Методика изучения числовых выражений. Алгебраический материал в курсе математики начальной школы и методика его изучения
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ВВЕДЕНИЕ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Введение
В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что, несомненно, говорит об уникальности этой области знаний.
Что представляет собой современная математика? Зачем она нужна? Эти и подобные им вопросы часто задают учителям дети. И каждый раз ответ будет разным в зависимости от уровня развития ребенка и его образовательных потребностей.
Часто говорят, что математика - это язык современной науки. Однако, представляется, что это высказывание имеет существенный дефект. Язык математики распространен так широко и так часто оказывается эффективным именно потому, что математика к нему не сводится.
Выдающийся отечественный математик А.Н. Колмогоров писал: "Математика не просто один из языков. Математика - это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение с другим. Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых допускает отдельное очень подробное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако, если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому " .
Таким образом, математика позволяет сформировать определенные формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.
Каково же влияние математики вообще и школьной математики в частности на воспитание творческой личности? Обучение на уроках математики искусству решать задачи доставляет нам исключительно благоприятную возможность для формирования у учащихся определенного склада ума. Необходимость исследовательской деятельности развивает интерес к закономерностям, учит видеть красоту и гармонию человеческой мысли. Все это является на наш взгляд важнейшим элементом общей культуры. Важное влияние оказывает курс математики на формирование различных форм мышления: логического, пространственно-геометрического, алгоритмического. Любой творческий процесс начинается с формулировки гипотезы. Математика при соответствующей организации обучения, будучи хорошей школой построения и проверки гипотез, учит сравнивать различные гипотезы, находить оптимальный вариант, ставить новые задачи, искать пути их решения. Помимо всего прочего, она вырабатывает еще и привычку к методичной работе, без которой не мыслим ни один творческий процесс. Максимально раскрывая возможности человеческого мышления, математика является его высшим достижением. Она помогает человеку в осознании самого себя и формировании своего характера. Это то немногое из большого списка причин, в силу которых математические знания должны стать неотъемлемой частью общей культуры и обязательным элементом в воспитании и обучении ребенка. Курс математики (без геометрии) в нашей 10-летней школе фактически разбит на три основные части: на арифметику (I - V классы), алгебру (VI - VIII классы) и элементы анализа (IX - Х классы). Что служит основанием для такого подразделения? Конечно, каждая эта часть имеет свою особую "технологию".
Так, в арифметике она связана, например, с вычислениями, производимыми над многозначными числами, в алгебре - с тождественными преобразованиями, логарифмированием, в анализе - с дифференцированием и т.д. Но каковы более глубокие основания, связанные с понятийным содержанием каждой части? Следующий вопрос касается оснований для различения школьной арифметики и алгебры (т.е. первой и второй части курса). В арифметику включают изучение натуральных чисел (целых положительных) и дробей (простых и десятичных). Однако специальный анализ показывает, что соединение этих видов чисел в одном школьном учебном предмете неправомерно.
Дело в том, что эти числа имеют разные функции: первые связаны со счетом предметов, вторые - с измерением величин. Это обстоятельство весьма важно для понимания того факта, что дробные (рациональные) числа являются лишь частным случаем действительных чисел.
С точки зрения измерения величин, как отмечал А.Н. Колмогоров, "нет столь глубокого различия между рациональными и иррациональными действительными числами. Из педагогических соображений надолго задерживаются на рациональных числах, так как их легко записать в форме дробей; однако то употребление, которое им с самого начала придается, должно было бы сразу привести к действительным числам во всей их общности" .
А.Н. Колмогоров считал оправданным как с точки зрения истории развития математики, так и по существу предложение А. Лебега переходить в обучении после натуральных чисел сразу к происхождению и логической природе действительных чисел. При этом, как отмечал А.Н. Колмогоров, "подход к построению рациональных и действительных чисел с точки зрения измерения величин нисколько не менее научен, чем, например, введение рациональных чисел в виде "пар". Для школы же он имеет несомненное преимущество" (.
Таким образом, есть реальная возможность на базе натуральных (целых) чисел сразу формировать "самое общее понятие числа" (по терминологии А. Лебега), понятие действительного числа. Но со стороны построения программы это означает не более не менее, как ликвидацию арифметики дробей в ее школьной интерпретации. Переход от целых чисел к действительным - это переход от арифметики к "алгебре", к созданию фундамента для анализа. Эти идеи, высказанные более 20 лет назад, актуальны и сегодня.
1. Общетеоретические аспекты изучения алгебраического материала в начальной школе
алгебраический школа сравнение математика
1.1 Опыт введения элементов алгебры в начальной школе
Содержание учебного предмета, как известно, зависит от многих факторов - от требований жизни к знаниям учащихся, от уровня соответствующих наук, от психических и физических возрастных возможностей детей и т.д. Правильный учет этих факторов является существенным условием наиболее эффективного обучения школьников, расширения их познавательных возможностей. Но иногда это условие по тем или иным причинам не соблюдается. В этом случае преподавание не дает должного эффекта как в отношении усвоения детьми круга необходимых знаний, так и в отношении развития их интеллекта .
Представляется, что в настоящее время программы преподавания некоторых учебных предметов, в частности математики, не соответствуют новым требованиям жизни, уровню развития современных наук (например, математики) и новым данным возрастной психологии и логики. Это обстоятельство диктует необходимость всесторонней теоретической и экспериментальной проверки возможных проектов нового содержания учебных предметов.
Фундамент математических знаний закладывается в начальной школе. Но, к сожалению, как сами математики, так и методисты и психологи уделяют весьма малое внимание именно содержанию начальной математики. Достаточно сказать, что программа по математике в начальной школе (I - IV классы) в основных своих чертах сложилась еще 50 - 60 лет назад и отражает, естественно, систему математических, методических и психологических представлений того времени .
Рассмотрим характерные особенности государственного стандарта по математике в начальной школе. Основным ее содержанием являются целые числа и действия над ними, изучаемые в определенной последовательности. Вначале изучаются четыре действия в пределе 10 и 20, затем - устные вычисления в пределе 100, устные и письменные вычисления в пределе 1000 и, наконец, в пределе миллионов и миллиардов. В IV классе изучаются некоторые зависимости между данными и результатами арифметических действий, а также простейшие дроби. Наряду с этим программа предполагает изучение метрических мер и мер времени, овладение умением пользоваться ими для измерения, знание некоторых элементов наглядной геометрии - вычерчивание прямоугольника и квадрата, измерение отрезков, площадей прямоугольника и квадрата, вычисление объемов .
Полученные знания и навыки ученики должны применять к решению задач и к выполнению простейших расчетов. На протяжении всего курса решение задач проводится параллельно изучению чисел и действий - для этого отводится половина соответствующего времени. Решение задач помогает учащимся понять конкретный смысл действий, уяснить различные случаи их применения, установить зависимость между величинами, получить элементарные навыки анализа и синтеза.
С I по IV класс дети решают следующие основные типы задач (простых и составных): на нахождение суммы и остатка, произведения и частного, на увеличение и уменьшение данных чисел, на разностное и кратное сравнение, на простое тройное правило, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям, на вычисление среднего арифметического и некоторые другие виды задач .
С разными типами зависимостей величин дети сталкиваются при решении задач. Но весьма характерно - учащиеся приступают к задачам после и по мере изучения чисел; главное, что требуется при решении - это найти числовой ответ. Дети с большим трудом выявляют свойства количественных отношений в конкретных, частных ситуациях, которые принято считать арифметическими задачами. Практика показывает, что манипулирование числами часто заменяет действительный анализ условий задачи с точки зрения зависимостей реальных величин. Задачи, вводимые в учебники, не представляют к тому же системы, в которой более "сложные" ситуации были бы связаны и с более "глубокими" пластами количественных отношений. Задачи одной и той же трудности можно встретить и в начале, и в конце учебника. Они меняются от раздела к разделу и от класса к классу по запутанности сюжета (возрастает число действий), по рангу чисел (от десяти до миллиарда), по сложности физических зависимостей (от задач на распределение до задач на движение) и по другим параметрам. Только один параметр - углубление в систему собственно математических закономерностей - в них проявляется слабо, неотчетливо. Поэтому очень сложно установить критерий математической трудности той или иной задачи. Почему задачи на нахождение неизвестного по двум разностям и на выяснение среднего арифметического (III класс) труднее задач на разностное и кратное сравнение (II класс)? Методика не дает на этот вопрос убедительного и логичного ответа .
Таким образом, учащиеся начальных классов не получают адекватных, полноценных знаний о зависимостях величин и общих свойствах количества ни при изучении элементов теории чисел, ибо они в школьном курсе связаны по преимуществу с техникой вычислений, ни при решении задач, ибо последние не обладают соответствующей формой и не имеют требуемой системы. Попытки методистов усовершенствовать приемы преподавания хотя и приводят к частным успехам, однако не меняют общего положения дела, так как они заранее ограничены рамками принятого содержания.
Представляется, что в основе критического анализа принятой программы по арифметике должны лежать следующие положения:
Понятие числа не тождественно понятию о количественной характеристике объектов;
Число не является исходной формой количественных отношений.
Приведем обоснование этих положений. Общеизвестно, что современная математика (в частности, алгебра) изучает такие моменты количественных отношений, которые не имеют числовой оболочки. Также хорошо известно, что некоторые количественные отношения вполне выразимы без чисел и до чисел, например, в отрезках, объемах и т.д. (отношение "больше", "меньше", "равно"). Изложение исходных общематематических понятий в современных руководствах осуществляется в такой символике, которая не предполагает обязательного выражения объектов числами. Так, в книге Е.Г. Гонина "Теоретическая арифметика" основные математические объекты с самого начала обозначаются буквами и особыми знаками .
Характерно, что те или иные виды чисел и числовые зависимости приводятся лишь как примеры, иллюстрации свойств множеств, а не как их единственно возможная и единственно существующая форма выражения. Далее, примечательно, что многие иллюстрации отдельных математических определений даются в графической форме, через соотношение отрезков, площадей . Все основные свойства множеств и величин можно вывести и обосновать без привлечения числовых систем; более того, последние сами получают обоснование на основе общематематических понятий.
В свою очередь многочисленные наблюдения психологов и педагогов показывают, что количественные представления возникают у детей задолго до появления у них знаний о числах и приемах оперирования ими. Правда, есть тенденция относить эти представления к категории "доматематических образований" (что вполне естественно для традиционных методик, отождествляющих количественную характеристику объекта с числом), однако, это не меняет существенной их функции в общей ориентировке ребенка в свойствах вещей. И порой случается, что глубина этих якобы "доматематических образований" более существенна для развития собственно математического мышления ребенка, чем знание тонкостей вычислительной техники и умение находить чисто числовые зависимости. Примечательно, что акад. А.Н. Колмогоров, характеризуя особенности математического творчества, специально отмечает следующее обстоятельство: "В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только применить надлежащим образом эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной" .
В настоящее время целесообразны самые различные идеи относительно структуры и способов построения новой программы. К работе по ее конструированию необходимо привлечь математиков, психологов, логиков, методистов. Но во всех своих конкретных вариантах она, как представляется, должна удовлетворять следующим основным требованиям:
Преодолевать существующий разрыв между содержанием математики в начальной и средней школе;
Давать систему знаний об основных закономерностях количественных отношений объективного мира; при этом свойства чисел, как особой формы выражения количества, должны стать специальным, но не основным разделом программы;
Прививать детям приемы математического мышления, а не только навыки вычислений: это предполагает построение такой системы задач, в основе которой лежит углубление в сферу зависимостей реальных величин (связь математики с физикой, химией, биологией и другими науками, изучающими конкретные величины);
Решительно упрощать всю технику вычисления, сводя до минимума ту работу, которую нельзя выполнить без соответствующих таблиц, справочников и других подсобных (в частности, электронных) средств.
Смысл этих требований ясен: в начальной школе вполне возможно преподавать математику как науку о закономерностях количественных отношений, о зависимостях величин; техника вычислений и элементы теории чисел должны стать особым и частным разделом программы.
Опыт конструирования новой программы по математике и ее экспериментальная проверка, проводимая начиная с конца 1960-х годов, позволяют уже в настоящее время говорить о возможности введения в школу начиная с I класса систематического курса математики, дающего знания о количественных отношениях и зависимостях величин в алгебраической форме.
1.2 Проблема происхождения алгебраических понятий и ее значение для построения учебного предмета
Разделение школьного курса математики на алгебру и арифметику, конечно же, условно. Переход от одного к другому происходит постепенно. В школьной практике смысл этого перехода маскируется тем, что изучение дробей фактически происходит без развернутой опоры на измерение величин - дроби даются как отношения пар чисел (хотя формально важность измерения величин в методических руководствах признается). Развернутое введение дробных чисел на основе измерения величин неизбежно приводит к понятию действительного числа. Но последнего как раз обычно и не происходит, так как учащихся долго держат на работе с рациональными числами, а тем самым задерживают их переход к "алгебре" .
Иными словами, школьная алгебра начинается именно тогда, когда создаются условия для перехода от целых к действительным числам, к выражению результата измерения дробью (простой и десятичной - конечной, а затем бесконечной). Причем исходным может быть знакомство с операцией измерения, получение конечных десятичных дробей и изучение действий над ними. Если учащиеся уже владеют такой формой записи результата измерения, то это служит предпосылкой для "забрасывания" идеи о том, что число может выражаться и бесконечной дробью. И эту предпосылку целесообразно создавать уже в пределах начальной школы.
Если понятие дробного (рационального) числа изъять из компетенции школьной арифметики, то граница между нею и "алгеброй" пройдет по линии различия между целым и действительным числами. Именно оно "рубит" курс математики на две части. Здесь не простое различие, а принципиальный "дуализм" источников - счета и измерения .
Следуя идеям Лебега относительно "общего понятия числа", можно обеспечить полное единство преподавания математики, но лишь с момента и после ознакомления детей со счетом и целым (натуральным) числом. Конечно, сроки этого предварительного ознакомления могут быть разными (в традиционных программах для начальной школы они явно затянуты), в курс начальной арифметики можно даже вносить элементы практических измерений (что имеет место в программе), - однако все это не снимает различия оснований у арифметики и "алгебры" как учебных предметов. "Дуализм" исходных пунктов препятствует и тому, чтобы в курсе арифметики по-настоящему "приживались" разделы, связанные с измерением величин и переходом к подлинным дробям. Авторы программ и методисты стремятся сохранить устойчивость и "чистоту" арифметики как школьного учебного предмета. Указанное различие источников является основной причиной преподавания математики по схеме - сначала арифметика (целое число), затем "алгебра" (действительное число) .
Эта схема кажется вполне естественной и незыблемой, к тому же она оправдывается многолетней практикой преподавания математики. Но есть обстоятельства, которые с логико-психологической точки зрения требуют более тщательного анализа правомерности этой жесткой схемы преподавания.
Дело в том, что при всем различии этих видов чисел они относятся именно к числам, т.е. к особой форме отображения количественных отношений. Принадлежность целого и действительного чисел к "числам" служит основанием для предположения о генетической производности и самих различий счета и измерения: у них есть особый и единый источник, соответствующий самой форме числа .
Знание особенностей этой единой основы счета и измерения позволит более четко представить условия их происхождения, с одной стороны, и взаимосвязь - с другой.
К чему же обратиться, чтобы нащупать общий корень ветвистого дерева чисел? Представляется, что, прежде всего, необходимо проанализировать содержание понятия величина. Правда, с этим термином сразу связывается другой - измерение. Однако правомерность подобного соединения не исключает определенной самостоятельности смысла "величины". Рассмотрение этого аспекта позволяет сделать выводы, сближающие, с одной стороны, измерение со счетом, с другой - оперирование числами с некоторыми общематематическими отношениями и закономерностями .
Итак, что такое "величина" и какой интерес она представляет для построения начальных разделов школьной математики? В общем употреблении термин "величина" связан с понятиями "равно", "больше", "меньше", которые описывают самые различные качества (длину и плотность, температуру и белизну). В.Ф. Каган ставит вопрос о том, какими общими свойствами эти понятия обладают. Он показывает, что они относятся к совокупностям - множествам однородных предметов, сопоставление элементов которых позволяет применить термины "больше", "равно", "меньше" (например, к совокупностям всех прямолинейных отрезков, весов, скоростей и т.д.) .
Множество предметов только тогда претворяется в величину, когда устанавливаются критерии, позволяющие установить относительно любых его элементов А и В, будет ли А равно В, больше В или меньше В. При этом для любых двух элементов А и В имеет место одно и только одно из соотношений: А=В, А>В, А<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).
В.Ф. Каган выделяет следующие восемь основных свойств понятий "равно", "больше", "меньше": .
1) Имеет место по крайней мере одно из соотношений: А=В, А>В, А<В.
2) Если имеет место соотношение А=В, то не имеет места соотношение А<В.
3) Если имеет место соотношение А=В, то не имеет места соотношение А>В.
4) Если А=В и В=С, то А=С.
5) Если А>В и В>С, то А>С.
6) Если А<В и В<С, то А<С.
7) Равенство есть отношение обратимое: из соотношения А=В всегда следует соотношение В=А.
8) Равенство есть соотношение возвратное: каков бы ни был элемент А рассматриваемого множества, А=А.
Первые три предложения характеризуют дизъюнкцию основных соотношений "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых
трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.
Эти выводные свойства В.Ф. Каган описывает в форме восьми теорем:
I. Соотношение А>В исключает соотношение В>А (А<В исключает В<А).
II. Если А>В, то В<А (если А<В, то В>А).
III. Если имеет место А>В, то не имеет места A IV. Если А1=А2, А2=А3,.., Аn-1=А1, то А1=Аn. V. Если А1>А2, А2>А3,.., Аn-1>Аn, то А1>Аn. VI. Если А1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn. VII. Если А=С и В=С, то А=В. VIII. Если имеет место равенство или неравенство А=В, или А>В, или А<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>В и А=С, то С>В и т.д.). Постулатами сравнения и теоремами, указывает В.Ф. Каган, "исчерпываются все те свойства понятий "равно", "больше" и "меньше", которые в математике с ними связываются и находят себе применение независимо от индивидуальных свойств того множества, к элементам коего мы их в различных частных случаях применяем" . Свойства, указанные в постулатах и теоремах, могут характеризовать не только те непосредственные особенности объектов, которые мы привыкли связывать с "равно", "больше", "меньше", но и со многими другими особенностями (например, они могут характеризовать отношение "предок - потомок"). Это позволяет встать при их описании на общую точку зрения и рассматривать, например, под углом зрения этих постулатов и теорем любые три вида отношений "альфа", "бета", "гамма" (при этом можно установить, удовлетворяют ли эти отношения постулатам и теоремам и при каких условиях). Под таким углом зрения можно, например, рассматривать такое свойство вещей, как твердость (тверже, мягче, одинаковая твердость), последовательность событий во времени (следование, предшествование, одновременность) и т.д. Во всех этих случаях соотношения "альфа", "бета", "гамма" получают свою конкретную интерпретацию. Задача, связанная с подбором такого множества тел, которое бы имело эти отношения, а также выявление признаков, по которым можно было бы характеризовать "альфа", "бета", "гамма", - это есть задача на определение критериев сравнения в данном множестве тел (практически ее в ряде случаев решить нелегко). "Устанавливая критерии сравнения, мы претворяем множество в величину", - писал В.Ф. Каган . Реальные объекты могут рассматриваться под углом зрения разных критериев. Так, группа людей может рассматриваться по такому критерию, как последовательность моментов рождения каждого ее члена. Другой критерий - относительное положение, которое примут головы этих людей, если их поставить рядом на одной горизонтальной плоскости. В каждом случае группа будет претворяться в величину, имеющую соответствующее наименование - возраст, рост. В практике величиной обычно обозначают как бы не самое множество элементов, а новое понятие, введенное для различения критериев сравнения (наименование величины). Так возникают понятия "объем", "вес", "электрическое напряжение" и т.д. "При этом для математика величина вполне определена, когда указаны множество элементов и критерии сравнения", - отмечал В.Ф. Каган . В качестве важнейшего примера математической величины этот автор рассматривает натуральный ряд чисел. С точки зрения такого критерия сравнения, как положение, занимаемое числами в ряду (занимают одно место, следует за..., предшествует), этот ряд удовлетворяет постулатам и поэтому представляет собой величину. По соответствующим критериям сравнения совокупность дробей также претворяется в величину. Таково, по В.Ф. Кагану, содержание теории величины, играющей важнейшую роль в деле обоснования всей математики. Работая с величинами (отдельные их значения целесообразно фиксировать буквами), можно производить сложную систему преобразований, устанавливая зависимости их свойств, переходя от равенства к неравенству, выполняя сложение (и вычитание), причем при сложении можно руководствоваться коммутативным и ассоциативным свойствами. Так, если дано соотношение А=В, то при "решении" задач можно руководствоваться соотношением В=А. В другом случае при наличии соотношений А>В, В=С можно заключить, что А>С. Поскольку при а>b существует такое с, что а=b+с, то можно найти разность а и b (а-b=с), и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на физических телах и других объектах, установив критерии сравнения и соответствие выделенных отношений постулатам сравнения. Приведенные выше материалы позволяют заключить, что и натуральные, и действительные числа одинаково прочно связаны с величинами и некоторыми их существенными особенностями. Нельзя ли эти и другие свойства сделать предметом специального изучения ребенка еще до того, как вводится числовая форма описания отношения величин? Они могут послужить предпосылками для последующего развернутого введения числа и его разных видов, в частности для пропедевтики дробей, понятий координат, функции и других понятий уже в младших классах . Что может быть содержанием этого начального раздела? Это знакомство с физическими объектами, критериями их сравнения, выделяющими величину, как предмет математического рассмотрения, знакомство со способами сравнения и знаковыми средствами фиксации его результатов, с приемами анализа общих свойств величин. Это содержание нужно развернуть в относительно подробную программу преподавания и, главное, связать ее с теми действиями ребенка, посредством которых он может этим содержанием овладеть (конечно, в соответствующей форме). Вместе с тем нужно экспериментальным, опытным путем установить, могут ли дети 7 лет усвоить эту программу, и какова целесообразность ее введения для последующего преподавания математики в начальных классах в направлении сближения арифметики и начальной алгебры. До сих пор наши рассуждения носили теоретический характер и были направлены на выяснение математических предпосылок построения такого начального раздела курса, который знакомил бы детей с основными алгебраическими понятиями (до специального введения числа). Выше были описаны основные свойства, характеризующие величины. Естественно, что детям 7 лет бессмысленно читать "лекции" относительно этих свойств . Необходимо было найти такую форму работы детей с дидактическим материалом, посредством которой они смогли бы, с одной стороны, выявить в окружающих их вещах эти свойства, с другой - научились бы фиксировать их определенной символикой и проводить элементарный математический анализ выделяемых отношений. В этом плане программа должна содержать, во-первых, указание тех свойств предмета, которые подлежат освоению, во-вторых, описание дидактических материалов, в-третьих, - и это с психологической точки зрения главное - характеристики тех действий, посредством которых ребенок выделяет определенные свойства предмета и осваивает их. Эти "составляющие" образуют программу преподавания в собственном смысле этого слова. Конкретные особенности этой гипотетической программы и ее "составляющих" имеет смысл излагать при описании процесса самого обучения и его результатов . Здесь представляется схема данной программы и ее узловые темы. Тема I. Уравнивание и комплектование объектов (по длине, объему, весу, составу частей и другим параметрам). Практические задачи на уравнивание и комплектование. Выделение признаков (критериев), по которым одни и те же объекты могут быть уравнены или укомплектованы. Словесное обозначение этих признаков ("по длине", по весу" и т.д.). Эти задачи решаются в процессе работы с дидактическим материалом (планками, грузами и т.д.) путем: Выбора "такого же" предмета, Воспроизведения (построения) "такого же" предмета по выделенному (указанному) параметру. Тема II. Сравнение объектов и фиксация его результатов формулой равенства-неравенства. 1. Задачи на сравнение объектов и знаковое обозначение результатов этого действия. 2. Словесная фиксация результатов сравнения (термины "больше", "меньше", "равно"). Письменные знаки ">", "<", "=". 3. Обозначение результата сравнения рисунком ("копирующим", а затем "отвлеченным" - линиями). 4. Обозначение сравниваемых объектов буквами. Запись результата сравнения формулами: А=Б; А<Б, А>B. Буква как знак, фиксирующий непосредственно данное, частное значение объекта по выделенному параметру (по весу, по объему и т.д.). 5. Невозможность фиксации результата сравнения разными формулами. Выбор определенной формулы для данного результата (полная дизъюнкция отношений больше - меньше - равно). Тема III. Свойства равенства и неравенства. 1. Обратимость и рефлексивность равенства (если А=Б, то Б=А; А=А). 2. Связь отношений "больше" и "меньше" в неравенствах при "перестановках" сравниваемых сторон (если А>Б, то Б<А и т.п.). 3. Транзитивность как свойство равенства и неравенства: если А=Б, если А>Б, если А<Б, а Б=В, а Б>В, а Б<В, то А=В; тo A>B; тo А<В. 4. Переход от работы с предметным дидактическим материалом к оценкам свойств равенства-неравенства при наличии только буквенных формул. Решение разнообразных задач, требующих знания этих свойств (например, решение задач, связанных со связью отношений типа: дано, что А>В, а В=С; узнать отношение между А и С). Тема IV. Операция сложения (вычитания). 1. Наблюдения за изменениями объектов по тому или иному параметру (по объему, по весу, по длительности и т.д.). Изображение увеличения и уменьшения знаками "+" и "-" (плюс и минус). 2. Нарушение ранее установленного равенства при соответствующем изменении той или иной его стороны. Переход от равенства к неравенству. Запись формул типа: если А=Б, если А=Б, то А+К>Б; то А-К<Б. 3. Способы перехода к новому равенству (его "восстановление" по принципу: прибавление "равного" к "равным" дает "равное"). Работа с формулами типа: то А+К>Б, но А+К=Б+К. 4. Решение разнообразных задач, требующих применения операции сложения (вычитания) при переходе от равенства к неравенству и обратно. Тема V. Переход от неравенства типа А<Б к равенству через операцию сложения (вычитания). 1. Задачи, требующие такого перехода. Необходимость определения значения величины, на которую разнятся сравниваемые объекты. Возможность записи равенства при неизвестном конкретном значении этой величины. Способ использования х (икса). Запись формул типа: если A<Б, если А>Б, то A+х=Б; то А-x=B. 2. Определение значения х. Подстановка этого значения в формулу (знакомство со скобками). Формулы типа 3. Решение задач (в том числе и "сюжетно-текстовых"), требующих выполнения указанных операций. Тема Vl. Сложение-вычитание равенств-неравенств. Подстановка. 1. Сложение-вычитание равенств-неравенств: если А=Б если А>В если А>В и М=D, и К>Е, и Б=Г, то A+M=Б+D; то А+К>В+E; то А+-Б>В+-Г. 2. Возможность представления значения величины суммой нескольких значений. Подстановка типа: 3. Решение разнообразных задач, требующих учета свойств отношений, с которыми дети познакомились в процессе работы (многие задачи требуют одновременного учета нескольких свойств, сообразительности при оценке смысла формул; описание задач и решения приведены ниже) . Такова программа, рассчитанная на 3,5 - 4 мес. первого полугодия. Как показывает опыт экспериментального обучения, при правильном планировании уроков, при усовершенствовании методики преподавания и удачном выборе дидактических пособий весь изложенный в программе материал может быть полноценно усвоен детьми за более короткий срок (за 3 месяца). Как строится наша программа дальше? Прежде всего дети знакомятся со способом получения числа, выражающим отношение какого-либо объекта как целого (той же величины, представленной непрерывным или дискретным объектом) к его части. Само это отношение и его конкретное значение изображается формулой А/К=n, где n - любое целое число, чаще всего выражающее отношение с точностью до "единицы" (лишь при специальном подборе материала или при сосчитывании лишь "качественно" отдельных вещей можно получить абсолютно точное целое число). Дети с самого начала "вынуждены" иметь в виду, что при измерении или сосчитывании может получиться остаток, наличие которого нужно специально оговаривать. Это первая ступенька к последующей работе с дробным числом. При такой форме получения числа нетрудно подвести детей к описанию объекта формулой типа А=5k (если отношение было равно "5"). Вместе с первой формулой она открывает возможности для специального изучения зависимостей между объектом, основанием (мерой) и результатом счета (измерения), что также служит пропедевтикой для перехода к дробным числам (в частности, для понимания основного свойства дроби). Другая линия развертывания программы, реализуемая уже в I классе, - это перенесение на числа (целые) основных свойств величины (дизъюнкции равенства-неравенства, транзитивности, обратимости) и операции сложения (коммутативности, ассоциативности, монотонности, возможности вычитания). В частности, работая на числовом луче, дети могут быстро претворить последовательность чисел в величину (например, отчетливо оценивать их транзитивность, выполняя записи типа 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) . Знакомство с некоторыми так сказать "структурными" особенностями равенства позволяет детям иначе подойти к связи сложения и вычитания. Так, при переходе от неравенства к равенству выполняются следующие преобразования: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; найти отношение между левой и правой частями формулы при 8+1-4...6+3-2; в случае неравенства привести это выражение к равенству (вначале нужно поставить знак "меньше", а затем приплюсовать к левой части "двойку"). Таким образом, обращение с числовым рядом как с величиной позволяет по-новому формировать сами навыки сложения-вычитания (а затем умножения-деления). 2.1 Обучение в начальной школе с точки зрения потребностей средней школы Как известно, при изучении математики в 5-м классе существенная часть времени отводится на повторение того, что дети должны были усвоить в начальной школе. Это повторение практически во всех существующих учебниках занимает 1,5 учебной четверти. Такая ситуация сложилась неслучайно. Ее причина - недовольство учителей математики средней школы подготовкой выпускников начальной школы. В чем же причина такого положения? Для этого была проанализированы пять наиболее известных сегодня учебников математики начальной школы. Это учебники М.И. Моро, И.И. Аргинской, Н.Б. Истоминой, Л.Г. Петерсон , , , . Анализ этих учебников выявил несколько негативных моментов, в большей или меньшей степени присутствующих в каждом из них и отрицательно влияющих на дальнейшее обучение. Прежде всего, это то, что усвоение материала в них в большей мере основано на заучивании. Ярким примером этого служит заучивание таблицы умножения. В начальной школе ее запоминанию уделяется много сил и времени. Но за время летних каникул дети ее забывают. Причина такого быстрого забывания в механическом заучивании. Исследования Л.С. Выготского показали, что осмысленное запоминание гораздо более эффективно, чем механическое, а проведенные впоследствии эксперименты убедительно доказывают, что материал попадает в долговременную память, только если он запомнен в результате работы, соответствующей этому материалу. Способ эффективного усвоения таблицы умножения был найден еще в 50-х годах. Он состоит в организации определенной системы упражнений, выполняя которые, дети сами конструируют таблицу умножения. Однако не в одном из рассмотренных учебников этот способ не реализован. Другим негативным моментом, влияющим на дальнейшее обучение, является то, что во многих случаях изложение материала в учебниках математики начальной школы построено таким образом, что в дальнейшем детей придется переучивать, а это, как известно, гораздо труднее, чем учить. Применительно к изучению алгебраического материала примером может служить решение уравнений в начальной школе. Во всех учебниках решение уравнений основано на правилах нахождения неизвестных компонентов действий. Несколько иначе это сделано лишь в учебнике Л.Г. Петерсон , где, например, решение уравнений на умножение и деление строится на соотнесении компонентов уравнения со сторонами и площадью прямоугольника и в итоге также сводится к правилам, но это правила нахождения стороны или площади прямоугольника. Между тем, начиная с 6-го класса детей учат совершенно другому принципу решения уравнений, основанному на применении тождественных преобразований. Такая необходимость переучивания приводит к тому, что решение уравнений является достаточно сложным моментом для большинства детей. Анализируя учебники, мы столкнулись еще и с тем, что при изложении материала в них зачастую имеет место искажение понятий. Например, формулировка многих определений дается в виде импликаций, тогда как из математической логики известно, что любое определение - это эквиваленция. В качестве иллюстрации можно привести определение умножения из учебника И.И. Аргинской: "Если все слагаемые в сумме равны между собой, то сложение можно заменить другим действием - умножением" . (Все слагаемые в сумме равны между собой. Следовательно, сложение можно заменить умножением.) Как видно, это импликация в чистом виде. Такая формулировка не только неграмотна с точки зрения математики, не только неправильно формирует у детей представление о том, что такое определение, но она еще и очень вредна тем, что в дальнейшем, например, при построении таблицы умножения авторы учебников используют замену произведения суммой одинаковых слагаемых, чего представленная формулировка не допускает. Такая неправильная работа с высказываниями, записанными в виде импликации, формирует у детей неверный стереотип, который будет с большим трудом преодолеваться на уроках геометрии, когда дети не будут чувствовать разницы между прямым и обратным утверждением, между признаком фигуры и ее свойством. Ошибка, когда при решении задач используется обратная теорема, в то время как доказана только прямая, является очень распространенной. Другим примером неправильного формирования понятий является работа с отношением буквенного равенства. Например, правила умножения числа на единицу и числа на нуль во всех учебниках даются в буквенном виде: а х 1 = а, а х 0 = 0. Отношение равенства, как известно, является симметричным, а следовательно, подобная запись предусматривает не только то, что при умножении на 1 получается то же число, но и то, что любое число можно представить как произведение этого числа и единицы. Однако словесная формулировка, предложенная в учебниках после буквенной записи, говорит только о первой возможности . Упражнения по этой теме также направлены только на отработку замены произведения числа и единицы этим числом. Все это приводит не только к тому, что предметом сознания детей не становится очень важный момент: любое число можно записать в виде произведения, - что в алгебре при работе с многочленами вызовет соответствующие трудности, но и к тому, что дети в принципе не умеют правильно работать с отношением равенства. К примеру, при работе с формулой разность квадратов дети, как правило, справляются с заданием разложить разность квадратов на множители. Однако те задания, где требуется обратное действие, во многих случаях вызывают затруднения. Другой яркой иллюстрацией этой мысли служит работа с распределительным законом умножения относительно сложения. Здесь также, несмотря на буквенную запись закона, и его словесная формулировка, и система упражнений отрабатывают только умение открывать скобки. В результате этого вынесение общего множителя за скобки в дальнейшем будет вызывать значительные трудности. Весьма часто в начальной школе, даже когда определение или правило сформулировано верно, обучение стимулирует опору не на них, а на нечто совершенно другое. Например, при изучении таблицы умножения на 2 во всех рассмотренных учебниках показан способ ее построения. В учебнике М.И. Моро это сделано так: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 При таком способе работы дети очень быстро подметят закономерность получающегося числового ряда . Уже после 3-4 равенств они перестанут складывать двойки и начнут записывать результат, основываясь на подмеченной закономерности. Таким образом, способ конструирования таблицы умножения не станет предметом их сознания, результатом чего будет являться непрочное ее усвоение. При изучении материала в начальной школе опора делается на предметные действия и иллюстративную наглядность, что ведет к формированию эмпирического мышления. Конечно, без подобной наглядности вряд ли можно совсем обойтись в начальной школе. Но она должна служить лишь иллюстрацией того или иного факта, а не основой для формирования понятия. Применение иллюстративной наглядности и предметных действий в учебниках нередко приводит к тому, что "размывается" само понятие. Например, в методике математики для 1-3-х классов М.И. Моро говорится, что детям приходится выполнять деление, раскладывая предметы на кучки или делая рисунок на протяжении 30 уроков. За подобными действиями теряется сущность операции деления как действия, обратного умножению. В результате деление усваивается с наибольшим трудом и значительно хуже, чем другие арифметические действия . При обучении математике в начальной школе нигде не идет речь о доказательстве каких-либо утверждений. Между тем, помня о том, какую трудность будет вызывать обучение доказательству в средней школе, начинать готовить к этому нужно уже в начальных классах. Причем сделать это можно на вполне доступном для младших школьников материале. Таким материалом, например, могут служить правила деления числа на 1, нуля на число и числа на само себя. Дети вполне в состоянии доказать их, используя определение деления и соответствующие правила умножения. Материал начальной школы также допускает и пропедевтику алгебры - работу с буквами и буквенными выражениями. Большинство учебников избегает использование букв. В результате четыре года дети работают практически только с числами, после чего, конечно, очень трудно приучать их к работе с буквами. Однако обеспечить пропедевтику такой работы, научить детей подстановке числа вместо буквы в буквенное выражение можно уже в начальной школе. Это сделано, например, в учебнике Л.Г. Петерсон. Говоря о недостатках обучения математике в начальной школе, мешающих дальнейшему обучению, необходимо особо подчеркнуть тот факт, что зачастую материал в учебниках изложен без взгляда на то, как он будет работать в дальнейшем. Очень ярким примером этого является организация усвоения умножения на 10, 100, 1000 и т.д. Во всех рассмотренных учебниках изложение этого материала построено так, что оно неизбежно приводит к формированию в сознании детей правила: "Чтобы умножить число на 10, 100, 1000 и т.д., нужно справа к нему приписать столько нулей, сколько их в 10, 100, 1000 и т.д." Это правило является одним из тех, которые очень хорошо усваиваются в начальной школе. И это приводит к большому числу ошибок при умножении десятичных дробей на целые разрядные единицы. Даже запомнив новое правило, дети часто автоматически при умножении на 10 приписывают к десятичной дроби справа нуль . Кроме того, следует отметить, что и при умножении натурального числа, и при умножении десятичной дроби на целые разрядные единицы, по сути дела, происходит одно и то же: каждая цифра числа сдвигается вправо на соответствующее количество разрядов. Поэтому нет смысла учить детей двум отдельным и совершенно формальным правилам. Гораздо полезнее научить их общему способу действий при решении подобных заданий. 2.2 Сравнение (противопоставление) понятий на уроках математики Действующая программа предусматривает изучение в I классе лишь двух действии первой ступени -- сложения и вычитания. Ограничение первого года обучения лишь двумя действиями есть, по существу, отход от того, что было уже достигнуто в учебниках, предшествовавших ныне действующим: ни один учитель никогда не жаловался тогда на то, что умножение и деление, скажем, в пределах 20 непосильно для первоклассников. Достойно внимания еще и то, что в школах других стран, где обучение начинается с 6 лет, к первому учебному году относят начальное знакомство со всеми четырьмя действиями арифметики. Математика опирается, прежде всего, на четыре действия, и чем раньше они будут включены в практику мышления школьника, тем устойчивее и надежнее будет последующее развертывание курса математики. Справедливости ради надо отметить, что в первых вариантах учебников М.И.Моро для I класса предусматривалось умножение и деление. Однако делу помешала случайность: авторы новых программ настойчиво держались за одну "новинку" -- охват в I классе всех случаев сложения и вычитания в пределах 100 (37+58 и 95--58 и т. п.). Но, поскольку времени на изучение такого расширенного объема сведений не хватило, было решено сдвинуть умножение и деление полностью на следующий год обучения. Итак, увлечение линейностью программы, т. е. чисто количественным расширением знаний (те же самые действия, но с большими числами), заняло то время, которое ранее отводилось на качественное углубление знаний (изучение всех четырех действий в пределах двух десятков). Изучение умножения и деления уже в I классе означает качественный скачок мышления, поскольку это позволяет освоить свернутые мыслительные процессы. По традиции, раньше выделялось в особую тему изучение действий сложения и вычитания в пределах 20. Необходимость этого подхода в систематизации знаний видна даже из логического анализа вопроса: дело в том, что полная таблица сложения однозначных чисел развертывается в пределах двух десятков (0+1=1, ...,9+9=18). Таким образом, числа в пределах 20 образуют в своих внутренних связях завершенную систему отношений; отсюда понятна целесообразность сохранения "Двадцати" в виде второй целостной темы (первая такая тема -- действия в пределах первого десятка). Обсуждаемый случай -- именно тот, когда концентричность (сохранение второго десятка в качестве особой темы) оказывается более выгодной, чем линейность ("растворение" второго десятка в теме "Сотня"). В учебнике М. И. Моро изучение первого десятка разделено на два изолированных раздела: сначала изучается состав чисел первого десятка, а в следующей теме рассматриваются действия в пределах 10 . В экспериментальном учебнике П.М. Эрдниева в противовес этому осуществлено совместное изучение нумерации, состава чисел и действий (сложение и вычитание) в пределах 10 сразу в одном разделе. При таком подходе применяется монографическое изучение чисел, а именно: в пределах рассматриваемого числа (например, 3) сразу же постигается вся "наличная математика": 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3 - 2 = 1 . Если по действующим программам на изучение первого десятка отводилось 70 ч, то в случае экспериментального обучения весь этот материал был изучен за 50 ч (причем сверх программы были рассмотрены некоторые дополнительные понятия, отсутствующие в стабильном учебнике, но структурно связанные с основным материалом). Особого внимания в методике начального обучения требует вопрос о классификации задач, о названиях их типов. Поколения методистов трудились над упорядочением системы школьных задач, над созданием их эффективных типов и разновидностей, вплоть до подбора удачных терминов для названий задач, предусмотренных для изучения в школе. Известно, что не менее половины учебного времени на уроках математики отводится их решению. Школьные задачи, безусловно, нуждаются в систематизации и классификации. Какого вида (типа) задачи изучать, когда изучать, какой их тип изучать в связи с прохождением того или иного раздела -- это законный объект исследования методики и центральное содержание программ. Значимость этого обстоятельства видна из истории методики математики. Заключение В настоящее время возникли достаточно благоприятные условия для коренного улучшения постановки математического образования в начальной школе: 1) начальная школа из трехлетней преобразована в четырехлетнюю; Особенности формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе. Характеристика величин, изучаемых в начальной школе. Знакомство с методикой формирования временных представлений в начальном курсе математики УМК "Школа России". дипломная работа , добавлен 16.12.2011 Интеграция информатики и математики как главное направление в повышении эффективности обучения. Методика применения программных средств к интерактивным урокам. Отбор учебного материала для электронного обучения математики и информатики в средней школе. дипломная работа , добавлен 08.04.2013 Представление об активных методах обучения, особенности их применения в начальной школе. Классификация активных методов преподавания математики в начальной школе по различным основаниям. Интерактивные методы преподавания математики и их преимущества. курсовая работа , добавлен 12.02.2015 Методика изучения вероятностно-статистической (стохастической) линии в курсе математики основной школы. Анализ восприятия материала учащимися: степень заинтересованности; уровень доступности; трудности при изучении этого материала; качество усвоения. дипломная работа , добавлен 28.05.2008 Сущность и задачи интерактивного обучения в начальной школе. Реализация комплекса методов и приемов интерактивного обучения младших школьников на уроках математики. Выявление динамики уровня сформированности универсальных учебных действий школьников. дипломная работа , добавлен 17.02.2015 Процесс работы над задачей. Виды задач, умение и уровни умения их решать. Методика обучения преобразованию задач.Этапы работы над задачей. Понятие преобразования задачи. Методика обучения и преобразования задачи на уроках математики в начальной школе. дипломная работа , добавлен 11.06.2008 Методика использования заданий исследовательского характера на уроках математики как средства развития мыслительной деятельности младших школьников; систематизация и апробация развивающих упражнений, рекомендации по их использованию в начальной школе. курсовая работа , добавлен 15.02.2013 Особенности изучения математики в начальной школе согласно Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования. Содержание курса. Анализ основных математических понятий. Сущность индивидуального подхода в дидактике. курсовая работа , добавлен 29.09.2016 Математика как одна из наиболее абстрактных наук, изучаемых в начальной школе. Знакомство с особенностями использования исторического материала на уроках математики в 4 классе. Анализ основных проблем развития познавательной активности школьников. дипломная работа , добавлен 10.07.2015 Рассмотрение психолого-педагогических основ изучения логических задач в начальной школе. Особенности развития логического мышления на уроках математики в начальной школе с позиции требований Федерального Государственного Образовательного Стандарта. Изучение алгебраического материала в начальной школе.
Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого
начала обучения вести планомерную работу, направленную на формирование у
детей таких важнейших математических понятий, как выражение, равенство,
неравенство, уравнение. Включение элементов алгебры имеет своей целью главным
образом более полное и более глубокое раскрытие арифметических понятий,
доведение обобщений учащихся до более высокого уровня, а также создание
предпосылок для успешного усвоения в дальнейшем курса алгебры.
Ознакомление с использованием буквы как символа, обозначающего любое
число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих из
рассматриваемых в начальном курсе вопросов арифметической теории, является
хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями
переменной, функции. Более раннее ознакомление с использованием
алгебраического способа решения задач позволяет внести серьезные
усовершенствования во всю систему обучения детей решению разнообразных
текстовых задач.
Работа над всеми перечисленными вопросами алгебраического содержания, в
соответствии с тем, как это намечено в учебниках, должна вестись планомерно и
систематически в течение всех лет начального обучения. Изучение элементов
алгебры в начальном обучении математике тесно связывается с изучением
арифметики. Это выражается, в частности, и в том, что, например, уравнения и
неравенства решаются не на основе применения алгебраического аппарата, а на
основе использования свойств арифметических действий, на основе взаимосвязи
между компонентами и результатами этих действий.
Формирование каждого из рассматриваемых алгебраических понятий не
доводится до формально-логического определения.
Задачи изучения темы:
1. Сформировать у учащихся умения читать, записывать и сравнивать числовые
выражения.
2. Познакомить учащихся с правилами выполнения порядка действий в
числовых выражениях и выработать умение вычислять значения выражений в
соответствии с этими правилами.
3. Сформировать у учащихся умение читать, записывать буквенные выражения
и вычислять их значения при данных значениях букв.
4. Познакомить учащихся с уравнениями первой степени, содержащее действия
первой и второй ступени, сформировать умение решать их способом подбора, а
также на основе знания взаимосвязи между компонентами и результатом
арифметических действий.
Математические выражения.
При формировании у детей понятия математического выражения необходимо
учитывать, что знак действия, поставленный между числами, имеет два смысла: с
одной стороны, он обозначает действие, которое надо выполнить над числами
(например, 6+4 - к шести прибавить четыре); с другой стороны, знак действия
служит для обозначения выражения (6+4 - это сумма чисел 6 и 4).
Понятие о выражении формируется у младших школьников в тесной связи с
понятиями об арифметических действиях и способствует лучшему их усвоению.
Ознакомление с числовыми выражениями: в методике работы над выражениями
предусматриваются два этапа. На первом из них формируется понятие о простейших
выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на втором- о
сложных (сумма произведения и числа, разность двух частных и т. п.).
Знакомство с первым выражением - суммой двух чисел происходит в I классе
при изучении сложения и вычитания в пределах 10.
Выполняя операции над множествами, учащиеся, прежде всего, усваивают
конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 5+1, 6-2 знаки
действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть».
Примерно в таком же плане идет работа над следующими выражениями:
разностью (1 класс), произведением и частным двух чисел (2 класс).
Вводятся термины «математическое выражение» и «значение математического
выражения» (без определений). После записи нескольких примеров в одно действие
учитель сообщает, что эти примеры иначе называются математическими
выражениями.
Правило, используемое при чтении выражений:
1) установить, какое действие выполняется последним;
2) вспомнить, как называются числа в этом действии;
3) прочитать, чем выражены эти числа.
Упражнения в чтении и записи сложных выражений, содержащих компоненты
действий, заданные простейшими выражениями, помогают детям усвоить правила
порядка действий, а также подготавливают к решению уравнений.
Предлагая подобные упражнения и проверяя знания и умения учащихся,
учитель должен стремиться лишь к тому, чтобы они умели практически выполнять
подобные задания: записать выражение, прочитать его, составить выражение по
предложенной задаче, составить задачу по данному выражению (или «по-разному»
прочитать данное выражение), понимали, что значит записать сумму (разность) с
помощью цифр и знаков действий и что значит вычислить сумму (разность), а в
дальнейшем, после введения соответствующих терминов, что значит составить
выражение и что значит найти его значение.
Изучение правил порядка действий.
Цель работы на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся,
обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и
сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают
подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли действия
в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод.
Работа ведется в такой последовательности:
1. Рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без
скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо
только умножение и деление. Вывод: если в выражении без скобок указаны только
действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их
выполняют в том порядке, в каком они записаны (т. е. слева направо).
2. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида:
85-(46-14),60: (30-20), 90: (2*5). С такими выражениями учащиеся также
знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок
выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в
выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в
скобках.
3. Наиболее трудным является правило порядка выполнения действий в
выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени.
Вывод: порядок действий принят по договоренности: сначала выполняется
умножение, деление, затем сложение, вычитание слева на право.
4. Упражнения на вычисления значения выражений, когда ученику приходится
применять все изученные правила.
Ознакомление с тождественными преобразованиями выражений.
Тождественное преобразование выражения - это замена данного выражения
другим, значение которого равно значению заданного выражения.
Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства
арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к
числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.). При
изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях
определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения
при этом не изменяется (значение выражения не меняется при изменении порядка
действий только, в том случае, если при этом применяются свойства действий)
Ознакомление с буквенными выражениями.
Уже в I классе возникает необходимость введения символа, обозначающего
неизвестное число. В учебной и методической литературе с этой целью для
учащихся предлагались самые разнообразные знаки: многоточие, обведенная пустая
клетка, звездочки, вопросительный знак и т. п. Но так как все эти знаки полагается
использовать в другом назначении, то для записи неизвестного числа следует
использовать общепринятый для этих целей знак - букву. В дальнейшем буква как
математический символ используется в начальном обучении математике также для
записи обобщенных чисел, то есть когда имеются в виду не одно какое-либо целое
неотрицательное число, а любое число. Такая необходимость возникает, когда надо
выразить свойства арифметических действий. Буквы необходимы для обозначения
величин и записи формул, отражающих зависимости между величинами, для
обозначения точек, отрезков, вершин геометрических фигур.
В I классе учащиеся применяют букву с целью - обозначения неизвестного
искомого числа. Учащиеся знакомятся с написанием и чтением некоторых
латинских букв, применяя их сразу для записи примеров с неизвестным числом
(простейшие уравнения).
Учащимся показывается, как перевести на язык математических символов
задание, выраженное словесно: «К неизвестному числу прибавили 2 и получили 6.
Найти неизвестное число». Учитель объясняет, как записать эту задачу: обозначить
неизвестное число буквой х, затем показать при помощи знака +, что к неизвестному
числу прибавили 2 и получили число, равное 6, что и записать, используя знак
равенства: х + 2 = 6. Теперь надо выполнять действие вычитания, чтобы по сумме
двух слагаемых и одному из них найти другое слагаемое.
Основная работа с использованием буквы как математического символа
выполняется в последующих классах.
При введении буквенных выражений важную роль в системе упражнений
играет умелое комбинирование индуктивного и дедуктивного методов. В
соответствии с этим упражнения предусматривают переходы от числовых
выражений к буквенным и, обратно, от буквенных выражений к числовым.
а + b (а плюс b) также математическое выражение, только в нем слагаемые
обозначены буквами: каждая из букв обозначает любые числа.
Придавая буквам различные числовые значения, можно получить много,
сколько угодно числовых выражений.
Далее в связи с работой над выражениями раскрывается понятие постоянной. С
этой целью рассматриваются выражения, в которых постоянная величина
фиксируется с помощью цифр, например: a±12, 8±с. Здесь, как и на предыдущем
этапе, предусматриваются упражнения на переход от числовых выражений к
выражениям, записанным с помощью букв и цифр, и обратно.
Аналогично можно получить математические выражения вида: 17±п, к±30, а
позднее - выражения вида: 7*b, а: 8, 48:d.
Работа по вычислению значений буквенных выражений при различных
значениях букв, наблюдению за изменением результатов вычислений в зависимости
от изменения компонентов действий закладывает основы для формирования понятия
о переменной.
Рассматриваются упражнения на нахождение числовых значений выражений
при данных значениях буквы.
Далее буквы используются для записи в обобщенном виде ранее изученных на
конкретных числовых примерах свойств арифметических действий.
Учащиеся, выполняя специальные упражнения, овладевают следующими
умениями:
1. Записать при помощи букв свойства арифметических действий, связь между
компонентами и результатами арифметических действий.
2. Прочитать записанные с помощью букв свойства арифметических действий,
зависимости, отношения.
3. Выполнить тождественное преобразование выражения на основе знания
свойств арифметических действий.
4. Доказать справедливость заданных равенств или неравенств при помощи
числовой подстановки.
Использование буквенной символики способствует повышению уровня
обобщения знаний, приобретаемых учащимися начальных классов, и готовит их к
изучению систематического курса алгебры в следующих классах.
Равенства, неравенства.
В практике обучения в начальных классах числовые выражения с самого начала
рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равенствами и неравенствами.
В математике числовые равенства и неравенства делятся на истинные и
ложные. В начальных классах вместо этих терминов употребляют слова «верные» и
«неверные».
Задачи изучения равенств и неравенств в начальных классах заключаются в
том, чтобы научить учащихся практически оперировать равенствами и
неравенствами: сравнивать числа, сравнивать арифметические выражения, решать
простейшие неравенства с одним неизвестным, переходить от неравенства к
равенству и от равенства к неравенству.
Понятия о равенствах, неравенствах раскрываются во взаимосвязи. При
изучении, арифметического материала. Числовые равенства и неравенства
изучаются в результате сравнения заданных чисел или арифметических выражений.
Поэтому знаками «>», «<», « = » соединяются не любые два числа, не любые два
выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения.
Первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных
равенствах и неравенствах (не во всех программах).
Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств,
которое выполняется, с помощью установления взаимно однозначного соответствия.
Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», «<», « = »,
учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств.
Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также
нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе
сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по
десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел.
Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих
предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения
числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых
единицах измерения.
Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в
процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся упражняются в
сравнении выражения и числа (числа и выражения).
Выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к
операциям над множествами (подумай - поставь знак - объясни - проверь
вычислением).
Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сначала
выполняются вычисления, затем рассматриваются задания на основе рассуждений с
опорой на обобщение.
Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в
начальных классах.
Уравнения.
Подготовкой к ознакомлению учащихся с уравнениями является вся работа с
равенствами и неравенствами. Особое значение среди всех этих упражнений имеют
задания, при выполнении которых надо от неравенства перейти к равенству и
наоборот.
Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после того, как
они познакомились с зависимостью между компонентами сложения. Здесь учащийся
воспринимает уравнение как равенство, которое справедливо при определенном
значении пока неизвестного числа. Выдвигается требование - найти такое значение
буквы, обозначающей неизвестное. Чтобы составить уравнение, достаточно задание,
выраженное словесно, записать с помощью математических символов.
В соответствии с программой в начальных классах рассматриваются уравнения
первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х-3=10 + 5, х*(17-10)=70,
х:2+10 = 30.
Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на основе знания связи
между результатом и компонентами арифметических действий (т. е. знания способов
нахождения неизвестных компонентов). Найти неизвестное число (корень) - значит
решить уравнение.
С целью формирования умений решать уравнения предлагают разнообразные
упражнения:
1) Решите уравнения и выполните проверку.
2) Выполните проверку решенных уравнений, объясните ошибки в неверно
решенных уравнениях.
3) Составьте уравнения с числами х, 7, 10, решите и проверьте решение.
3) Из заданных уравнений выберите и решите те, в которых неизвестное число
находят вычитанием (делением).
4) Из заданных уравнений выпишите те, в которых неизвестное число равно 8.
5) Рассмотрите решение уравнения, определите, чем является неизвестное в
уравнении и вставьте пропущенный знак действия:
х...2=12
х…2=12
х=12:2
х=12+2
7)
Решите уравнения; сравните уравнения и их решения:
х+8=40
х*3 = 24
х-8=40
х: 3 = 24
После того как учащиеся освоят решение простейших уравнений, уравнения
усложняются в том отношении, что:
1) в правой части дается выражение: x+10=30-7;
2) один из компонентов задан выражением к + (18 - 15) = 24;
3) один из компонентов задан выражением, причем в него входит неизвестное
(73 - b) + 31 = 85
Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в
выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений.
Далее вводятся уравнения, содержащие действия первой и второй ступени.
Для овладения приемом решения этих уравнений в начальных классах
учащемуся необходимо в первую очередь научиться левую часть представить в виде
двух компонентов, в результате действий с которыми была получена правая часть, и
разобрать состав каждого компонента.
При обучении решения уравнений важно вырабатывать навык проверки его
корня, то есть найденного значения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение
вместо буквы подставить ее значение, отдельно вычислить левую и правую части и
сравнить полученные результаты. Отношение равенства этих результатов является
основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет условиям
уравнения.
Решение задач с помощью уравнений.
Чтобы понять роль решения задач с помощью уравнений, рассмотрим сначала,
в чем суть этого способа. Пусть надо решить путем составления уравнения задачу:
«На экскурсию поехало 28 мальчиков и несколько девочек. Все они разместились в
двух автобусах, по 25 человек в каждом. Сколько девочек отправилось на
экскурсию?»
Обозначим число девочек, которые отправились на экскурсию, какой-либо
буквой, например х.
Для составления равенства можно выделить различные связи, в соответствии с
которыми можно составить выражения и, приравняв их, получить уравнение:
а)
В условии задачи сказано, что все мальчики и девочки поехали в
автобусах, значит, можно выразить, сколько мальчиков и девочек поехало на
экскурсию (28+x) и сколько мальчиков и девочек разместилось в автобусах (25*2), а
затем приравнять эти выражения; тогда получится уравнение 28+x=25*2; решив это
уравнение, получим ответ на вопрос задачи.
б)
В условии задачи сказано, что в каждом автобусе разместилось по 25
человек, значит, можно выразить число экскурсантов в каждом автобусе через
другие числа и приравнять полученное выражение к числу 25, тогда получится
уравнение (28+х): 2 = 25.
Можно, рассуждая аналогичным образом, составить и другие уравнения.
Для решения задачи с помощью составления уравнений обозначают буквой
искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить
равенство, содержащее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие
выражения и составляют равенство. Полученное уравнение решают. При этом
решение полученного уравнения не связывается с содержанием задачи. Решение
любой задачи можно выполнить путем составления уравнения, руководствуясь
указанным планом. В этом заключается универсальность способа решения задач с
помощью составления уравнений, что определяет его преимущества. Кроме того,
как видно, решение задач способом составления уравнений способствует овладению
понятием уравнения. Поэтому уже в начальных классах в определенной системе
ведется обучение решению задач путем составления уравнений.
В методике обучения решению задач с помощью составления уравнений
предусматриваются следующие этапы: сначала ведется подготовительная работа к
решению задач с помощью уравнений, затем вводится решение простых задач с
помощью уравнений и, наконец, рассматриваются приемы составления уравнений
при решении составных задач. Алгебра заменяет
численные значения количественных
характеристик множеств или величин
буквенной символикой. В общем виде
алгебра также заменяет знаки конкретных
действий (сложения, умножения и т. п.)
обобщенными символами алгебраических
операций и рассматривает не конкретные
результаты этих операции (ответы), а
их свойства. Методически
считается, что основная роль элементов
алгебры в курсе начальных классов
состоит математики в том, чтобы
способствовать формированию обобщенных
представлений детей о понятии «количество»
и смысле арифметических действий. На сегодня
наблюдаются две кардинально противоположные
тенденции в определении объема содержания
алгебраического материала в курсе
математики начальной школы. Одна
тенденция связана с ранней алгебраизацией
курса математики начальных классов, с
насыщением его алгебраическим материалом
уже с первого класса; другая тенденция
связана с введением алгебраического
материала в курс математики для начальной
школы на его завершающем этапе, в конце
4 класса. Представителями первой тенденции
можно считать авторов альтернативных
учебников системы Л.В. Занкова (И.И.
Аргинская), системы В.В. Давыдова (Э.Н.
Александрова, Г.Г. Микулина и др.), системы
«Школа 2100» (Л.Г. Петерсон), системы «Школа
XXI
века» (В.Н. Рудницкая). Представителем
второй тенденции можно считать автора
альтернативного учебника системы
«Гармония» Н.Б. Истомину. Учебник традиционной
школы можно считать представителем
«серединных» взглядов - он содержит
достаточно много алгебраического
материала, поскольку ориентирован на
использование учебника математики Н.Я.
Виленкина в 5-6 классах средней школы,
но знакомит детей с алгебраическими
понятиями начиная со 2 класса, распределяя
материал на три года, и за последние 20
лет практически не расширяет список
алгебраических понятий. Обязательный
минимум содержания образования по
математике для начальных классов
(последняя редакция 2001 г.) не содержит
алгебраического материала. Не упоминают
умений выпускников начальной школы
работать с алгебраическими понятиями
и требования к уровню их подготовки по
завершении обучения в начальных классах. Последовательность
букв и чисел, соединенных знаками
действий, называют математическим
выражением. Следует отличать
математическое выражение от равенства
и неравенства, которые используют в
записи знаки равенства и неравенства. Например: 3 + 2 - математическое
выражение; 7 - 5; 5 6 - 20; 64: 8 +
2 - математические выражения; а + b;
7 - с; 23 - а 4 - математические выражения. Запись вида 3 + 4 =
7 не является математическим выражением,
это равенство. Запись вида 5 < 6
или 3 + а > 7 - не являются математическими
выражениями, это неравенства.
Математические
выражения, содержащие только числа и
знаки действий называют числовыми
выражениями. В 1 классе
рассматриваемый учебник не использует
данные понятия. С числовым выражением
в явном виде (с названием) дети знакомятся
во 2 классе. Простейшие числовые
выражения содержат только знаки сложения
и вычитания, например: 30 - 5 + 7; 45 + 3; 8 - 2 -
1 и т. п. Выполнив указанные действия,
получим значение выражения. Например:
30 - 5 + 7 = 32, где 32 - значение выражения. Некоторые выражения,
с которыми дети знакомятся в курсе
математики начальных классов, имеют
собственные названия: 4 + 5 - сумма; 6 - 5 - разность; 7 6 - произведение;
63: 7 - частное. Эти выражения
имеют названия для каждого компонента:
компоненты суммы - слагаемые; компоненты
разности - уменьшаемое и вычитаемое;
компоненты произведения - множители;
компоненты деления - делимое и делитель.
Названия значений этих выражений
совпадают с названием выражения,
например: значение суммы называют
«сумма»; значение частного называют
«частное» и т. п. Следующий вид
числовых выражений - выражения,
содержащие действия первой ступени
(сложение и вычитание) и скобки. С ними
дети знакомятся в 1 классе. С этим видом
выражений связано правило порядка
выполнения действий в выражениях со
скобками: действия в скобках выполняются
первыми. Далее следуют
числовые выражения, содержащие действия
двух ступеней без скобок (сложение,
вычитание, умножение и деление). С этим
видом выражений связано правило порядка
выполнения действий в выражениях,
содержащих все арифметические действия
без скобок: действия умножения и деления
выполняются раньше, чем сложение и
вычитание.
Последний вид
числовых выражений - выражения,
содержащие действия двух ступеней со
скобками. С этим видом выражений связано
правило порядка выполнения действий в
выражениях, содержащих все арифметические
действия и скобки: действия в скобках
выполняются первыми, затем выполняются
действия умножения и деления, затем
действия сложения и вычитания. 1.1.
Общие вопросы методики изучения
алгебраического материала. 1.2.
Методика изучения числовых выражений. 1.3.
Изучение буквенных выражений. 1.4.
Изучение числовых равенств и неравенств. 1.5.
Методика изучения уравнений. 1.6.
Решение простых арифметических задач
с помощью составления уравнений. Введение
алгебраического материала в начальный
курс математики позволяет подготовить
учащихся к изучению основных понятий
современной математики (переменная,
уравнение, равенство, неравенство и
др.), способствует обобщению арифметических
знаний, формированию у детей
функционального мышления. Учащиеся
начальных классов должны получить
первоначальные сведения о математических
выражениях, числовых равенствах и
неравенствах, научиться решать уравнения,
предусмотренные учебной программой и
простые арифметические задачи с
помощью составления уравнения
(теоретическая основа выбора
арифметического действия в которых
связь между компонентами и результатом
соответствующего арифметического
действия0. Изучение
алгебраического материала ведётся в
тесной связи с арифметическим материалом. В
математике под выражением понимают
построенную по определённым правилам
последовательность математических
символов, обозначающих числа и действия
над ними. Выражения
вида: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - числовые выражения;
вида: 8-а; 30:в; 5+(3+с) - буквенные выражения
(выражения с переменной). Задачи
изучения темы
2)
Ознакомить учащихся с правилами порядка
выполнения арифметических действий. 3)
Научить находить числовые значения
выражений. 4)
Ознакомить с тождественными
преобразованиями выражений на основе
свойств арифметических действий. Решение
поставленных задач осуществляется на
протяжении всех лет обучения в
начальных классах, начиная с первых
дней пребывания ребёнка в школе. В
методике работы над числовыми выражениями
предусматривается три этапа: на первом
этапе - формирование понятий о простейших
выражениях (сумма, разность, произведение,
частное двух чисел); на втором этапе -
о выражениях, содержащих два и более
арифметических действия одной ступени;
на третьем этапе - о выражениях, содержащих
два и более арифметических действия
разных ступеней. С
простейшими выражениями - суммой и
разностью - учащихся знакомят в первом
классе (по программе 1-4) с произведением
и частным - во втором классе (с термином
«произведение» - во 2 классе, с термином
«частное» - в третьем классе). Рассмотрим
методику изучения числовых выражений. Выполняя
операции над множествами, дети, прежде
всего, усваивают конкретный смысл
сложения и вычитания, поэтому в записях
вида 3+2, 7-1 знаки действий осознаются
ими как краткое обозначение слов
«прибавить», «вычесть» (к 3 прибавить
2). В дальнейшем понятия о действиях
углубляются: учащиеся узнают, что,
прибавляя (вычитая) несколько единиц,
мы увеличиваем (уменьшаем) число на
столько же единиц (чтение: 3 увеличить
на 2), затем дети узнают название знаков
действий «плюс» (чтение: 3 плюс 2),
«минус». В
теме «Сложение и вычитание в пределах
20» детей знакомят с понятиями «сумма»,
«разность» как названиями математических
выражений и как названием результата
арифметических действий сложения и
вычитания. Рассмотрим
фрагмент урока (2 кл.). На
доску с помощью воды прикрепить 4 красных
и 3 жёлтых круга: ОООО
ООО Сколько красных кругов? (Записать число
4.) Сколько жёлтых кругов? (Записать число
3.) Какое действие над записанными числами
3 и 4 нужно выполнить, чтобы узнать,
сколько красных и сколько жёлтых кругов
вместе? (появляется запись: 4+3). Скажите, не считая, сколько всего
кругов? Такое выражение в математике, когда
между числами стоит знак «+», называют
суммой (Скажем вместе: сумма) и читают
так: сумма четырёх и трёх. А теперь узнаем, чему же равна сумма
чисел 4 и 3 (даём полный ответ). Аналогично
про разность. При
изучении сложения и вычитания в пределах
10 включаются выражения, состоящие из
3 и более чисел, соединённых одинаковыми
и разными знаками арифметических
действий: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 и т.д. Раскрывая
смысл таких выражений, учитель показывает
способ их чтения. Вычисляя значения
этих выражений, дети практически
овладевают правилом о порядке
арифметических действий в выражениях
без скобок, хотя и не формулируют его:
10-3+2=7+2=9. Такие записи являются первым
шагом в выполнении тождественных
преобразований. Методика
ознакомления с выражениями со скобками
может быть различной (Описать в тетради
фрагмент урока, подготовиться к
проведению на практических занятиях). Умение
составлять и находить значение
выражения используется детьми при
решении арифметических задач, вместе
с тем здесь происходит дальнейшее
овладение понятием «выражение»,
усваивается конкретный смысл выражений
в записях решения задач. Представляет
интерес вид работы, предложенный
латвийским методистом Я.Я. Менцисом. Даётся
текст, например, такой: «У мальчика было
24 р., пирожное стоит 6 р., конфета 2 р.»,
предлагается: а)
составить все виды выражений по этому
тексту и объяснить, что они показывают; б)
объяснить, что показывают выражения: 2
кл. 3 кл. 24-2
24-(6+2) 24:6 24-6 3 В
3 классе наряду с выражениями,
рассмотренными ранее, включают
выражения, состоящие из двух простых
выражений (37+6)-(42+1), а также состоящие
из числа и произведения или частного
двух чисел. Например: 75-50:25+2. Там, где
порядок выполнения действий не совпадает
с порядком их записи, используют скобки:
16-6:(8-5). Дети должны научиться правильно
читать и записывать эти выражения,
находить их значения. Термины
«выражение», «значение выражения»
вводятся без определений. Для того,
чтобы детям облегчить работу по чтению
и нахождению значения сложных выражений,
методисты рекомендуют использовать
схему, которая составляется коллективно
и используется при чтении выражений: 1)
Установлю, какое действие выполняется
последним. 2)
Подумаю, как называются числа при
выполнении это действия. 3)
Прочитаю, чем выражены эти числа. Правила
порядка выполнения действий в сложных
выражениях изучаются в 3 классе, но
практически некоторые из них дети
используют в первом и втором классах. Первым
рассматривается правило о порядке
выполнения действий в выражениях без
скобок, когда над числами производят
либо только сложение и вычитание, либо
умножение и деление (3 кл.). Цель работы
на данном этапе - опираясь на практические
умения учащихся, приобретённые ранее,
обратить внимание на порядок выполнения
действий в таких выражениях и
сформулировать правило. Подведение
детей к формулировке правила, осознание
его может быть различным. Главная опора
на имеющийся опыт, максимально возможная
самостоятельность, создание ситуации
поиска и открытия, доказательности. Можно
использовать методический приём Ш.А.
Амонашвили «ошибка учителя». Например.
Учитель сообщает, что при нахождении
значения следующих выражений у него
получились ответы, в правильности
которых он уверен (ответы закрыты). 36:2 6=6
и т.д. Предлагает
детям самим найти значения выражений,
а затем сопоставить ответы с ответами,
полученными учителем (к этому моменту
результаты арифметических действий
открываются). Дети доказывают, что
учителем допущены ошибки и на основе
изучения частных фактов формулируют
правило (см. учебник математики, 3 кл.). Аналогично
можно ввести остальные правила порядка
выполнения действий: когда в выражениях
без скобок содержатся действия 1 и 2
ступени, в выражениях со скобками.
Важно, чтобы дети осознали, что изменение
порядка выполнения арифметических
действий приводит к изменению
результата, в связи с чем математики
решили договориться и сформулировали
правила, которые необходимо строго
соблюдать. Преобразование
выражения - замена данного выражения
другим с тем же числовым значением.
Учащиеся выполняют такие преобразования
выражений, опираясь на свойства
арифметических действий и следствия
из них (,с.249-250). При
изучении каждого свойства учащиеся
убеждаются в том, что в выражениях
определенного вида можно выполнять
действия по-разному, но значение
выражения при этом
не
изменяется. В дальнейшем знания
свойств действий учащиеся применяют
для преобразования заданных выражений
в тождественные выражения. Например,
предлагаются задания вида: продолжить
запись так, чтобы знак « = » сохранился: 76-(20
+ 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5... 60:
(2 10) =60:10... Выполняя
первое задание, учащиеся рассуждают
так: слева из 76 вычитают сумму чисел 20
и 4,
справа
из 76 вычли 20; чтобы справа получилось
столько же, сколько слева, надо справа
еще вычесть 4. Аналогично преобразуются
другие выражения, т. е., прочитаввыражение,
ученик вспоминает соответствующее
правило. И, выполняя действия по правилу,
получает преобразованное выражение.
Чтобы убедиться в правильности
преобразования, дети вычисляют значения
заданного и преобразованного
выражений и сравнивают их. Применяя
знания свойств действий для обоснования
приемов вычислений, учащиеся I-IV
классов выполняют преобразования
выражений вида: 72:3=
(60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 1830=
18(310)
= (183)
10=540 Здесь
также необходимо, чтобы учащиеся не
только поясняли, на основе чего
получают каждое последующее выражение,
но и понимали, что все эти выражения
соединены знаком « = », потому что имеют
одинаковые значения. Для этого изредка
следует предлагать детям вычислять
значения выражений и cpавнивать
их. Это предупреждает ошибки вида: 75 -
30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24 12= (10 + 2) =24 10+24 2 = 288. Учащиеся
II-IV
классов выполняют преобразование
выражений не только на основе свойств
действии, но и на основе их конкретного
смысла. Например, сумму одинаковых
слагаемых заменяют произведением:
(6+ 6 + 6 = 6 3, и наоборот: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9).
Опираясь также на смысл действия
умножения, преобразуют более сложные
выражения: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7=7 5. На
основе вычислений и анализа специально
подобранных выражений учащихся IV
класса подводят к выводу о том, что если
в выражениях со скобками скобки не
влияют на порядок действий, то их можно
не ставить. В дальнейшем, используя
изученные свойства действий и правила
порядка действий, учащиеся упражняются
в преобразовании выражений со скобками
в тождественные им выражения без
скобок. Например, предлагается записать
данные выражения без скобок так, чтобы
их значения не изменились: (65
+ 30)-20 (20 + 4) 3 96
- (16 + 30) (40 + 24): 4 Так,
первое из заданных выражений дети
заменяют выражениями: 65 + 30-20, 65-20+30,
поясняя порядок выполнения действий
в них. Таким образом, учащиеся убеждаются,
что значение выражения не меняется при
изменении порядка действий только
в том случае, если при этом применяются
свойства действий. В «Обязательном минимуме содержания начального образования» по образовательной области «Математика» изучение алгебраического материала, как это было ранее, не выделено в качестве отдельной дидактической единицы подлежащей обязательному изучению. В данной части документа кратко отмечено, что необходимо «дать знания о числовых и буквенных выражениях, их значениях и различиях между этими выражениями». В «Требованиях к качеству подготовки выпускников» можно лишь найти короткую фразу неопределенного смысла «научить вычислять неизвестный компонент арифметического действия». Вопрос о том, как научить «вычислять неизвестный компонент» должен решать автор программы или технологии обучения. Рассмотрим, как характеризуются понятия «выражение», «равенство», «неравенство», «уравнение» и какова методика их изучения в различных методическихсистемах обучения 7.1. Выражения и их виды … начальной школы
Выражением
называют математическую запись, состоящую из чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных знаками арифметических действий. Отдельно взятое число есть также выражение. Выражение, в котором все числа обозначены цифрами, называют числовым выражением
. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, то получим число, которое называют значением выражения.
Выражения можно классифицировать по числу арифметических действий, которые используются при записи выражений, и по способу обозначения чисел. По первому основанию выражения разбиваются на группы: элементарных (не содержащих знака арифметического действия), простых (один знак арифметического действия) и составных (более одного знака арифметических действий) выражений. По второму основанию различают числовые (числа записаны цифрами) и буквенные (хотя бы одно число или все числа обозначены буквами) выражения. Математическую запись, которую в математике принято называть выражением, необходимо отличать от других видов записей. Примером или вычислительным упражнением
называют запись выражения вместе с требованием к его вычислению. 5+3 выражение, 8- его значение 5+3= вычислительное упражнение (пример), 8- результат вычислительного упражнения (примера) В зависимости от знака арифметического действия, который используется в записи простого выражения, простые выражения разбивают на группы выражений со знаком «+,», «-», « », «:». Эти выражения имеют особые названия (2 + 3 — сумма; 7 — 4 – разность; 7 × 2 – произведение; 6: 3 — частное) и общепринятые способы чтения, с которыми знакомятся учащиеся начальной школы. Способы чтения выражений со знаком «+»: 25+17 – 25 плюс 17 25+17 – к 25-ти прибавить 17 25+17 – 25 да 17 25+17 – 25 и еще 17. 25+17 – сумма чисел двадцать пять и семнадцать (сумма 25-ти и 17-ти) 25+17 – 25 увеличить на 17 25+17 – 1-ое слагаемое 25, 2-ое слагаемое 17
С записью простых выражений дети знакомятся по мере того, как вводится соответствующее математическое действие. Например, знакомство с действием сложения сопровождается записью выражения на сложение 2 + 1, здесь же даются образцы первых форм чтения этих выражений: «к двум прибавить один», «два и один», «два да один», «два плюс один». Другие формулировки вводятся по мере знакомства детей с соответствующими понятиями. Изучая название компонентов действий и их результатов, дети учатся читать выражение, используя эти названия (первое слагаемое 25, второе 17 или сумма 25-ти и 17-ти). Знакомство с понятиями «увеличить на…», «уменьшить на…» позволяет ввести новую формулировку для чтения выражений на сложение и вычитание с этими терминами «двадцать пять увеличить на семнадцать», «двадцать пять уменьшить на семнадцать». Так же поступают с остальными видами простых выражений. С понятиями «выражение», «значение выражения» в ряде образовательных систем («Школа России» и «Гармония») дети знакомятся несколько позже, чем научатся их записывать, вычислять и читать не всеми, но многими формулировками. В других программах и системах обучения (система Л.В. Занкова, «Школа 2000…», «Школа 2100») эти математические записи сразу называют выражениями и используют это слово в вычислительных заданиях. Обучая детей читать выражения различными формулировками, мы вводим их в мир математических терминов, даем возможность познать математический язык, отрабатываем смысл математических отношений, что, несомненно, повышает математическую культуру ученика, способствует осознанному усвоению многих математических понятий. Ø Прием «делай как я». Правильная речь учителя, за которым дети повторяют формулировки, — основа грамотной математической речи школьников. Значительный эффект дает использование приема сравнения формулировок, которые произносят дети, с заданным образцом. Полезно использовать прием, когда учитель специально допускает речевые ошибки, а дети его исправляют. Ø Дать несколько выражений и предложить прочитать эти выражения разными способами. Один ученик читает выражение, а другие проверяют. Полезно давать столько выражений, сколько формулировок знают дети к этому времени. Ø Учитель диктует выражения разными способами, а дети записывают сами выражения, не вычисляя их значения. Такие задания направлены на то, чтобы проверить знание детьми математической терминологии, а именно: умение записывать выражения или вычислительные упражнения, прочтенные разными математическими формулировками. Если ставится задача, предусматривающая проверку сформированности вычислительного навыка полезно читать выражения или вычислительные упражнения только теми формулировками, которые хорошо усвоены, не заботясь об их разнообразии, а детям предложить записывать только результаты вычислений, сами выражения можно не записывать. Выражение, состоящее из нескольких простых, называют составным.
Следовательно, существенным признаком составного выражения является его составленность из простых выражений. Знакомство с составным выражением можно осуществить по следующему плану: 1. Дать простое выражение и вычислить его значение (7 + 2 = 9), назвать его первым или данным. 2. Составить второе выражение так, чтобы значение первого стало компонентом второго (9 — 3), назвать это выражение продолжением для первого. Вычислить значение второго выражения(9 – 3 = 6). 3. Проиллюстрировать процесс слияния первого и второго выражений, опираясь на пособие. Пособие представляет собой прямоугольный лист бумаги, который разделен на 5 частей и сложен в виде гармошки. На каждой части пособия имеются определенные записи: Скрывая вторую и третью части данного пособия (из первого выражения скрываем требование к его вычислению и его значение, а во втором скрываем ответ на вопрос первого), получаем составное выражение и его значение (7 + 2 -3 = 6). Даем ему название – составное (составлено из других). Иллюстрируем процесс слияния других пар выражений или вычислительных упражнений, подчеркивая: ü объединить в составное можно лишь такую пару выражений, когда значение одного из них является компонентом другого; ü значение выражения продолжения совпадает со значением составного выражения. Закрепляя понятие составного выражения полезно выполнять задания двух видов. 1 вид. Дана совокупность простых выражений, необходимо выделить из них пары, для которых верно отношение «значение одного из них является компонентом другого». Составить из каждой пары простых выражений одно составное выражение. 2 вид. Дано составное выражение. Необходимо записать простые выражения, из которых оно составлено. Описанный прием полезно использовать по нескольким причинам: § по аналогии можно ввести понятие составной задачи; § ярче выделяется существенный признак составного выражения; § предупреждаются ошибки при вычислении значений составных выражений; § данный прием позволяет проиллюстрировать роль скобок в составных выражениях. Составные выражения, содержащие знаки «+», «-» и скобки, изучаются с первого класса. В некоторых системах обучения («Школа России», «Гармония», «Школа 2000») не предусматривается изучение скобок в первом классе. Их вводят во втором классе при изучении свойств арифметических действий (сочетательное свойство суммы). Скобки вводятся как знаки, с помощью которых в математике можно показать порядок выполнения действий в выражениях содержащих более одного действия. В дальнейшем дети знакомятся с составными выражениями, содержащими действия первой и второй ступеней со скобками и без них. Изучение составных выражений сопровождается изучением правил порядка действий в этих выражениях и способов чтения составных выражений. Значительное внимание во всех программах уделяется преобразованию выражений, которые осуществляются на основании сочетательного свойства суммы и произведения, правил вычитания числа из суммы и суммы из числа, умножения суммы на число и деления суммы на число. На наш взгляд, в отдельных программах, недостаточно упражнений направленных на формирование умения читать составные выражения, что, естественно, позже сказывается на умении решать уравнения вторым способом (см. ниже). В последних изданиях учебно-методических комплексов по математике для начальных классов по всем программам большое внимание уделяется заданиям на составление программ и алгоритмов вычислений для составных выражений в три — девять действий. Выражения
, в которых одно число или все числа обозначены буквами, называютбуквенными
(а
+ 6; (а
+в
)×с
– буквенные выражения). Пропедевтикой к введению буквенных выражений являются выражения, где одно из чисел заменяется точками или пустым квадратом. Называют эту запись выражением «с окошком» (+4 – выражение с окошком). Типичными заданиями, содержащими буквенные выражения, являются задания на нахождение значений выражений при условии, что буква принимает различные значения из заданного перечня значений. (Вычисли значения выражений а
+ в
и а
— в
, если а
= 42, в
= 90 или а
= 100, в
= 230). Для вычисления значений буквенных выражений заданные значения переменных поочередно подставляют в выражения и далее работают как с числовыми выражениями. Буквенные выражения могут использоваться для введения обобщенных записей свойств арифметических действий, формируют представления о возможности переменных значений компонентов действий и позволяют подвести детей к центральному математическому понятию «переменная величина». Кроме того, с помощью буквенных выражений дети осознают свойства существования значений суммы, разности, произведения, частного на множестве целых неотрицательных чисел. Так, в выражении а
+ в
при любых значениях переменных а
и в
можно вычислить значение суммы, а значение выражения а
— в
, на указанном множестве можно вычислить только в том случае, если в
меньше или равно а
. Анализируя задания, направленные на установление возможных ограничений для значений а
и в
в выражениях а
в
и а
: в
, дети устанавливают свойства существования значения произведения и значения частного в адаптированном к возрасту виде. Буквенная символика используется в качестве средства обобщения знаний и представлений детей о количественных характеристиках объектов окружающего мира и о свойствах арифметических действий. Обобщающая роль буквенной символики делает ее очень сильным аппаратом для формирования обобщенных представлений и способов действий с математическим содержанием, что, несомненно, повышает возможности математики в развитии и формировании абстрактных форм мышления. 7.2. Изучение равенств и неравенств в курсе
математики начальных классов
Сравнение чисел и/или выражений приводит к появлению новых математических понятий «равенство» и «неравенство». Равенством
называют запись, содержащую два выражения соединенные знаком «=» — равно (3 = 1 + 2; 8 + 2 =7 + 3 — равенства). Неравенством
называют запись, содержащую два выражения и знак сравнения, указывающий на отношения «больше» или «меньше» между данными выражениями (3 < 5; 2+4 > 2+3 — неравенства). Равенства и неравенства бывают верными и неверными
. Если значения выражений, стоящих в левой и правой части равенства, совпадают, то равенство считается верным, если нет, то равенство будет неверным. Соответственно: если в записи неравенства знак сравнения правильно указывает на отношения между числами (элементарными выражениями) или значениями выражений, то неравенство верно, в противном случае, неравенство неверно. Большинство заданий в математике связано с вычислением значений выражений. Если значение выражения найдено, то выражение и его значение можно соединить знаком «равно», что принято записывать в виде равенства: 3+1=4. Если значение выражения вычислили верно, то равенство называют верным, если неверно, то записанное равенство считают неверным. С равенствами дети знакомятся в первом классе одновременно с понятием «выражение» в теме «Числа первого десятка». Осваивая символическую модель образования последующего и предыдущего числа, дети записывают равенства 2 + 1 = 3 и 4 – 1 = 3. В дальнейшем равенства активно используются при изучении состава однозначных чисел и далее с этим понятием связано изучение практически каждой темы в курсе математики начальной школы. Вопрос о введении понятий «верное» и «неверное» равенства в различных программах решается неоднозначно. В системе «Школа 2000…» это понятие вводят одновременно с записью равенства, в системе «Школа России» — при изучении темы «Состав однозначных чисел» в записях равенств «с окошком» (+3 = 5; 3 + = 5). Подбирая число, которое можно вставить в окошко, дети убеждаются в том, что в одних случаях получаются верные, а в других неверные равенства. Следует заметить, что данные математические записи с одной стороны позволяют закрепить состав чисел или другой вычислительный материал по теме урока, с другой, формируют представление о переменной величине и являются подготовкой к усвоению понятия «уравнение». Во всех программах наиболее часто используются два вида заданий, связанных с понятиями равенства и неравенства, верные и неверные равенства и неравенства: · Даны числа или выражения, нужно между ними поставить знак так, чтобы запись была верной. Например, «Поставь знаки: «<», «>», «=» 7-5 … 7-3; 6+4 … 6+3». · Даны записи со знаком сравнения, надо подставить вместо окошка такие числа, чтобы получилось верное равенство или неравенство. Например, «Подбери числа так, чтобы записи были верными: > ; или +2 < +3». Если сравниваются два числа, то выбор знака дети обосновывают, опираясь на принцип построения ряда натуральных чисел, значность числа или его состав. Сравнивая два числовых выражения или выражение с числом, дети вычисляют значения выражений, а затем сравнивают их значения, т. е. сводят сравнение выражений к сравнению чисел. В образовательной системе «Школа России» этот способ дается в виде правила: «Сравнить два выражения – значит, сравнить их значения». Этот же набор действий дети выполняют для проверки правильности выполненного сравнения. «Проверь, верны ли неравенства: 42 + 6 > 47; 47 — 5 > 47 — 4». Наибольший развивающий эффект имеют задания, требующие поставить знак сравнения (или проверить верно ли поставлен знак сравнения) не вычисляя значений выражений данных в левой и правой частях неравенства (равенства). В этом случае дети должны поставить знак сравнения, опираясь на выявленные математические закономерности. Форма предъявления задания и способы оформления его выполнения варьируется как в рамках одной программы, так и в различных программах. Традиционно при решении неравенств с переменной
использовалось два способа: способ подбора и способ сведения к равенству. Первый способ
называют способом подбора, что вполне отражает действия производимые ребенком при его использовании. При этом способе значение неизвестного числа подбирается либо из произвольного множества чисел, либо из заданной их совокупности. После каждого выбора значения переменной (неизвестного числа) осуществляется проверка правильности выбора. Для этого в заданное неравенство вместо неизвестного числа подставляется найденное значение. Вычисляется значение левой и правой части неравенства (значение одной из частей может быть элементарным выражением, т.е. числом), а затем, сравнивается значение левой и правой части полученного неравенства. Все эти действия могут выполняться устно или с записью промежуточных вычислений. Второй способ
заключается в том, что в записи неравенства вместо знака «<» или «>» ставят знак равенства и решают равенство известным детям способом. Затем, проводятся рассуждения, при которых используются знания детей об изменении результата действия в зависимости от изменения одного из его компонентов и определяются допустимые значения переменной. Например, «Определи, какие значения может принимать а
в неравенстве 12 — а
< 7». Решение и образец рассуждений: · Найдем значение а
, если 12 – а
= 7 · Вычисляю, применяя правило нахождения неизвестного вычитаемого: а
= 12 — 7, а
= 5. · Уточняю ответ: при а
равном 5-ти («корень уравнения равен 5-ти» в системе Занкова и «Школа 2000…») значение выражения 12 — 5 равно 7, а нам нужно найти такие значения этого выражения, которые бы были меньше 7-ми, значит надо из 12 вычитать числа большие пяти. Это могут быть числа 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.(чем большее число мы вычитаем из одного и того же числа, тем меньше значение разности). Значит, а
= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Значения большие 12-ти переменная а
принимать не может, так как большее число из меньшего вычитать нельзя (мы не умеем, если не вводятся отрицательные числа). Пример подобного задания из учебника 3 класса (1-4), авторы: И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская : № 224. «Реши неравенства, используя решение соответствующих уравнений: к
— 37 < 29, 75 — с
> 48, а
+ 44 < 91. Проверь свои решения: подставь в каждое неравенство несколько чисел, больших и меньших корня соответствующего уравнения. Составь свои неравенства с неизвестными числами, реши их и проверь найденные решения. Предложи свое продолжение задания». Надо отметить, что ряд технологий и программ обучения, усиливая логическую составляющую и значительно превышая стандартные требования к содержанию математического образования в начальных классах, вводят понятия: Ø переменная величина, значение переменной; Ø понятие «высказывание» (верные и неверные утверждения называют высказыванием (М3П) ), «истинные и ложные высказывания»; Ø рассматривают системы уравнений (И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская). 7.3. Изучение уравнений в курсе математики
начальных классов
Равенство, содержащее переменную величину, называют уравнением.
Решить уравнение — значит, найти такое значение переменной величины (неизвестного числа), при котором уравнение преобразуется в верное числовое равенство. Значение переменной, при котором уравнение преобразуется в верное равенство, называют корнем уравнения. В некоторых образовательных системах («Школа России» и «Гармония») введение понятия «переменной» не предусматривается. В них уравнение трактуется как равенство, содержащее неизвестное число. И далее, решить уравнение, значит, найти такое число, при подстановке которого вместо неизвестного получается верное равенство. Это число называют значением неизвестного или решением уравнения. Таким образом, термин «решение уравнения» используется в двух смыслах: как число (корень), при подстановке которого вместо неизвестного числа уравнение обращается в верное равенство, и как сам процесс решения уравнения. В большинстве программ и систем обучения в начальной школе рассматривают два способа решения уравнений. Первый способ
называют способом подбора, что вполне отражает действия производимые ребенком при его использовании. При этом способе значение неизвестного числа подбирается либо из произвольного множества чисел, либо из заданной их совокупности. После каждого выбора значения осуществляется проверка правильности решения. Сущность проверки вытекает из определения уравнения и сводится к выполнению четырех взаимосвязанных действий: 1. В заданное уравнение вместо неизвестного числа подставляется найденное значение. 2. Вычисляется значение левой и правой части уравнения (значение одной из частей может быть элементарным выражением, т.е. числом). 3. Сравнивается значение левой и правой части полученного равенства. 4. Делается вывод о верности или неверности полученного равенства и далее, является ли найденное число решением (корнем) уравнения. На первых порах выполняется только первое действие, а остальные проговариваются. Этот алгоритм проверки сохраняется для каждого способа решения уравнения. Ряд систем обучения («Школа 2000», система обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова) для решения простых уравнений используют зависимость между частью и целым. 8 + х
=10; 8 и х —
части; 10 – целое. Чтобы найти часть можно из целого вычесть известную часть: х
= 10 — 8; х
= 2. В этих системах обучения, еще на этапе решения уравнений способом подбора в речевую практику вводится понятие «корень уравнения» и сам способ решения называют решением уравнения с помощью «подбора корней». Второй способ
решения уравнения опирается на зависимость между результатом и компонентами действия. Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из компонентов. Например, зависимость между значением суммы и одним из слагаемых звучит так: «если из значения суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое». Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из слагаемых: «чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из значения суммы вычесть известное слагаемое». Решая уравнение, дети рассуждают так: Задание: Реши уравнение 8 + х
= 11. В данном уравнении неизвестно второе слагаемое. Мы знаем, чтобы найти второе слагаемое нужно из значения суммы вычесть первое слагаемое. Значит, надо из 11 вычесть 8. Записываю: х
= 11 – 8. Вычисляю, 11 минус 8 равно 3, пишу х
= 3. Полная запись решения с проверкой будет иметь следующий вид: 8 + х
= 11 х
= 11 — 8 х
= 3
Названным выше способом решаются уравнения с двумя и более действиями со скобками и без них. В этом случае нужно определить порядок действий в составном выражении и, называя компоненты в составном выражении по последнему действию, следует выделить неизвестное, которое в свою очередь может быть выражением на сложение, вычитание, умножение или деление (выражено суммой, разностью, произведением или частным). Затем применяют правило для нахождения неизвестного компонента, выраженного суммой, разностью, произведением или частным, учитывая названия компонентов по последнему действию в составном выражении. Выполнив вычисления в соответствии с этим правилом, получают простое уравнение (или снова составное, если первоначально в выражении было три или более знаков действий). Его решение проводится по уже описанному выше алгоритму. Рассмотрим следующее задание. Реши уравнение (х
+ 2) : 3 = 8. В данном уравнении неизвестно делимое, выраженное суммой чисел х
и 2. (В соответствии с правилами порядка действий в выражении, действие деления выполняют последним). Чтобы найти неизвестное делимое, можно значение частного умножить на делитель: х
+ 2 = 8 × 3 Вычисляем значение выражения справа от знака равенства, получаем: х
+ 2 = 24. Полная запись имеет вид: (х
+ 2) : 3 = 8 х
+ 2 = 8 × 3 х
+ 2 = 24 х
= 24 — 2 Проверка: (22 + 2) : 3 = 8 В образовательной системе «Школа 2000…» в связи с широким использованием алгоритмов и их видов дается алгоритм (блок – схема) решения таких уравнений (см. схему 3). Второй способ решения уравнений достаточно громоздкий, особенно для составных уравнений, где правило взаимосвязи между компонентами и результатом действия применяется многократно. В связи с этим, многие авторы программ (системы «Школа России», «Гармония») совсем не включают в программу начальных классов знакомство с уравнениями сложной структуры либо вводят их в конце четвертого класса. В данных системах в основном ограничиваются изучением уравнений следующих видов: х
+ 2 = 6; 5 + х
= 8 — уравнения на нахождение неизвестного слагаемого; х
– 2 = 6; 5 – х
= 3 — уравнения на нахождение неизвестного уменьшаемого и вычитаемого соответственно; х
× 5 = 20, 5 × х
= 35 — уравнения на нахождение неизвестного множителя; х
: 3 = 8, 6: х
= 2 — уравнения на нахождение неизвестного делимого и делителя соответственно. х
× 3 = 45 — 21; х
× (63 — 58) = 20; (58 — 40) : х
= (2 × 3) — уравнения, где одно или два числа, входящих в уравнение, представлено числовым выражением. Способ решения этих уравнений сводится к вычислению значений этих выражений, после чего уравнение принимает вид одного из простых уравнений выше указанных видов. Ряд программ обучения математике в начальных классах (образовательная система Л.В. Занкова и «Школа 2000…») практикуют знакомство детей с более сложными уравнениями, где правило взаимосвязи между компонентами и результатом действия приходится применять многократно и, нередко, требуют выполнения действий по преобразованию одной из частей уравнения на основе свойств математических действий. Например, в этих программах учащимся в третьем классе для решения предлагаются такие уравнения: 3× х
— (20 + х
) = 70 или 2 × х
– 8 + 5 × х
= 97. В математике существует и третий способ
решения уравнений, который опирается на теоремы о равносильности уравнений и следствия из них. Например, одна из теорем о равносильности уравнений в упрощенной формулировке читается так: «Если к обеим частям уравнения с областью определения х
прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному». Из данной теоремы вытекают следствия, которые и используются при решении уравнений. Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим новое уравнение равносильное данному. Следствие 2. Если в уравнении одно из слагаемых (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение равносильное данному. Таким образом, процесс решения уравнения сводится к замене данного уравнения, равносильным, причем эта замена (преобразование) может осуществляться только с учетом теорем о равносильности уравнений или следствий из них. Этот способ решения уравнений является универсальным, с ним детей знакомят в системе обучения Л.В. Занкова и в старших классах. В методике работы над уравнениями накоплено большое число творческих заданий
: · на выбор уравнений по заданному признаку из ряда предложенных; · на сравнение уравнений и способов их решений; · на составление уравнений по заданным числам; · на изменение в уравнении одного из известных чисел так, чтобы значение переменной стало больше (меньше), чем первоначально найденное значение; · на подбор известного числа в уравнении; · на составление алгоритмов решения с опорой на блок-схемы решения уравнений или без них; · составление уравнений по текстам задач. Следует заметить, что в современных учебниках наблюдается тенденция к введению материала на понятийном уровне. Например, каждому из выше названных понятий дается развернутое определение, отражающее его существенные признаки. Однако не все встречающиеся определения отвечают требованиям принципа научности. Например, понятие «выражение» в одном из учебников математики для начальных классов трактуется так: «Математическая запись из арифметических действий, не содержащая знаков больше, меньше или равно называется выражением» (образовательная система «Школа 2000»). Заметим, что в данном случае определение составлено неверно, так как в нем описано то, чего в записи нет, но неизвестно, что там есть. Это довольно типичная неточность, которую допускают в определении. Заметим, что определения понятиям даются не сразу, т.е. не при первичном знакомстве, а в отсроченном времени, после того как дети познакомились с соответствующей математической записью и научились ею оперировать. Определения даются чаще всего в неявном виде, описательно. Для справки
: В математике встречаются как явные, так и неявные
определения понятий. Среди явных
определений наиболее распространены определения через ближайший род и видовое отличие
. (Уравнение – это равенство, содержащее переменную величину.). Неявные определения
можно разделить на два вида: контекстуальные и остенсивные
. В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через анализ конкретной ситуации. Например: 3 + х
= 9. х
— неизвестное число, которое надо найти. Остенсивные определения используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Поэтому эти определения еще называют определениями путем показа. Например, таким способом определяются в начальных классах понятия равенства и неравенства. 2 + 7 > 2 + 6 9 + 3 = 12 78 — 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6 неравенства равенства 7.4. Порядок выполнения действий в выражениях
Наши наблюдения и анализ ученических работ показывает, что изучение данной содержательной линии сопровождается следующими видами ошибок школьников: · Не могут правильно применить правило порядка действий; · Неверно отбирают числа для выполнения действия. Например, в выражении 62 + 30: (18 — 3) выполняют действия в следующем порядке: 62 + 30 = 92 или так: 18 – 3 = 15 18 — 3 = 15 30: 15 = 2 30: 15 = 2 62 + 30 = 92 Опираясь на данные о типичных ошибках, возникающих у школьников можно выделить два основных действия, которые следует формировать в процессе изучения данной содержательной линии: 1) действие по определению порядка выполнения арифметических действий в числовом выражении; 2) действие по отбору чисел для вычисления значений промежуточных математических действий. В курсе математики начальных классов традиционно правила порядка действий формулируются в следующем виде. Правило 1
. В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо. Правило 2.
В выражениях без скобок сначала выполняются по порядку слева направо умножение или деление, а потом сложение или вычитание. Правило 3
. В выражениях со скобками сначала вычисляют значение выражений в скобках. Затем по порядку слева направо выполняются умножение или деление, а потом сложение или вычитание. Каждое из данных правил ориентировано на определенный вид выражений: 1) выражения без скобок, содержащие только действия одной ступени; 2) выражения без скобок, содержащие действия первой и второй ступени; 3) выражения со скобками, содержащие действия, как первой, так и второй ступени. При такой логике введения правил и последовательности их изучения выше названные действия будут состоять из ниже перечисленных операций, овладение которыми и обеспечивает усвоение данного материала: § распознать структуру выражения и назвать, к какому типу оно относится; § соотнести данное выражение с правилом, которым надо руководствоваться при вычислении его значения; § установить порядок действий в соответствии с правилом; § правильно отобрать числа для выполнения очередного действия; § выполнить вычисления. Данные правила вводятся в третьем классе как обобщение для определения порядка действий в выражениях различной структуры. Нужно заметить, что до знакомства с этими правилами дети уже встречались с выражениями со скобками. В первом и втором классах при изучении свойств арифметических действий (сочетательное свойство сложения, распределительное свойство умножения и деления), умеют вычислять значения выражений, содержащих действия одной ступени, т.е. им знакомо правило № 1. Поскольку вводится три правила, отражающие порядок действий в выражениях трех видов, то необходимо, прежде всего, научить детей выделять различные выражения с точки зрения тех признаков, на которые ориентировано каждое правило. В образовательной системе «Гармония
» основную роль в изучении этой темы играет система целесообразно подобранных упражнений, через выполнение которых дети усваивают общий способ определения порядка действий в выражениях разной структуры. Нужно заметить, что автор программы по математике в данной системе очень логично выстраивает методику введения правил порядка действий, последовательно предлагает детям упражнения для отработки операций, входящих в состав выше названных действий. Чаще всего встречаются задания: ü на сравнение выражений и последующее выявление в них признаков сходства и различия (признак сходства отражает тип выражения, с точки зрения его ориентации на правило); ü на классификацию выражений по заданному признаку; ü на выбор выражений с заданными характеристиками; ü на конструирование выражений по заданному правилу (условию); ü на применение правила в различных моделях выражений (символической, схематической, графической); ü на составление плана или блок-схемы порядка выполнения действий; ü на постановку скобок в выражении при заданном его значении; ü на определение порядка действий в выражении при вычисленном его значении. В системах «Школа 2000…»
и «Начальная школа ХХI века»
предлагается несколько другой подход к изучению порядка действий в составных выражениях. При этом подходе основное внимание уделяется пониманию учащимися структуры выражения. Важнейшим учебным действием при этом является выделение в составном выражении нескольких частей (разбиение выражения на части). В процессе вычисления значений составных выражений учащиеся пользуются рабочими правилами
: 1. Если выражение содержит скобки, то его разбивают на части так, чтобы одна часть с другой были соединены действиями первой ступени (знаками «плюс» и «минус»), не заключенными в скобки, находят значение каждой части, а затем действия первой ступени выполняют по порядку – слева направо. 2. Если в выражении нет действий первой ступени, не заключенных в скобки, но есть действия умножения и деления, не заключенные в скобки, то выражение разбивают на части, ориентируясь на эти знаки. Эти правила позволяют производить вычисление значений выражений, содержащих большое число арифметических действий. Рассмотрим пример. Знаками плюс и минус, не заключенными в скобки, разобьем выражение на части: от начала до первого знака (минус), не заключенного в скобки, затем от этого знака до следующего (плюс) и от знака плюс до конца. 3 · 40 — 20 · (60 — 55) + 81: (36: 4) Получилось три части: 1 часть — 3 40 2 часть — 20 · (60 — 55) и 3 часть 81: (36: 4). Находим значение каждой части: 1) 3 · 40 = 120
2) 60 — 55 = 5 3) 36: 4 = 9 4) 120 -100 = 20 20 · 5 = 100
81: 9 = 9
20 + 9 = 29 Ответ: значение выражения 29. Цель семинаров
по данной содержательной линии
· реферировать и рецензировать статьи (пособия) дидактического, педагогического и психологического содержания; · составлять картотеку к докладу, для изучения конкретной темы; · выполнять логико-дидактический анализ школьных учебников, учебных комплектов, а также анализ реализации в учебниках определенной математической идеи, линии; · подбирать задания для обучения понятиям, обоснованию математических утверждений, формированию правила или построению алгоритма. Задания для самоподготовки
Тема занятия
. Характеристика понятий «выражение», «равенство», «неравенство», «уравнение» и методика их изучения в различных методических
Подобные документы
2. Математическое выражение и его значение.
3. Решение задач на основе составления уравнения.
Математическое выражение и его значение
Числовые выражения
1.1. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала
1.2. Методика изучения числовых выражений
в курсе математики
7 + 2
=
— 3
= 6
