. Поэтому скорость планеты по удалению от солнца увеличивается. Это компенсирует тенденцию планет двигаться по мере удаления от солнца более медленно в обычном времени.

Теперь перепишем закон сохранения при помощи нового времени. Поскольку для производных по обычному времени я использовал точку, давайте будем использовать штрих для производных по времени s. Тогда к примеру:

Используя такую производную, Горансон показывает, что сохранение энергии можно записать в виде

А это ни что иное, как уравнение четырёхмерной сферы. Доказательство будет позже. Сейчас поговорим о том, что это для нас значит. Для этого нам надо совместить меж собой координату обычного времени t и пространственные координаты (x,y,z). Точка

Двигается в четырёхмерном пространстве по мере изменения параметра s. То есть, скорость этой точки, а именно

Двигается по четырёхмерной сфере. Это сфера радиуса 1 с центром в точке

Дополнительные расчёты показывают другие интересные факты:

T""" = -(t" - 1)

Это обычные уравнения гармонического осциллятора, но с дополнительной производной. Доказательство будет позже, а пока подумаем, что это значит. Словами это можно описать так: 4-мерная скорость v совершает простые гармонические колебания вокруг точки (1,0,0,0).

Но так как v в то же время остаётся на сфере с центром в этой точки, то можно заключить, что v двигается с постоянной скоростью по кругу на этой сфере. А это подразумевает, что среднее значение пространственных компонент 4-мерной скорости равно 0, а среднее t равно 1.

Первая часть понятна: наша планета в среднем не улетает от Солнца, поэтому её средняя скорость равна нулю. Вторая часть посложнее: обычное время t движется вперёд со средней скоростью 1 относительно нового времени s, но скорость его изменения колеблется синусоидально.

Проинтегрировав обе части

Мы получим

a . Уравнение говорит, что позиция r гармонически осциллирует вокруг точки a . Поскольку a не меняется со временем, это сохраняющаяся величина. Это называется вектором Лапласа-Рунге-Ленца.

Часто люди начинают с закона обратных квадратов, показывают, что угловой момент и вектор Лапласа-Рунге-Ленца сохраняются, и используют эти сохраняющиеся величины и теорему Нётер, чтобы показать наличие 6-мерной группы симметрий. Для решений с отрицательной энергией это превращается в группу поворотов в 4 измерениях, SO(4). Поработав ещё немного, можно увидеть, как задача Кеплера сопряжена с гармоническим осциллятором в 4 измерениях. Это делается через репараметризацию времени.

Мне больше понравился подход Гораснона, потому что он начинается с репараметризации времени. Это позволяет эффективно показать, что эллиптическая орбита планеты – это проекция круговой орбиты в четырёхмерном пространстве на трёхмерное. Таким образом становится очевидна 4-мерная вращательная симметрия.

Горансон переносит этот подход на закон обратных квадратов в n-мерном пространстве. Получается, что эллиптические орбиты в n измерениях – это проекции круговых орбит из n+1 измерений.

Он также применяет этот подход для орбит с положительной энергией, которые представляют собой гиперболы, и для орбит с нулевой энергией (параболы). У гипербол получается симметрия групп Лоренца, а у парабол – симметрия групп Евклида. Это известный факт, однако примечательно, как просто он выводится с помощью нового подхода.

Математические детали

Из-за обилия уравнений я поставлю вокруг важных уравнений рамки. Основные уравнения – сохранение энергии, сила и изменение переменных, которые дают:

Начинаем с сохранения энергии:

Затем используем

Чтобы получить

Немного алгебры – и получаем

Это показывает, что 4-мерная скорость

Остаётся на сфере единичного радиуса с центром в (1,0,0,0).

Следующий шаг – взять уравнение движения

И переписать его, используя штрихи (производные по s), а не точки (производные по t). Начинаем с

И дифференцируем, чтобы получить

Теперь используем другое уравнение для

И получаем

Теперь хорошо бы получить формулу и для r"". Сначала посчитаем

А затем продифференцируем

Подключим формулу для r", кое-что сократится, и мы получим

Вспомним, что закон сохранения говорит

А мы знаем, что t" = r. Поэтому,

Получаем

Поскольку t" = r, то получается

Как нам и нужно.

Теперь получим сходную формулу для r""" . Начнём с

И продиффиренцируем

Подключим формулы для r"" и r"" ". Кое-что сокращается, и остаётся

Проинтегрируем обе части и получаем

Для некоего постоянного вектора a . Это значит, что r гармонически осциллирует относительно a . Занятно, что и вектор r и его норма r осциллируют гармонически.

Квантовая версия планетарной орбиты – атом водорода. Всё, что мы посчитали, можно использовать и в квантовой версии. Подробности см. у Greg Egan,

Запускает проект «Вопрос учёному», в рамках которого специалисты будут отвечать на интересные, наивные или практичные вопросы. В этом выпуске кандидат физико-математических наук Илья Щуров рассказывает о 4D и о том, можно ли выйти в четвёртое измерение.

Что такое четырёхмерное пространство («4D»)?

Илья Щуров

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики НИУ ВШЭ

Начнём с самого простого геометрического объекта - точки. Точка - нульмерна. У неё нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

Сдвинем теперь точку по прямой на некоторое расстояние. Допустим, что наша точка - остриё карандаша; когда мы её сдвинули, она прочертила отрезок. У отрезка есть длина, и больше никаких измерений - он одномерен. Отрезок «живёт» на прямой; прямая является одномерным пространством.

Возьмём теперь отрезок и попробуем его сдвинуть, как раньше точку. (Можно представить себе, что наш отрезок - это основание широкой и очень тонкой кисти.) Если мы выйдем за пределы прямой и будем двигаться в перпендикулярном направлении, получится прямоугольник. У прямоугольника есть два измерения - ширина и высота. Прямоугольник лежит в некоторой плоскости. Плоскость - это двумерное пространство (2D), на ней можно ввести двумерную систему координат - каждой точке будет соответствовать пара чисел. (Например, декартова система координат на школьной доске или широта и долгота на географической карте.)

Если сдвинуть прямоугольник в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой он лежит, получится «кирпичик» (прямоугольный параллелепипед) - трёхмерный объект, у которого есть длина, ширина и высота; он расположен в трёхмерном пространстве - в таком, в каком живём мы с вами. Поэтому мы хорошо представляем себе, как выглядят трёхмерные объекты. Но если бы мы жили в двумерном пространстве - на плоскости - нам пришлось бы изрядно напрячь воображение, чтобы представить себе, как можно сдвинуть прямоугольник, чтобы он вышел из той плоскости, в которой мы живём.

Представить себе четырёхмерное пространство для нас также довольно непросто, хотя очень легко описать математически. Трёхмерное пространство - это пространство, в котором положение точки задаётся тремя числами (например, положение самолёта задаётся долготой, широтой и высотой над уровнем моря). В четырёхмерном же пространстве точке соответствует четвёрка чисел-координат. «Четырёхмерный кирпич» получается сдвигом обычного кирпичика вдоль какого-то направления, не лежащего в нашем трёхмерном пространстве; он имеет четыре измерения.

На самом деле мы сталкиваемся с четырёхмерным пространством ежедневно: например, назначая свидание, мы указываем не только место встречи (его можно задать тройкой чисел), но и время (его можно задавать одним числом - например, количеством секунд, прошедших с определённой даты). Если посмотреть на настоящий кирпич, у него есть не только длина, ширина и высота, но ещё и протяженность во времени - от момента создания до момента разрушения.

Физик скажет, что мы живём не просто в пространстве, а в пространстве-времени; математик добавит, что оно четырёхмерно. Так что четвёртое измерение ближе, чем кажется.

Задачи:

Привести какой-нибудь другой пример реализации четырёхмерного пространства в реальной жизни.

Определить, что такое пятимерное пространство (5D). Как должен выглядеть 5D-фильм?

Ответы просьба присылать на e-mail: [email protected]