Comment trouver la surface latérale d'une formule pyramidale. Trouver l'aire d'une pyramide triangulaire régulière

Lors de la préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques, les étudiants doivent systématiser leurs connaissances en algèbre et en géométrie. Je voudrais combiner toutes les informations connues, par exemple sur la façon de calculer l'aire d'une pyramide. De plus, depuis la base et les bords latéraux jusqu'à toute la surface. Si la situation avec les faces latérales est claire, puisqu'il s'agit de triangles, alors la base est toujours différente.

Comment trouver l'aire de la base de la pyramide ?

Il peut s'agir d'absolument n'importe quelle figure : d'un triangle arbitraire à un n-gon. Et cette base, outre la différence du nombre d'angles, peut être une figure régulière ou irrégulière. Dans les tâches de l'examen d'État unifié qui intéressent les écoliers, il n'y a que des tâches avec des chiffres corrects à la base. Par conséquent, nous ne parlerons que d'eux.

Triangle régulier

Autrement dit, équilatéral. Celui dans lequel tous les côtés sont égaux et sont désignés par la lettre « a ». Dans ce cas, l'aire de la base de la pyramide est calculée par la formule :

S = (une 2 * √3) / 4.

Carré

La formule pour calculer son aire est la plus simple, ici « a » est encore le côté :

N-gon régulier arbitraire

Le côté d'un polygone a la même notation. Pour le nombre d'angles, la lettre latine n est utilisée.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Que faire lors du calcul de la surface latérale et totale ?

Puisque la base est une figure régulière, toutes les faces de la pyramide sont égales. De plus, chacun d'eux est un triangle isocèle, puisque les bords latéraux sont égaux. Ensuite, afin de calculer l'aire latérale de la pyramide, vous aurez besoin d'une formule constituée de la somme de monômes identiques. Le nombre de termes est déterminé par le nombre de côtés de la base.

L'aire d'un triangle isocèle est calculée par la formule dans laquelle la moitié du produit de la base est multipliée par la hauteur. Cette hauteur dans la pyramide est appelée apothème. Sa désignation est « A ». La formule générale de la surface latérale est la suivante :

S = ½ P*A, où P est le périmètre de la base de la pyramide.

Il existe des situations où les côtés de la base ne sont pas connus, mais les bords latéraux (c) et l'angle plat à son sommet (α) sont donnés. Ensuite, vous devez utiliser la formule suivante pour calculer l'aire latérale de la pyramide :

S = n/2 * dans 2 sin α .

Tâche n°1

Condition. Trouvez l'aire totale de la pyramide si sa base a un côté de 4 cm et que l'apothème a une valeur de √3 cm.

Solution. Vous devez commencer par calculer le périmètre de la base. Puisqu'il s'agit d'un triangle régulier, alors P = 3*4 = 12 cm. Puisque l'apothème est connu, on peut immédiatement calculer l'aire de toute la surface latérale : ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Pour le triangle à la base, vous obtenez la valeur d'aire suivante : (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Pour déterminer la surface entière, vous devrez additionner les deux valeurs résultantes : 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Répondre. 10√3cm2.

Problème n°2

Condition. Il y a une pyramide quadrangulaire régulière. La longueur du côté de base est de 7 mm, le bord latéral est de 16 mm. Il faut connaître sa superficie.

Solution. Le polyèdre étant quadrangulaire et régulier, sa base est un carré. Une fois que vous connaîtrez l'aire de la base et des faces latérales, vous pourrez calculer l'aire de la pyramide. La formule du carré est donnée ci-dessus. Et pour les faces latérales, tous les côtés du triangle sont connus. Par conséquent, vous pouvez utiliser la formule de Heron pour calculer leurs aires.

Les premiers calculs sont simples et conduisent au nombre suivant : 49 mm 2. Pour la deuxième valeur, vous devrez calculer le demi-périmètre : (7 + 16*2) : 2 = 19,5 mm. Vous pouvez maintenant calculer l'aire d'un triangle isocèle : √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Il n'y a que quatre triangles de ce type, donc lors du calcul du nombre final, vous devrez le multiplier par 4.

Il s'avère : 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Répondre. La valeur souhaitée est de 267,576 mm 2.

Problème n°3

Condition. Pour une pyramide quadrangulaire régulière, vous devez calculer l’aire. Le côté du carré est connu pour mesurer 6 cm et la hauteur est de 4 cm.

Solution. Le moyen le plus simple est d'utiliser la formule avec le produit du périmètre et de l'apothème. La première valeur est facile à trouver. Le second est un peu plus compliqué.

Nous devrons nous souvenir du théorème de Pythagore et considérer qu'il est formé par la hauteur de la pyramide et l'apothème, qui est l'hypoténuse. La deuxième branche est égale à la moitié du côté du carré, puisque la hauteur du polyèdre tombe en son milieu.

L'apothème requis (hypoténuse d'un triangle rectangle) est égal à √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Vous pouvez maintenant calculer la valeur requise : ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Répondre. 96cm2.

Problème n°4

Condition. Le bon côté est indiqué : les côtés de sa base mesurent 22 mm, les bords latéraux mesurent 61 mm. Quelle est la surface latérale de ce polyèdre ?

Solution. Le raisonnement est le même que celui décrit dans la tâche n°2. Seulement, on leur a donné une pyramide avec un carré à la base, et maintenant c'est un hexagone.

Tout d'abord, la surface de base est calculée à l'aide de la formule ci-dessus : (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Vous devez maintenant connaître le demi-périmètre d'un triangle isocèle, qui est la face latérale. (22+61*2) :2 = 72 cm. Il ne reste plus qu'à utiliser la formule de Héron pour calculer l'aire de chacun de ces triangles, puis à la multiplier par six et à l'ajouter à celle obtenue pour la base.

Calculs utilisant la formule de Heron : √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calculs qui donneront la surface latérale : 660 * 6 = 3960 cm 2. Reste à les additionner pour connaître la surface entière : 5217,47≈5217 cm 2.

Répondre. La base fait 726√3 cm2, la surface latérale est de 3960 cm2, la surface totale est de 5217 cm2.

Existe-t-il une formule générale ? Non, en général, non. Il suffit de rechercher les zones des faces latérales et de les résumer.

La formule peut s'écrire pour prisme droit :

Où est le périmètre de la base.

Mais il est quand même bien plus facile d’additionner tous les domaines dans chaque cas particulier que de mémoriser des formules supplémentaires. Par exemple, calculons la surface totale d'un prisme hexagonal régulier.

Toutes les faces latérales sont des rectangles. Moyens.

Cela a déjà été montré lors du calcul du volume.

On obtient donc :

Superficie de la pyramide

La règle générale s'applique également à la pyramide :

Calculons maintenant la superficie des pyramides les plus populaires.

Superficie d'une pyramide triangulaire régulière

Que le côté de la base soit égal et le bord latéral égal. Nous devons trouver et.

Rappelons-nous maintenant que

C'est l'aire d'un triangle régulier.

Et rappelons-nous comment rechercher cette zone. Nous utilisons la formule de l'aire :

Pour nous, « » c'est ça, et « » c'est aussi ça, hein.

Maintenant, trouvons-le.

En utilisant la formule de l’aire de base et le théorème de Pythagore, nous trouvons

Attention: si vous avez un tétraèdre régulier (c'est-à-dire), alors la formule ressemble à ceci :

Superficie d'une pyramide quadrangulaire régulière

Que le côté de la base soit égal et le bord latéral égal.

La base est un carré, et c'est pourquoi.

Reste à trouver l'aire de la face latérale

Superficie d'une pyramide hexagonale régulière.

Que le côté de la base soit égal et le bord latéral.

Comment trouver? Un hexagone est constitué exactement de six triangles réguliers identiques. Nous avons déjà recherché l'aire d'un triangle régulier lors du calcul de l'aire d'une pyramide triangulaire régulière ; nous utilisons ici la formule que nous avons trouvée.

Eh bien, nous avons déjà cherché deux fois la zone de la face latérale.

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Instructions

Tout d'abord, il convient de comprendre que la surface latérale de la pyramide est représentée par plusieurs triangles dont les aires peuvent être trouvées à l'aide de diverses formules, en fonction des données connues :

S = (a*h)/2, où h est la hauteur abaissée du côté a ;

S = a*b*sinβ, où a, b sont les côtés du triangle et β est l'angle entre ces côtés ;

S = (r*(a + b + c))/2, où a, b, c sont les côtés du triangle, et r est le rayon du cercle inscrit dans ce triangle ;

S = (a*b*c)/4*R, où R est le rayon du triangle circonscrit au cercle ;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (si le triangle est rectangle) ;

S = S = (a²*√3)/4 (si le triangle est équilatéral).

En fait, ce ne sont que les formules connues les plus élémentaires pour trouver l'aire d'un triangle.

Après avoir calculé les aires de tous les triangles qui sont les faces de la pyramide à l'aide des formules ci-dessus, vous pouvez commencer à calculer l'aire de cette pyramide. Cela se fait extrêmement simplement : il faut additionner les aires de tous les triangles qui forment la surface latérale de la pyramide. Cela peut être exprimé par la formule :

Sp = ΣSi, où Sp est l'aire de la surface latérale, Si est l'aire du i-ième triangle, qui fait partie de sa surface latérale.

Pour plus de clarté, nous pouvons considérer un petit exemple : étant donné une pyramide régulière dont les faces latérales sont formées de triangles équilatéraux, et à sa base se trouve un carré. La longueur du bord de cette pyramide est de 17 cm. Il faut trouver l'aire de la surface latérale de cette pyramide.

Solution : la longueur de l'arête de cette pyramide est connue, on sait que ses faces sont des triangles équilatéraux. Ainsi, on peut dire que tous les côtés de tous les triangles sur la surface latérale sont égaux à 17 cm. Par conséquent, afin de calculer l'aire de​​l'un de ces triangles, vous devrez appliquer la formule :

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

On sait qu’à la base de la pyramide se trouve un carré. Ainsi, il est clair qu’il existe quatre triangles équilatéraux donnés. Ensuite, l'aire de la surface latérale de la pyramide est calculée comme suit :

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Réponse : La surface latérale de la pyramide est de 500,548 cm²

Tout d'abord, calculons l'aire de la surface latérale de la pyramide. La surface latérale est la somme des aires de toutes les faces latérales. Si nous avons affaire à une pyramide régulière (c'est-à-dire une pyramide qui a un polygone régulier à sa base et dont le sommet est projeté au centre de ce polygone), alors pour calculer toute la surface latérale, il suffit de multiplier le périmètre de la base (c'est-à-dire la somme des longueurs de tous les côtés du polygone situé au niveau de la pyramide de base) par la hauteur de la face latérale (autrement appelée l'apothème) et divisez la valeur résultante par 2 : Sb = 1/2P* h, où Sb est l'aire de la surface latérale, P est le périmètre de la base, h est la hauteur de la face latérale (apothème).

Si vous avez devant vous une pyramide arbitraire, vous devrez calculer séparément les aires de toutes les faces, puis les additionner. Puisque les faces latérales de la pyramide sont des triangles, utilisez la formule pour l'aire d'un triangle : S=1/2b*h, où b est la base du triangle et h est la hauteur. Lorsque les aires de toutes les faces ont été calculées, il ne reste plus qu'à les additionner pour obtenir l'aire de la surface latérale de la pyramide.

Ensuite, vous devez calculer l'aire de la base de la pyramide. Le choix de la formule de calcul dépend du polygone qui se trouve à la base de la pyramide : régulier (c'est-à-dire un avec tous les côtés de la même longueur) ou irrégulier. L'aire d'un polygone régulier peut être calculée en multipliant le périmètre par le rayon du cercle inscrit dans le polygone et en divisant la valeur obtenue par 2 : Sn = 1/2P*r, où Sn est l'aire du polygone, P est le périmètre et r est le rayon du cercle inscrit dans le polygone.

Une pyramide tronquée est un polyèdre formé d’une pyramide et sa section transversale est parallèle à la base. Trouver la surface latérale de la pyramide n'est pas du tout difficile. C'est très simple : l'aire est égale au produit de la moitié de la somme des bases par . Prenons un exemple de calcul de la surface latérale. Supposons que l’on nous donne une pyramide régulière. Les longueurs de la base sont b = 5 cm, c = 3 cm. Apothème a = 4 cm. Pour trouver l'aire de la surface latérale de la pyramide, il faut d'abord trouver le périmètre des bases. Dans une grande base, elle sera égale à p1=4b=4*5=20 cm. Dans une base plus petite, la formule sera la suivante : p2=4c=4*3=12 cm. Par conséquent, l'aire sera égale à : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.

Quelle figure appelle-t-on une pyramide ? Premièrement, c'est un polyèdre. Deuxièmement, à la base de ce polyèdre se trouve un polygone arbitraire, et les côtés de la pyramide (faces latérales) ont nécessairement la forme de triangles convergeant vers un sommet commun. Maintenant, ayant compris le terme, découvrons comment trouver l’aire de la pyramide.

Il est clair que la surface d'un tel corps géométrique est constituée de la somme des aires de la base et de toute sa surface latérale.

Calculer l'aire de la base d'une pyramide

Le choix de la formule de calcul dépend de la forme du polygone sous-jacent à notre pyramide. Il peut être régulier, c'est-à-dire avec des côtés de même longueur, ou irrégulier. Considérons les deux options.

La base est un polygone régulier

Du cursus scolaire nous savons:

• l'aire du carré sera égale à la longueur de son côté au carré ;
• L'aire d'un triangle équilatéral est égale au carré de son côté divisé par 4 et multiplié par la racine carrée de trois.

Mais il existe aussi une formule générale pour calculer l'aire de tout polygone régulier (Sn) : il faut multiplier le périmètre de ce polygone (P) par le rayon du cercle qui y est inscrit (r), puis diviser le résultat par deux : Sn=1/2P*r .

A la base se trouve un polygone irrégulier

Le schéma pour trouver son aire consiste d'abord à diviser l'ensemble du polygone en triangles, à calculer l'aire de chacun d'eux à l'aide de la formule : 1/2a*h (où a est la base du triangle, h est la hauteur abaissée à cette base), additionner tous les résultats.

Surface latérale de la pyramide

Calculons maintenant l'aire de la surface latérale de la pyramide, c'est-à-dire la somme des aires de tous ses côtés latéraux. Il y a aussi 2 options ici.

1. Ayons une pyramide arbitraire, c'est-à-dire un avec un polygone irrégulier à sa base. Ensuite, vous devez calculer la surface de chaque visage séparément et additionner les résultats. Puisque les côtés d'une pyramide, par définition, ne peuvent être que des triangles, le calcul est effectué à l'aide de la formule mentionnée ci-dessus : S=1/2a*h.
2. Que notre pyramide soit correcte, c'est-à-dire à sa base se trouve un polygone régulier, et la projection du sommet de la pyramide est en son centre. Ensuite, pour calculer l'aire de la surface latérale (Sb), il suffit de trouver la moitié du produit du périmètre du polygone de base (P) et de la hauteur (h) du côté latéral (la même pour toutes les faces ) : Sb = 1/2 P*h. Le périmètre d'un polygone est déterminé en additionnant les longueurs de tous ses côtés.

La surface totale d'une pyramide régulière est obtenue en additionnant l'aire de sa base avec l'aire de toute la surface latérale.

Exemples

Par exemple, calculons algébriquement les surfaces de plusieurs pyramides.

Superficie d'une pyramide triangulaire

A la base d’une telle pyramide se trouve un triangle. En utilisant la formule So=1/2a*h on trouve l'aire de la base. On utilise la même formule pour trouver l'aire de chaque face de la pyramide, qui a également une forme triangulaire, et on obtient 3 aires : S1, S2 et S3. L'aire de la surface latérale de la pyramide est la somme de toutes les aires : Sb = S1+ S2+ S3. En additionnant les aires des côtés et de la base, on obtient la surface totale de la pyramide souhaitée : Sp= So+ Sb.

Superficie d'une pyramide quadrangulaire

L'aire de la surface latérale est la somme de 4 termes : Sb = S1+ S2+ S3+ S4, chacun étant calculé à l'aide de la formule de l'aire d'un triangle. Et l'aire de la base devra être recherchée en fonction de la forme du quadrilatère - régulière ou irrégulière. La surface totale de la pyramide est à nouveau obtenue en additionnant l'aire de la base et la surface totale de la pyramide donnée.

est une figure dont la base est un polygone arbitraire et dont les faces latérales sont représentées par des triangles. Leurs sommets se situent au même point et correspondent au sommet de la pyramide.

La pyramide peut être variée – triangulaire, quadrangulaire, hexagonale, etc. Son nom peut être déterminé en fonction du nombre d'angles adjacents à la base.
La bonne pyramide appelée pyramide dans laquelle les côtés de la base, les angles et les arêtes sont égaux. De plus, dans une telle pyramide, l'aire des faces latérales sera égale.
La formule de l'aire de la surface latérale d'une pyramide est la somme des aires de toutes ses faces :
Autrement dit, pour calculer l'aire de la surface latérale d'une pyramide arbitraire, vous devez trouver l'aire de chaque triangle individuel et les additionner. Si la pyramide est tronquée, alors ses faces sont représentées par des trapèzes. Il existe une autre formule pour une pyramide régulière. Dans celui-ci, la surface latérale est calculée à travers le demi-périmètre de la base et la longueur de l'apothème :

Considérons un exemple de calcul de l'aire de la surface latérale d'une pyramide.
Soit une pyramide quadrangulaire régulière. Côté socle b= 6 cm, apothème un= 8 cm Trouvez l'aire de la surface latérale.

À la base d’une pyramide quadrangulaire régulière se trouve un carré. Tout d'abord, trouvons son périmètre :

Nous pouvons maintenant calculer la surface latérale de notre pyramide :

Afin de trouver l'aire totale d'un polyèdre, vous devrez trouver l'aire de sa base. La formule pour l'aire de la base d'une pyramide peut différer selon le polygone se trouvant à la base. Pour ce faire, utilisez la formule de l'aire d'un triangle, aire d'un parallélogramme etc.

Prenons un exemple de calcul de l'aire de la base d'une pyramide donnée par nos conditions. La pyramide étant régulière, il y a un carré à sa base.
Surface carrée calculé par la formule : ,
où a est le côté du carré. Pour nous, elle est de 6 cm, ce qui signifie que l'aire de la base de la pyramide est :

Il ne reste plus qu'à trouver l'aire totale du polyèdre. La formule de l'aire d'une pyramide consiste en la somme de l'aire de sa base et de la surface latérale.