Измерительные работы. Урок "измерительные работы"

На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор полезных, но не связанных между собой правил и формул для решения задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Лишь много веков спустя учеными Древней Греции была создана теоретическая основа геометрии.

В древнейшие времена египтяне, приступая к постройке пирамиды, дворца или обыкновенного дома, сначала отмечали направления сторон горизонта (это очень важно, так как освещенность в строении зависит от положения его окон и дверей по отношению к Солнцу). Действовали они так. Втыкали вертикально палку и следили за ее тенью. Когда эта тень становилась кратчайшей, тогда ее конец указывал точное направление на север.

Египетский треугольник

Для измерения площади древние египтяне использовали особый треугольник, у которого были фиксированные длины сторон. Занимались измерениями особые специалисты, которые назывались «натягивателями каната» (гарпедонаптай). Они брали длинную веревку, делили ее на 12 равных частей узелками, а концы веревки связывали. На направлении север – юг они устанавливали два кола на расстоянии четырех частей, отмеченных на веревке. Затем при помощи третьего кола натягивали связанную веревку так, чтобы образовался треугольник, у которого одна сторона имела три части, другая – четыре, а третья пять частей. Получался прямоугольный треугольник, площадь которого принимали за эталон.

Определение недоступных расстояний

История геометрии хранит немало приемов решения задач на нахождение расстояний. Одной из таких задач – это определение расстояний до кораблей находящихся в море.

Первый способ основан на одном из признаков равенства треугольников

Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется определить расстояние КА. Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка:

АВ = ВС. В точке С вновь построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольные треугольники ВСD и ВАК равны, следовательно, СD = АК, а отрезок СD можно непосредственно измерить.

Второй способ - триангуляции

С его помощью измерялись расстояния до небесных тел. Этот метод включает три этапа:

□ Измерить углы α, β и расстояние АВ;

□ Построить треугольник А1 В1К1 с углами α и β при вершинах А1 и В1 соответственно;

□ Учитывая подобие треугольников АВК и А1 В1К1 и равенство

АК: АВ = А1К1: А1 В1, по известным длинам отрезков АВ, А1К1 и, А1 В1 нетрудно найти длину отрезка АК.

Прием, которым пользовались в русской военной инструкции начала XVII в.

Задача. Найти расстояние от точки А до точки В.

В точке А нужно выбрать жезл примерно в человека. Верхний конец жезла следует совместить с вершиной прямого угла угольника так, чтобы продолжение одного из катетов проходило через точку В. Далее нужно отметить точку С пересечения продолжения другого катета с землей. Тогда, воспользовавшись пропорцией

АВ: АD = АD: АС, легко вычислить длину АВ; АВ = АD2 / АС. Для того, чтобы упростить расчеты и измерения, рекомендуется разделить жезл на 100 или 1000 равных частей.

Древнекитайский прием измерения высоты недоступного предмета.

Огромный вклад в развитие прикладной геометрии внес крупнейший китайский математик III века Лю Хуэй. Ему принадлежит трактат «Математика морского острова», в котором приведены решения различных задач на определение расстояний до предметов, расположенных на отдаленном острове, и вычисление недоступных высот. Эти задачи довольно сложны. Но они имеют практическую ценность, поэтому получили широкое применение не только в Китае, но и за ее пределами.

Наблюдают морской остров. Для этого установили пару шестов одинаковой высоты в 3 чжана на расстоянии 1000 бу. Основания обоих шестов находятся на одной прямой с островом. Если отойти по прямой от первого шеста на 123 бу, то глаз человека лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец шеста совпадающим с вершиной острова. Такая же картина получится, если отойти от второго шеста на 127 бу.

Какова высота острова?

В привычных для нас обозначениях решение данной задачи, основанное на свойствах подобия.

Пусть EF = КD = 3 чжана = 5 бу, ЕD = 1000бу, ЕМ = 123 бу, СD = 127 бу.

Определить АВ и АЕ.

Треугольники АВМ и ЕFМ, АВС и DКС подобны. Следовательно, ЕF:АВ = ЕМ:АМ и КD:АВ = DС:АС. Получим: ЕМ:АМ = DС:АС, или ЕМ: (АЕ + ЕМ) = СD: (АЕ + ЕD + DС). В результате найдем АЕ = 123·1000: (127 – 123) = 30750 (бу). Подобны и треугольники А1ВF и ЕFМ, а АВ = А1В + А1А. Отсюда АВ = 5·1000(127 – 123) + 5 = 1255 (бу)

Как найти высоту острова?

□ Высоту шеста умножь на расстояние между шестами – это делимое.

□ Разность между отступлениями будет делителем, раздели на нее.

□ Что получится, прибавь высоту шеста.

□ Получим высоту острова.

Рецепт, который предлагал Лю Хуэй.

Расстояние до недоступной точки.

❖ Отступление от предыдущего шеста умножить на расстояние между шестами – это делимое.

❖ Разность между отходами будет делителем, раздели на нее.

❖ Получим расстояние, на которое остров отдален от шеста.

Прикладная геометрия была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства. Таким образом геометрия сопровождало человечество на протяжении всей истории его существования. Решение отдельных старинных задач прикладного характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания и сегодня.

Министерство образования и науки Республики Хакасия

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Устино- Копьёвская средняя общеобразовательная школа.

Секция математики.

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ НА МЕСТНОСТИ

СЕЛА УСТИНКИНО

Руководитель: Романова

Елена Александровна,

учитель математики

Устинкино, 2010

Введение……………………………………………………………………………3

1. Возникновение измерений в древности

1.1 Единицы измерений разных народов…………………………………..4

1.2 Методы измерений в Древней Руси……………………………………5

1.3 Геометрия в древних практических задачах…………………………..7

1.4 Инструменты для измерения на местности……………………………7

2. Измерительные работы на местности

2.1 Построение прямой на местности (провешивание

прямой линии)…………………………………………………………...8

2.2 Измерение средней длины шага………………………………………..9

2.3 Построение прямых углов на местности………………………………9

2.4 Построение и измерение углов с помощью астролябии……………...10

2.5 Построение окружности на местности………………………………...10

2.6 Измерение высоты деревьев……………………………………….......11

3. Результаты измерений на местности…………………………………………..

3.1 Планирование пришкольного участка

3.2 Деревья – угроза для жизни

3.3 Справка - предложение в Сельский совет с. Устинкино

Заключение…………………………………………………………………………21

Литература………………………………………………………………………….22

Введение

Чтобы изготовить модель фигур, мне пришлось выполнить более 20 различных операций. И почти половина их связана с измерениями. Интересно, существуют ли профессии, в которых вообще не нужно ничего измерять с помощью приборов. Я таких не обнаружил. Не удалось мне обнаружить и школьный предмет, при изучении которого не было бы необходимости в измерениях.

«Наука начинается с тех пор,

Как начинают измерять,

Точная наука немыслима

без измерения».

Действительно, роль измерений в жизни современного человека очень велика.

В популярном энциклопедическом словаре дается определение измерению. Измерения – это действия, производимые с целью нахождения числовых значений, количественной величины в принятых единицах измерения . ¹

Измерить величину можно с помощью приборов. В повседневной жизни мы уже не можем обойтись без часов, линейки, измерительной ленты, мерного стакана, термометра, электрического счетчика. Можно сказать, с приборами мы сталкиваемся на каждом шагу.

Цель: исследование геометрических измерений на местности с. Устинкино.

· изучить историю возникновения измерений;

· ознакомиться и изготовить приборы для измерения на местности;

· произвести измерения на местности;

· сделать выводы и сформулировать свои предложения.

Гипотеза: в настоящее время измерительные работы на местности играют важную роль, так как не проводя измерения можно поплатится жизнью.

Объект исследования: измерения на местности.

Предмет исследования: способы измерений на местности.

___________________________________

21 . Популярный энциклопедический словарь. Научное издательство «Большая Российская энциклопедия». Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2002 г., с. 485

1. Возникновение измерений в древности

В древности человеку приходилось постепенно постигать не только искусство счета, но и измерений. Когда древний человек, уже мыслящий, попытался найти для себя пещеру, он вынужден был соразмерить длину, ширину и высоту своего будущего жилища с собственным ростом. А ведь это и есть измерение. Изготовляя простейшие орудия труда, строя дома, добывая пищу, возникает необходимость измерять расстояния, а затем площади, емкости, массу, время. Наш предок располагал только собственным ростом, длиной рук и ног. Если при счете человек пользовался пальцами рук и ног, то при измерении расстояний использовались руки и ноги. Не было народа, который не изобрел бы своих единиц измерения.

1.1 Единицы измерений разных народов

Строители египетских пирамид эталоном длины считали локоть (расстояние от локтя до конца среднего пальца), древние арабы - волос из ослиной морды, англичане до сих пор пользуются королевским футом (в переводе с английского «фут» означает «нога»), равным длине ступни короля. Длина фута была уточнена с введением такой единицы, как шток. Это «длина ступней 16 человек, выходящих из храма от заутрени в воскресенье». Деля длину штока на 16 равных частей, получали среднюю длину ступни, ибо из церкви выходили люди разного роста. Длина фута стала равняться 30,48 см. Английский ярд также связан с размерами человеческого тела. Эта мера длины была введена королем Эдгаром и равнялась расстоянию от кончика носа его величества до кончика среднего пальца вытянутой в сторону руки. Как только сменился король, ярд удлинился, так как новый монарх был более крупного телосложения. Такие изменения длины вносили большую путаницу, поэтому король Генрих I узаконил постоянный ярд и приказал изготовить из вяза эталон. Этим ярдом в Англии пользуются до сих пор (длина его равна 0,9144 м). Для измерения небольших расстояний употреблялась длина сустава большого пальца (в переводе с голландского «дюйм» означает «большой палец»). Длина дюйма в Англии была уточнена и стала равняться длине трех ячменных зерен, вынутых из средней части колоса и поставленных друг к другу своими концами. Из английских повестей и рассказов известно, что крестьяне часто определяли высоту лошадей ладонями.

Для измерения больших расстояний в древности была введена мера, называемая поприще, а затем взамен ее появляется верста. Название это происходит от слова «вертеть», которое сначала означало поворот плуга, а потом - ряд, расстояние от одного до другого поворота плуга при пахоте. Длина версты в разное время была различной - от 500 до 750 саженей. Да и верст было две: путевая - ею измеряли расстояние пути и межевая - для земельных участков.

Расстояние измерялось шагами почти у всех народов, но для измерения полей и других больших расстояний шаг был слишком малой мерой, поэтому была введена трость, или двойной шаг, а затем и двойная трость, или перша. В морском деле трость называлась штоком. В Англии была и такая мера, как хорошая палка пахаря, длина которой 12 – 16 футов. В Риме вводится мера, равная тысяче двойных шагов, получившая название миля (от слова «милле», «милиа» – «тысяча»).

У славян была такая мера длины, как «вержение камня» - бросок камнем, «перестрел» - расстояние, которое пролетала стрела, выпущенная из лука. Расстояния измерялись и так: «Печенегия отстояла от хазар на пять дней пути, от алан на шесть дней, от Руси на один день, от мадьяр на четыре дня и от болгар дунайских на полдня пути». В старинных грамотах о пожаловании земли можно прочитать: «От погоста во все стороны на бычачий рев». Это значило - на расстояние, с которого еще слышен рев быка. Подобные меры были и у других народов - «коровий крик», «петушиный крик». Мерой служило и время - «пока закипит котел воды». Эстонские моряки говорили, что до берега еще «три трубки» (время, затраченное на выкуривание трубок). «Пушечный выстрел» - тоже мера расстояния. Когда в Японии еще не знали подков для лошадей и обували их соломенными подошвами, появилась мера «соломенный башмак» - расстояние, на котором этот башмак изнашивался. В Испании известна мера расстояния «сигара» - путь, который может пройти человек, куря сигару. В Сибири в стародавние времена употреблялась мера расстояния «бука» - это расстояние, на котором человек перестает видеть раздельно рога быка.

3.3 Справка - предложение в Сельский совет с. Устинкино

Председателю СС с. Устинкино

ученицы 10 класса

Соленик Алены

Справка предложение

Мною производились измерения высоты электрических столбов, высота которых всегда точно равна 17 м. Измеряя высоту деревьев, получились неожиданные результаты. Высоты деревьев составляют от 19 м. до 56 м.

Считаю, что необходимо обратить внимание на высоту деревьев и уже весной подрезать деревья до высоты 19 м.

___________________ __________________

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящем реферате рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями на местности – провешиванием прямых, делением отрезков и углов, измерение высоты дерева. Приведено большое количество задач и даны их решения. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ .

Таким образом, цель реферата считаю достигнута, поставленные задачи выполнены. Надеюсь на мою справку – предложение обратят внимание и выполнят согласно требованию.

Литература

1. Бабанский процесса обучения: Общедидактический
аспект. – М., 1977.
2. , Балк после уроков, М., Просвещение, 1977.
3. , Балк факультатив вчера, сегодня, завтра
//Математика в школе – 1987 - №5.
4. Бенбяминов и сельское хозяйство , М., 1968.
5. , За страницами учебника
математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. – М.: Просвещение:
АО «Учеб. мет.», 1996.
6. Ганьшин измерения на местности, М., 1973 – 126 с.
7. Как не убить талант? //Народное
образование. – 1991. - №4.
8. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы . М., 1979.
9. , За страницами учебника математики. – М. -:
Просвещение, 1989.
10. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. / . –
Ростов н/Д: , 2005.
11. Иваньков геодезии, топографии и картографии.-М., 1972
12. Иванов измерения М., 1964
13. Калмыкова принципы развивающегося обучения.-
М.: Знание, 1979.
14. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика:
Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец./,
, и др.; Сост. . – М.: Просвеще -
ние, 1987.
15. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика:
Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / -
несян, . – 2-е изд., пе -
раб. и доп. – М.: Просвещение, 1980.
16. Морозова о познавательном интересе. М.: Знание, серия
«Педагогика и психология», 1979.
17. Педагогическая энциклопедия: в 2-х т./ Под ред. , -
рова. – М.: Советская энциклопедия, 1964. – Т.1.
18. Педагогическая энциклопедия: в 2-х т./ Под ред. , -рова. – М.: Советская энциклопедия, 1964. – Т.2.
19. Петров математики в сельской школе: Кн. для учите -
ля. – М..6 Просвещение, 1986.
20. Погорелов. М., 1990.

21. Популярный энциклопедический словарь. Научное издательство «Большая Российская энциклопедия». Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2002 г., с. 485

22. , Гашков математику. – М.,
Наука, 1989.
23. Чичигин преподавания геометрии: Планиметрия. – М.:
Учпедгиз, 1959.
24. Четверухин геметрических построений, М., Учпедгиз, 1952.

В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности, измерительные инструменты. Практические работы на местности являются одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой. Учащиеся учатся пользоваться справочниками, применять необходимые формулы, овладевают практическими приёмами геометрических измерений и построений.

Практические работы с использованием измерительных инструментов повышают интерес учащихся к математике, а решение задач на измерение ширины реки, высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки позволяют применить их в практической деятельности, увидеть масштаб применения математики в жизни человека.

По мере изучения материала способы решения этих задач изменяются, одну и ту же задачу можно решить многими способами. При этом используются следующие вопросы геометрии: равенство и подобие треугольников, соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема синусов и теорема косинусов, теорема Пифагора, свойства прямоугольных треугольников и т.д.

Цели проведения уроков “Измерение на местности”:

Задачи:

• научности;
• наглядности;
• дифференцированного подхода;

Критерии оценки достижения ожидаемых результатов:

• активность учащихся;

Подготовка и проведение таких уроков позволяют в результате:

• научить применять математические знания в повседневной практической жизни.

Одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой является выполнение учащимися на уроках геометрии практических работ, связанных с измерением, построением, изображением. В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности, измерительные инструменты. На уроках математики параллельно с изучением теоретического материала учащиеся должны научиться производить измерения, пользоваться справочниками и таблицами, свободно владеть чертёжными и измерительными инструментами. Работа проводится как на местности, так и решение задач в классе различными способами на нахождение высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки. По программе в курсе геометрии рассматриваются следующие вопросы:

7 класс

• “Провешивание прямой на местности” (п.2),
• “Измерительные инструменты” (п.8),
• “Измерение углов на местности” (п.10),
• “Построение прямых углов на местности” (п.13),
• “Задачи на построение. Окружность” (п.21),
• “Практические способы построения параллельных прямых” (п.26),
• “Уголковый отражатель” (п.36),
• “Расстояние между параллельными прямыми” (п.37 – рейсмус),
• “Построение треугольника по трём элементам” (п.38)

8 класс.

• “Практические приложения подобия треугольников” (п.64 – определение высоты предмета, определение расстояния до недоступной точки)

9 класс.

• “Измерительные работы” (п.100 – измерение высоты предмета, измерение расстояния до недоступной точки).

Практические работы на уроках геометрии позволяют решать педагогические задачи: ставить перед учащимися познавательную математическую проблему, актуализировать их знания и готовить к усвоению нового материала, формировать практически умения и навыки в обращении с различными приборами, инструментами, вычислительной техникой, справочниками и таблицами.. Они позволяют реализовать в обучении важнейшие принципы взаимосвязи теории и практики: практика выступает в качестве исходного звена развития теории и служит важнейшим стимулом её изучения учащимися, она является средством проверки теории и областью её применения.

Система проведения уроков “Измерение на местности” ставит цели:

• практическое применение теоретических знаний учащихся;
• активизация познавательной деятельности учащихся;

Предусматривает выполнение следующих задач:

• расширение кругозора учащихся;
• повышение интереса к предмету;
• развитие смекалки, любознательности, логического и творческого мышления;
• формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.

При отборе содержания каждого урока по данной теме и форм деятельности учащихся используются принципы:

• взаимосвязи теории с практикой;
• научности;
• наглядности;
• учёта возрастных и индивидуальных особенностей учащихся;
• сочетания коллективной и индивидуальной деятельности участников;
• дифференцированного подхода;

Критерии оценки достижения ожидаемых результатов:

• активность учащихся;
• самостоятельность учащихся в выполнении заданий;
• практические применения математических знаний;
• уровень творческих способностей участников.

Подготовка и проведение таких уроков позволяют в результате:

• подключить, пробудить и развить потенциальные способности учащихся;
• выявить наиболее активных и способных участников;
• воспитывать нравственные качества личности: трудолюбие, упорство в достижении цели, ответственность и самостоятельность.
• научить применять математические знания в повседневной практической жизни;
• обращаться с различными приборами, инструментами, вычислительной техникой, справочниками и таблицами.

Измерительные инструменты, используемые при измерении на местности:

• Рулетка – лента, с нанесёнными на ней делениями, предназначена для измерения расстояния на местности.
• Экер – прибор для построения прямых углов на местности.
• Астролябия – прибор для измерения углов на местности.
• Вехи (вешки) – колья, которые вбивают в землю.
• Землемерный циркуль (полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м и шириной 2 м. для измерения расстояния на местности, для учащихся удобнее расстояние между ножками взять 1 метр.

Экер

Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны.

Астролябия

Устройство: астролябия состоит из двух частей: диска (лимб), разделённого на градусы, и вращающейся вокруг центра линейки (алидады). При измерении угла на местности она наводится на предметы, лежащие на его сторонах. Наведение алидады называется визированием. Для визирования служат диоптры. Это металлические пластинки с прорезами. Диоптров два: один с прорезом в виде узкой щели, другой с широким прорезом, посередине которого натянут волосок. При визировании к узкому прорезу прикладывается глаз наблюдателя, поэтому диоптр с таким прорезом называется глазным. Диоптр с волоском направляется к предмету, лежащему на стороне измеряемого; он называется предметным. В середине алидады прикреплён к ней компас.

астролябия

Практические работы

1. Построение прямой на местности (провешивание прямой линии)

Отрезки на местности обозначают с помощью вех. Чтобы вешка стояла прямо, применяют отвес (какой – либо грузик, подвешенный на нитке). Ряд вбитых в землю вех и обозначает отрезок прямой линии на местности. В выбранном направлении ставят две вехи на расстоянии друг от друга, между ними другие вехи, так, чтобы глядя через одну, другие прикрывались друг другом.

Практическая работа: построение прямой на местности.

Задание: отметьте на ней отрезок в 20 м, 36 м, 42 м.

2. Измерение средней длины шага.

Считается некоторое число шагов (например, 50), измеряется данное расстояние и вычисляется средняя длина шага. Опыт удобнее провести несколько раз и сосчитать среднее арифметическое.

Практическая работа: измерение средней длины шага.

Задание: зная среднюю длину шага, отложите на местности отрезок 20 м, проверьте с помощью рулетки.

3. Построение прямых углов на местности.

Чтобы построить на местности прямой угол АОВ с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставленной на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска (ОВ).

Практическая работа: построение прямого угла на местности, прямоугольника, квадрата.

Задание: измерьте периметр и площадь прямоугольника, квадрата.

4. Построение и измерение углов с помощью астролябии.

Астролябию устанавливают в вершине измерительного угла так, чтобы лимб её был расположен в горизонтальной плоскости, а отвес, подвешенный под центром лимба, проектировался бы в точку, принимаемую за вершину угла на поверхности земли. Затем визируют алидадой по направлению одной стороны измеряемого угла и отсчитывают на лимбе градусные деления против метки предметного диоптра. Повёртывают алидаду по ходу часовой стрелки в направлении второй стороны угла и делают второй отсчёт. Искомый угол равен разности показаний при втором и первом отсчётах.

Практическая работа:

• измерение заданных углов,
• построение углов заданной градусной меры,
• построение треугольника по трём элементам – по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам и углу между ними.

Задание: измерить градусные меры заданных углов.

5. Построение окружности на местности.

На местности устанавливается колышек, к которому привязывается верёвка. Держась за свободный конец верёвки, двигаясь вокруг колышка, можно описать окружность.

Практическая работа: построение окружности.

Задание: измерение радиуса, диаметра; вычисление площади круга, длины окружности.

6. Определение высоты предмета.

а) С помощью вращающейся планки.

Предположим, что нам нужно определить высоту какого – нибудь предмета, например высоту столба А 1 С 1 (задача № 579). Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку С 1 столба. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А 1 А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А 1 С 1 В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников (угол А 1 = углу А = 90 о, угол В – общий). Из подобия треугольников следует;

Измерив расстояния ВА 1 и ВА (расстояние от точки В до основания столба и расстояние до шеста с вращающейся планкой), зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту А 1 С 1 столба.

б) С помощью тени.

Измерение следует проводить в солнечную погоду. Измерим длину тени дерева и длину тени человека. Построим два прямоугольных треугольника, они подобны. Используя подобие треугольников составим пропорцию (отношение соответственных сторон), из которой и найдём высоту дерева (задача №580). Можно таким образом определить высоту дерева и в 6 кл, используя построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе.

в) С помощью зеркала.

Для определения высоты предмета можно использовать зеркало, расположенное на земле горизонтально (задача №581). Луч света, отражаясь от зеркала попадает в глаз человека. Используя подобие треугольников можно найти высоту предмета, зная рост человека (до глаз), расстояние от глаз до макушки человека и измеряя расстояние от человека до зеркала, расстояние от зеркала до предмета (учитывая, что угол падения луча равен углу отражения).

г) С помощью чертёжного прямоугольного треугольника .

На уровне глаз расположим прямоугольный треугольник, направив один катет горизонтально поверхности земли, другой катет направив на предмет, высоту которого измеряем. Отходим от предмета на такое расстояние, чтобы второй катет “прикрыл” дерево. Если треугольник ещё и равнобедренный, то высота предмета равна расстоянию от человека до основания предмета (прибавив рост человека). Если треугольник не равнобедренный, то используется снова подобие треугольников, измеряя катеты треугольника и расстояние от человека до предмета (используется и построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе). Если треугольник имеет угол в 30 0 , то используется свойство прямоугольного треугольника: против угла в 30 0 лежит катет вдвое меньше гипотенузы.

д) Во время игры “ Зарница” учащимся не разрешается использовать измерительные приборы, поэтому можно предложить следующий способ:

один ложится на землю и направляет глаза на макушку другого, находящегося от него на расстоянии своего роста, так чтобы прямая проходила через макушку товарища и верхушку предмета. Тогда треугольник получается равнобедренным и высота предмета равна расстоянию от лежавшего до основания предмета, которое измеряется, зная среднюю длину шага учащегося. Если же треугольник не равнобедренный, то зная среднюю длину шага измеряется расстояние от лежавшего на земле до стоявшего и до предмета, рост стоявшего заведомо известен. А далее по признаку подобия треугольников вычисляется высота предмета (или построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе).

7. Определение расстояния до недоступной точки.

а) Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В. Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листке бумаги строим какой – нибудь треугольник А 1 В 1 С 1 , у которого угол А 1 = угол А, угол С! = угол С и измеряем длины сторон А 1 В 1 и А 1 С 1 этого треугольника. Так как треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1 , то АВ: А 1 В 1 = АС: А 1 С 1 , откуда находим АВ по известным расстояниям АС, А 1 С 1 , А 1 В 1. . Для удобства вычислений удобно построить треугольник А 1 В 1 С 1 так, чтобы А 1 С 1: АС = 1: 1000

б) Для измерения ширины реки на берегу измеряем расстояние АС, с помощью астролябии устанавливаем угол А = 90 0 (направив на объект В на противоположном берегу), измеряем угол С. На листке бумаги строим подобный треугольник (удобнее в масштабе 1: 1000) и вычисляем АВ (ширину реки).

в) Ширину реки можно определить и так: рассматривая два подобных треугольника АВС и АВ 1 С 1 . Точка А выбрана на берегу реки, В 1 и С у кромки поверхности воды, ВВ 1 – ширина реки (зад №583, рис 204 учебника), измеряя при этом АС, АС 1 , АВ 1 .

Практическая работа: определить высоту дерева, ширину реки.

В 9 классе в пункте 100 тоже рассматриваются измерительные работы на местности, но используется тема “Решение треугольников”, при этом применяется теорема синусов и теорема косинусов. Рассматриваются задачи с конкретными данными, решая которые можно увидеть различные способы нахождения и высоты предмета и определить расстояние до недоступной точки, что можно применить в будущем практически.

1. Измерение высоты предмета .

Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим угол АВН. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = НВ tgАВН.

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: угол АВН = a , угол АСВ = b , угол ВАС = a – b . Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ:

АВ = sin (a – b ). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН = АВ sin a .

№ 1036

Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 10 0 к горизонту, а вершину – под углом 45 0 к горизонту. Какова высота башни? (рис.298 учебника)

Решение

Рассмотрим треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный, т.к угол СВА =45 0 , то и угол ВСА =45 0 , значит СА=50м.

Рассмотрим треугольник АВН – прямоугольный, tg (АВН) = АН/ АВ, отсюда

АН = АВ tg (АВН), т.е АН = 50tg 10 0 , отсюда АН =9м. СН= СА+АН =50+9 = 59(м)

№ 1038

На горе находится башня, высота которой равна 100м. Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60 0 к горизонту, а потом с её основания С под углом 30 0 . Найдите высоту Н горы (рисунок 299 учебника).

Решение:

угол ЕВА = 60 0

угол КСА =30 0

Найти СР.

Решение:

Угол СВК = 30 0 , т.к. угол ЕВС =90 0 и угол ЕВА =60 0 , отсюда угол СКА =60 0 , значит уголСКА = 180 0 – 60 0 = 120 0 .

В треугольнике СКА видим, что угол АСК = 30 0 , уголСКА = 120 0 , то уголСАК = 30 0 , получим, что треугольник ВСА равнобедренный с основанием АВ, т.к. уголСВК = 30 0 и уголВАС = 30 0 , значит АС = 100м (ВС = АС).

Рассмотрим треугольник АСР, прямоугольный с острым углом в 30 0 (РАС = АСК, накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых СК и АР секущей АС), а против угла в 30 0 лежит катет вдвое меньше гипотенузы, поэтому РС = 50м.

2. Измерение расстояния до недоступной точки (измерение ширины реки).

Случай 1. Измерение расстояния между точками Аи В, разделёнными препятствием (рекой).

Выберем на берегу реки две доступные точки А и В, расстояние между которыми может быть измерено. Из точки А видны и точка В и точка С, взятая на противоположном берегу. Измерим расстояние АВ, с помощью астролябии измеряем углы А и В, угол АСВ = 180 0 - угол А - угол В

Зная одну сторону треугольника и все углы, по теореме синусов находим искомое расстояние.

2 случай.

Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (озером). Точки А и В доступны.

Выбирают третью точку С, из которой видны точки А и В и могут быть непосредственны измерены расстояния до них. Получается треугольник, у которого даны угол АСВ (измеряется с помощью астролябии) и стороны АС и ВС. На основании этих данных по теореме косинусов можно определить величину стороны АВ – искомое расстояние. АВ 2 = АС 2 + ВС 2 – 2 АС * ВС cos угла С.

3 случай:

Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (лесом) и недоступными определяющему расстояние (точки находятся по ту сторону реки).

Выбирают две доступные точки С и К, расстояние между которыми может быть измерено и из которых видны как точка А, так т точка В.

Устанавливают астролябию в точке С и измеряют углы АСК и ВСК. Затем измеряют расстояние СК и переносят астролябию в т. К, из которой измеряют углы АКС и АКВ. На бумаге по стороне СК, взятой в определённом масштабе и двум прилежащим углам строят треугольники АСК и ВСК и вычисляют элементы этих треугольников. Проведя на чертеже линию АВ, определяют длину её непосредственно по чертежу или путём вычисления (решают треугольники АВС и АВК, в которые входит определяемая линия АВ).

Практическая работа в 9 кл на уроках геометрии:

• измерить высоту предмета;
• расстояние до недоступной точки (ширину реки).

Работу провести и через подобие треугольников и через тему “Решение треугольников”.

Задание: сравнить полученные результаты.

В результате проведения цикла уроков по вопросам рассмотрения практического применения геометрии, учащиеся убеждаются в непосредственном применении математики в практической жизни человека (измерение расстояния до недоступной точки, определение высоты предмета различными способами к концу обучения в основной школе, использование измерительных приборов). Решение задач этого типа вызывает заинтересованность учащихся, которые с нетерпением ждут уроков, связанных с непосредственным измерением на местности. А задачи, предложенные в учебнике, знакомят с различными способами решения этих задач.

Литература:

1. Атанасян Л.С. Геометрия 7 -9. – Москва: Просвещение, 2000 г.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Понятие и классификация углов, положительные и отрицательные углы. Измерение углов дугами окружности. Единицы их измерения при использовании градусной и радианной мер. Характеристики углов: между наклонной и плоскостью, двумя плоскостями, двугранного.

реферат , добавлен 18.08.2011


дипломная работа , добавлен 01.12.2007


Выдающийся деятель Средневековья, универсальный ученый-энциклопедист Абу Райхан Мухаммад ибн Ахмад аль-Беруни в своем труде "Гномоника" подробно останавливается на измерения расстояния на Земле и высоты гор задачах и приводит способы их решения.

реферат , добавлен 25.03.2008


Углы и их измерение, тригонометрические функции острого угла. Свойства и знаки тригонометрических функций. Четные и нечетные функции. Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств с помощью формул.

учебное пособие , добавлен 30.12.2009


Использование разнообразных способов измерения расстояния в странах мира. Характеристика системы мер Древней Руси: вершок, пядь, пуд, аршин, сажень и верста. Разработка метрической системы. Меры площади и длины в Египте, Израиле, Великобритании и США.

презентация , добавлен 17.11.2011


Геометрические понятия точки, луча и угла. Виды углов: развернутые, острые, прямые, тупые, смежные и вертикальные. Способы построения смежных и вертикальных углов. Равенство вертикальных углов. Проверка знаний на уроке геометрии: определение вида углов.

презентация , добавлен 13.03.2010


Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.

Напечатать