Quels sont les 2 angles dits adjacents ? Que sont les angles adjacents ? Définition et propriétés des angles adjacents

Comment trouver un angle adjacent ?

Les mathématiques sont la science exacte la plus ancienne, qui est obligatoirement étudiée dans les écoles, collèges, instituts et universités. Cependant, les connaissances de base sont toujours acquises à l'école. Parfois, l’enfant se voit confier des tâches assez complexes, mais les parents ne peuvent pas l’aider car ils ont simplement oublié certaines choses en mathématiques. Par exemple, comment trouver un angle adjacent en fonction de la taille de l'angle principal, etc. Le problème est simple, mais peut entraîner des difficultés à résoudre en raison de l'ignorance des angles appelés adjacents et de la manière de les trouver.

Examinons de plus près la définition et les propriétés des angles adjacents, ainsi que la manière de les calculer à partir des données du problème.

Définition et propriétés des angles adjacents

Deux rayons émanant d’un point forment une figure appelée « angle plan ». Dans ce cas, ce point est appelé le sommet de l'angle et les rayons sont ses côtés. Si vous continuez l'un des rayons au-delà du point de départ en ligne droite, un autre angle se forme, appelé adjacent. Chaque angle dans ce cas a deux angles adjacents, puisque les côtés de l'angle sont équivalents. Autrement dit, il existe toujours un angle adjacent de 180 degrés.

Les principales propriétés des angles adjacents comprennent

• Les angles adjacents ont un sommet et un côté communs ;
• La somme des angles adjacents est toujours égale à 180 degrés ou au nombre Pi si le calcul est effectué en radians ;
• Les sinus des angles adjacents sont toujours égaux ;
• Les cosinus et les tangentes des angles adjacents sont égaux mais de signes opposés.

Comment trouver des angles adjacents

Habituellement, trois variantes de problèmes sont proposées pour trouver l'amplitude des angles adjacents.

• La valeur de l'angle principal est donnée ;
• Le rapport entre l'angle principal et l'angle adjacent est donné ;
• La valeur de l'angle vertical est donnée.

Chaque version du problème a sa propre solution. Regardons-les.

La valeur de l'angle principal est donnée

Si le problème précise la valeur de l'angle principal, alors trouver l'angle adjacent est très simple. Pour ce faire, soustrayez simplement la valeur de l'angle principal de 180 degrés et vous obtiendrez la valeur de l'angle adjacent. Cette solution est basée sur la propriété d'un angle adjacent : la somme des angles adjacents est toujours égale à 180 degrés.

Si la valeur de l'angle principal est donnée en radians et que le problème nécessite de trouver l'angle adjacent en radians, alors il faut soustraire la valeur de l'angle principal du nombre Pi, puisque la valeur de l'angle déplié complet est de 180 degrés est égal au nombre Pi.

Le rapport de l'angle principal et adjacent est donné

Le problème peut donner le rapport entre les angles principal et adjacents au lieu des degrés et des radians de l'angle principal. Dans ce cas, la solution ressemblera à une équation de proportion :

1. Nous désignons la proportion de l’angle principal comme la variable « Y ».
2. La fraction liée à l'angle adjacent est notée la variable « X ».
3. Le nombre de degrés qui tombent sur chaque proportion sera noté, par exemple, par « a ».
4. La formule générale ressemblera à ceci : a*X+a*Y=180 ou a*(X+Y)=180.
5. On trouve le facteur commun de l'équation « a » en utilisant la formule a=180/(X+Y).
6. Ensuite, nous multiplions la valeur résultante du facteur commun « a » par la fraction de l'angle qui doit être déterminé.

De cette façon, nous pouvons trouver la valeur de l’angle adjacent en degrés. Cependant, si vous avez besoin de trouver une valeur en radians, il vous suffit alors de convertir les degrés en radians. Pour ce faire, multipliez l'angle en degrés par Pi et divisez le tout par 180 degrés. La valeur résultante sera en radians.

La valeur de l'angle vertical est donnée

Si le problème ne donne pas la valeur de l'angle principal, mais que la valeur de l'angle vertical est donnée, alors l'angle adjacent peut être calculé en utilisant la même formule que dans le premier paragraphe, où la valeur de l'angle principal est donnée.

Un angle vertical est un angle qui part du même point que le point principal, mais qui est dirigé exactement dans la direction opposée. Il en résulte une image miroir. Cela signifie que l'angle vertical est égal en grandeur à l'angle principal. À son tour, l'angle adjacent de l'angle vertical est égal à l'angle adjacent de l'angle principal. Grâce à cela, l'angle adjacent à l'angle principal peut être calculé. Pour ce faire, soustrayez simplement la valeur verticale de 180 degrés et obtenez la valeur de l'angle adjacent à l'angle principal en degrés.

Si la valeur est donnée en radians, il est alors nécessaire de soustraire la valeur de l'angle vertical du nombre Pi, puisque la valeur de l'angle déplié complet de 180 degrés est égale au nombre Pi.

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La géométrie est une science aux multiples facettes. Il développe la logique, l'imagination et l'intelligence. Bien sûr, en raison de sa complexité et du grand nombre de théorèmes et d'axiomes, les écoliers ne l'aiment pas toujours. De plus, il est nécessaire de prouver constamment vos conclusions en utilisant des normes et des règles généralement acceptées.

Les angles adjacents et verticaux font partie intégrante de la géométrie. De nombreux écoliers les adorent sûrement simplement parce que leurs propriétés sont claires et faciles à prouver.

Formation de coins

Tout angle est formé en coupant deux lignes droites ou en traçant deux rayons à partir d'un point. Ils peuvent être appelés soit une lettre, soit trois, qui désignent séquentiellement les points auxquels l'angle est construit.

Les angles sont mesurés en degrés et peuvent (en fonction de leur valeur) être appelés différemment. Il existe donc un angle droit, aigu, obtus et déplié. Chacun des noms correspond à une certaine mesure de degré ou à son intervalle.

Un angle aigu est un angle dont la mesure ne dépasse pas 90 degrés.

Un angle obtus est un angle supérieur à 90 degrés.

Un angle est dit droit lorsque sa mesure en degrés est de 90.

Dans le cas où il est formé par une ligne droite continue et que sa mesure en degrés est de 180, on l'appelle étendu.

Les angles qui ont un côté commun, dont le deuxième côté se prolonge, sont appelés adjacents. Ils peuvent être pointus ou contondants. L'intersection de la ligne forme des angles adjacents. Leurs propriétés sont les suivantes :

1. La somme de ces angles sera égale à 180 degrés (il existe un théorème qui le prouve). On peut donc facilement calculer l’un d’eux si l’autre est connu.
2. Du premier point il résulte que des angles adjacents ne peuvent être formés par deux angles obtus ou deux angles aigus.

Grâce à ces propriétés, il est toujours possible de calculer la mesure en degré d'un angle étant donné la valeur d'un autre angle, ou du moins le rapport entre eux.

Angles verticaux

Les angles dont les côtés sont le prolongement les uns des autres sont appelés verticaux. N'importe laquelle de leurs variétés peut agir comme une telle paire. Les angles verticaux sont toujours égaux les uns aux autres.

Ils se forment lorsque des lignes droites se croisent. A côté d'eux, les angles adjacents sont toujours présents. Un angle peut être à la fois adjacent pour l'un et vertical pour un autre.

Lors du franchissement d’une ligne arbitraire, plusieurs autres types d’angles sont également pris en compte. Une telle ligne est appelée ligne sécante et forme des angles correspondants, unilatéraux et transversaux. Ils sont égaux les uns aux autres. Ils peuvent être visualisés à la lumière des propriétés des angles verticaux et adjacents.

Ainsi, le sujet des angles semble assez simple et compréhensible. Toutes leurs propriétés sont faciles à retenir et à prouver. Résoudre des problèmes n’est pas difficile tant que les angles ont une valeur numérique. Plus tard, lorsque l'étude du péché et du cos commencera, vous devrez mémoriser de nombreuses formules complexes, leurs conclusions et leurs conséquences. En attendant, vous pouvez simplement profiter de puzzles faciles dans lesquels vous devez trouver des angles adjacents.

Qu'est-ce qu'un angle adjacent

Coin est une figure géométrique (Fig. 1), formée de deux rayons OA et OB (côtés de l'angle), émanant d'un point O (sommet de l'angle).

COINS ADJACENTS- deux angles dont la somme est de 180°. Chacun de ces angles complète l’autre jusqu’à l’angle complet.

Angles adjacents- (Agles adjacets) ceux qui ont un sommet commun et un côté commun. La plupart du temps, ce nom fait référence à des angles dont les deux côtés restants se trouvent dans des directions opposées d’une ligne droite traversée.

Deux angles sont dits adjacents s'ils ont un côté en commun, et les autres côtés de ces angles sont des demi-droites complémentaires.

riz. 2

Sur la figure 2, les angles a1b et a2b sont adjacents. Ils ont un côté commun b, et les côtés a1, a2 sont des demi-lignes supplémentaires.

riz. 3

La figure 3 montre la droite AB, le point C est situé entre les points A et B. Le point D est un point qui ne se trouve pas sur la droite AB. Il s’avère que les angles BCD et ACD sont adjacents. Ils ont un côté commun CD, et les côtés CA et CB sont des demi-droites supplémentaires de la droite AB, puisque les points A, B sont séparés par le point de départ C.

Théorème de l'angle adjacent

Théorème: la somme des angles adjacents est de 180°

Preuve:
Les angles a1b et a2b sont adjacents (voir Fig. 2). Le rayon b passe entre les côtés a1 et a2 de l'angle déplié. La somme des angles a1b et a2b est donc égale à l’angle développé, soit 180°. Le théorème a été prouvé.

Un angle égal à 90° est appelé angle droit. Du théorème sur la somme des angles adjacents, il s'ensuit qu'un angle adjacent à un angle droit est également un angle droit. Un angle inférieur à 90° est dit aigu et un angle supérieur à 90° est dit obtus. Puisque la somme des angles adjacents est de 180°, alors l’angle adjacent à un angle aigu est un angle obtus. Un angle adjacent à un angle obtus est un angle aigu.

Angles adjacents- deux angles avec un sommet commun, dont l'un des côtés est commun, et les côtés restants se trouvent sur la même droite (ne coïncident pas). La somme des angles adjacents est de 180°.

Définition 1. Un angle est une partie d’un plan délimitée par deux rayons d’origine commune.

Définition 1.1. Un angle est une figure constituée d'un point - le sommet de l'angle - et de deux demi-droites différentes émanant de ce point - les côtés de l'angle.
Par exemple, l'angle BOC sur la figure 1. Considérons d'abord deux lignes sécantes. Lorsque des lignes droites se croisent, elles forment des angles. Il existe des cas particuliers :

Définition 2. Si les côtés d'un angle sont des demi-lignes supplémentaires d'une ligne droite, alors l'angle est appelé développé.

Définition 3. Un angle droit est un angle mesurant 90 degrés.

Définition 4. Un angle inférieur à 90 degrés est appelé angle aigu.

Définition 5. Un angle supérieur à 90 degrés et inférieur à 180 degrés est appelé angle obtus.
Lignes d'intersection.

Définition 6. Deux angles dont un côté est commun et dont les autres côtés se trouvent sur la même ligne droite sont dits adjacents.

Définition 7. Les angles dont les côtés se prolongent sont appelés angles verticaux.
Dans la figure 1 :
adjacents : 1 et 2 ; 2 et 3 ; 3 et 4 ; 4 et 1
verticale : 1 et 3 ; 2 et 4
Théorème 1. La somme des angles adjacents est de 180 degrés.
Pour preuve, considérons sur la Fig. 4 angles adjacents AOB et BOC. Leur somme est l'angle développé AOC. La somme de ces angles adjacents est donc de 180 degrés.

riz. 4

Le lien entre les mathématiques et la musique

« En pensant à l'art et à la science, à leurs liens mutuels et à leurs contradictions, je suis arrivé à la conclusion que les mathématiques et la musique sont aux pôles extrêmes de l'esprit humain, que toute activité spirituelle créatrice de l'homme est limitée et déterminée par ces deux antipodes et que tout est entre eux, tout ce que l'humanité a créé dans les domaines de la science et de l'art.
G. Neuhaus
Il semblerait que l’art soit un domaine très abstrait des mathématiques. Cependant, le lien entre les mathématiques et la musique est déterminé à la fois historiquement et en interne, malgré le fait que les mathématiques sont la plus abstraite des sciences et que la musique est la forme d'art la plus abstraite.
La consonance détermine le son agréable d'une corde
Ce système musical reposait sur deux lois qui portent les noms de deux grands scientifiques : Pythagore et Archytas. Voici les lois :
1. Deux cordes sonores déterminent la consonance si leurs longueurs sont liées comme des nombres entiers formant un nombre triangulaire 10=1+2+3+4, c'est-à-dire comme 1:2, 2:3, 3:4. De plus, plus le nombre n dans le rapport n:(n+1) (n=1,2,3) est petit, plus l'intervalle résultant est consonant.
2. La fréquence de vibration w de la corde sonore est inversement proportionnelle à sa longueur l.
w = a: l,
où a est un coefficient caractérisant les propriétés physiques de la chaîne.

Je vais aussi vous proposer une parodie amusante sur une dispute entre deux mathématiciens =)

La géométrie autour de nous

La géométrie dans notre vie n'a pas une petite importance. En effet, lorsque vous regardez autour de vous, il ne sera pas difficile de remarquer que nous sommes entourés de diverses formes géométriques. Nous les rencontrons partout : dans la rue, en classe, à la maison, au parc, au gymnase, à la cafétéria de l’école, pratiquement partout où nous sommes. Mais le sujet de la leçon d'aujourd'hui concerne les charbons adjacents. Alors regardons autour de nous et essayons de trouver des angles dans cet environnement. Si vous regardez attentivement la fenêtre, vous remarquerez que certaines branches d'arbres forment des coins adjacents, et dans les cloisons du portail, vous pouvez voir de nombreux angles verticaux. Donnez vos propres exemples d’angles adjacents que vous observez dans votre environnement.

Exercice 1.

1. Il y a un livre sur la table, sur un pupitre. Quel angle forme-t-il ?
2. Mais l’étudiant travaille sur un ordinateur portable. Sous quel angle voyez-vous ici ?
3. Quel angle forme le cadre photo sur le support ?
4. Pensez-vous qu’il est possible que deux angles adjacents soient égaux ?

Tâche 2.

Devant vous se trouve une figure géométrique. De quel genre de personnage s'agit-il, nommez-le ? Nommez maintenant tous les angles adjacents que vous pouvez voir sur cette figure géométrique.

Tâche 3.

Voici une image d'un dessin et d'une peinture. Regardez-les attentivement et dites-moi quels types de poissons vous voyez sur la photo et sous quels angles vous voyez sur la photo.

Résolution de problème

1) Étant donné deux angles liés l'un à l'autre comme 1 : 2 et adjacents à eux - comme 7 : 5. Vous devez trouver ces angles.
2) On sait que l’un des angles adjacents est 4 fois plus grand que l’autre. A quoi sont égaux les angles adjacents ?
3) Il faut trouver des angles adjacents, à condition que l'un d'eux soit supérieur de 10 degrés au second.

Dictée mathématique pour revoir le matériel appris précédemment

1) Complétez le dessin : les lignes droites a I b se coupent au point A. Marquez le plus petit des angles formés avec le chiffre 1 et les angles restants - séquentiellement avec les chiffres 2,3,4 ; les rayons complémentaires de la ligne a passent par a1 et a2, et la ligne b passe par b1 et b2.
2) À l'aide du dessin terminé, inscrivez les significations et explications nécessaires dans les espaces du texte :
a) angle 1 et angle .... adjacent parce que...
b) angle 1 et angle…. vertical parce que...
c) si angle 1 = 60°, alors angle 2 = ..., car...
d) si l'angle 1 = 60°, alors l'angle 3 = ..., car...

Résoudre des problèmes:

1. La somme de 3 angles formés par l’intersection de 2 droites peut-elle être égale à 100° ? 370° ?
2. Sur la figure, trouvez toutes les paires d’angles adjacents. Et maintenant les angles verticaux. Nommez ces angles.

3. Vous devez trouver un angle lorsqu'il est trois fois plus grand que celui adjacent.
4. Deux lignes droites se croisent. À la suite de cette intersection, quatre coins se sont formés. Déterminez la valeur de l’un d’entre eux, à condition que :

a) la somme de 2 angles sur quatre est 84° ;
b) la différence entre 2 angles est de 45° ;
c) un angle est 4 fois plus petit que le second ;
d) la somme de trois de ces angles est 290°.

Résumé de la leçon

1. nommer les angles qui se forment lorsque 2 lignes droites se coupent ?
2. Nommez toutes les paires d’angles possibles dans la figure et déterminez leur type.

Devoirs:

1. Trouvez le rapport des mesures en degrés des angles adjacents lorsque l’un d’eux est supérieur de 54° au second.
2. Trouvez les angles qui se forment lorsque 2 droites se coupent, à condition que l'un des angles soit égal à la somme de 2 autres angles qui lui sont adjacents.
3. Il faut trouver des angles adjacents lorsque la bissectrice de l'un d'eux forme avec le côté de la seconde un angle supérieur de 60° au deuxième angle.
4. La différence entre 2 angles adjacents est égale au tiers de la somme de ces deux angles. Déterminez les valeurs de 2 angles adjacents.
5. La différence et la somme de 2 angles adjacents sont respectivement dans le rapport 1:5. Trouvez les angles adjacents.
6. La différence entre deux adjacents est de 25 % de leur somme. Quel est le rapport entre les valeurs de 2 angles adjacents ? Déterminez les valeurs de 2 angles adjacents.

Des questions:

1. Qu'est-ce qu'un angle ?
2. Quels types d’angles existe-t-il ?
3. Quelle est la propriété des angles adjacents ?

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CHAPITRE I.

CONCEPTS DE BASE.

§onze. COINS ADJACENTS ET VERTICAUX.

1. Angles adjacents.

Si nous étendons le côté d'un angle au-delà de son sommet, nous obtenons deux angles (Fig. 72) : / Et le soleil et / SVD, dans lequel un côté BC est commun et les deux autres A et BD forment une ligne droite.

Deux angles dont un côté est commun et les deux autres forment une ligne droite sont appelés angles adjacents.

Les angles adjacents peuvent également être obtenus de cette manière : si nous traçons un rayon à partir d'un point sur une ligne (ne se trouvant pas sur une ligne donnée), nous obtiendrons des angles adjacents.
Par exemple, / FAD et / FDВ - angles adjacents (Fig. 73).

Les angles adjacents peuvent avoir une grande variété de positions (Fig. 74).

Les angles adjacents totalisent un angle droit, donc la umma de deux angles adjacents est égale 2d.

Ainsi, un angle droit peut être défini comme un angle égal à son angle adjacent.

Connaissant la taille de l’un des angles adjacents, on peut trouver la taille de l’autre angle qui lui est adjacent.

Par exemple, si l'un des angles adjacents est 3/5 d, alors le deuxième angle sera égal à :

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Angles verticaux.

Si on étend les côtés de l’angle au-delà de son sommet, on obtient des angles verticaux. Sur le dessin 75, les angles EOF et AOC sont verticaux ; les angles AOE et COF sont également verticaux.

Deux angles sont dits verticaux si les côtés d’un angle sont le prolongement des côtés de l’autre angle.

Laisser / 1 = 7 / 8 d(Figure 76). À côté / 2 sera égal à 2 d- 7 / 8 d, soit 1 1/8 d.

De la même manière, vous pouvez calculer à quoi ils sont égaux / 3 et / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Figure 77).

On voit ça / 1 = / 3 et / 2 = / 4.

Vous pouvez résoudre plusieurs autres problèmes identiques, et à chaque fois vous obtiendrez le même résultat : les angles verticaux sont égaux les uns aux autres.

Cependant, pour s'assurer que les angles verticaux sont toujours égaux les uns aux autres, il ne suffit pas de considérer des exemples numériques individuels, car les conclusions tirées d'exemples particuliers peuvent parfois être erronées.

Il faut vérifier la validité des propriétés des angles verticaux par des raisonnements, par des preuves.

La preuve peut être effectuée comme suit (Fig. 78) :

/ un+/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(puisque la somme des angles adjacents est 2 d).

/ un+/ c = / b+/ c

(puisque le membre gauche de cette égalité est aussi égal à 2 d, et son côté droit est également égal à 2 d).

Cette égalité inclut le même angle Avec.

Si nous soustrayons des quantités égales de quantités égales, alors des quantités égales resteront. Le résultat sera : / un = / b, c'est-à-dire que les angles verticaux sont égaux les uns aux autres.

Lorsque nous examinons la question des angles verticaux, nous avons d'abord expliqué quels angles sont appelés verticaux, c'est-à-dire définition angles verticaux.

Ensuite, nous avons porté un jugement (déclaration) sur l'égalité des angles verticaux et avons été convaincus de la validité de ce jugement par la preuve. De tels jugements, dont la validité doit être prouvée, sont appelés théorèmes. Ainsi, dans cette section, nous avons donné une définition des angles verticaux, et avons également énoncé et prouvé un théorème sur leurs propriétés.

À l'avenir, lors de l'étude de la géométrie, nous devrons constamment rencontrer des définitions et des preuves de théorèmes.

3. La somme des angles qui ont un sommet commun.

Sur le dessin 79 / 1, / 2, / 3 et / 4 sont situés d'un côté d'une droite et ont un sommet commun sur cette droite. En somme, ces angles constituent un angle droit, c'est-à-dire
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Sur le dessin 80 / 1, / 2, / 3, / 4 et / 5 ont un sommet commun. En somme, ces angles constituent un angle complet, c'est-à-dire / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Des exercices.

1. L'un des angles adjacents est 0,72 d. Calculez l'angle formé par les bissectrices de ces angles adjacents.

2. Montrer que les bissectrices de deux angles adjacents forment un angle droit.

3. Montrer que si deux angles sont égaux, alors leurs angles adjacents sont également égaux.

4. Combien de paires d'angles adjacents y a-t-il dans le dessin 81 ?

5. Une paire d’angles adjacents peut-elle être constituée de deux angles aigus ? sous deux angles obtus ? sous des angles droits et obtus ? sous un angle droit et aigu ?

6. Si l’un des angles adjacents est droit, que peut-on dire de la taille de l’angle qui lui est adjacent ?

7. Si à l’intersection de deux lignes droites un angle est droit, que peut-on dire de la taille des trois autres angles ?

Chaque angle, selon sa taille, a son propre nom :

Type d'angle	Taille en degrés	Exemple
Épicé	Moins de 90°
Droit	Égal à 90°. Dans un dessin, un angle droit est généralement désigné par un symbole dessiné d'un côté à l'autre de l'angle.
Émoussé	Plus de 90° mais moins de 180°
Étendu	Égal à 180° Un angle droit est égal à la somme de deux angles droits et un angle droit est la moitié d'un angle droit.
Convexe	Plus de 180° mais moins de 360°
Complet	Égal à 360°

Les deux angles sont appelés adjacent, s'ils ont un côté en commun et que les deux autres côtés forment une ligne droite :

Angles SERPILLIÈRE Et PON adjacent, puisque la poutre PO- le côté commun, et les deux autres côtés - OM Et SUR former une ligne droite.

Le côté commun des angles adjacents est appelé oblique à droit, sur lequel se trouvent les deux autres côtés, uniquement dans le cas où les angles adjacents ne sont pas égaux entre eux. Si les angles adjacents sont égaux, alors leur côté commun sera perpendiculaire.

La somme des angles adjacents est de 180°.

Les deux angles sont appelés verticale, si les côtés d'un angle complètent les côtés de l'autre angle en lignes droites :

Les angles 1 et 3, ainsi que les angles 2 et 4, sont verticaux.

Les angles verticaux sont égaux.

Montrons que les angles verticaux sont égaux :

La somme de ∠1 et ∠2 est un angle droit. Et la somme de ∠3 et ∠2 est un angle droit. Ces deux montants sont donc égaux :

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Dans cette égalité, il existe un terme identique à gauche et à droite - ∠2. L'égalité ne sera pas violée si ce terme à gauche et à droite est omis. Ensuite, nous comprenons.