Можно сказать так: разделить число в отношении m: n значит разделить. Деление числа в данном отношении

Цель: формировать навык деления величин в данном отношении.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний

Предложить учащимся закончить фразу:

1. Отношение двух чисел – это …
2. Отношение 1:5 показывает, что …
3. Отношение 3:2 показывает, что …
4. Если отношение двух чисел больше единицы, то это означает, что …
5. Если первое число в три раза больше второго, то они относятся как …
6. Если первое число в полтора раза меньше второго, то они относятся как …
7. Если первое число относится ко второму как 4:7, то второе число относится к первому как …
8. Отношение 4:12 равно отношению …
9. Отношение 2:5 можно записать как отношение 6: …

III. Мотивация

Привести примеры, когда необходимо умение делить какую-либо величину в данном отношении.
Учитель: Я предлагаю Вам решить свою задачу:

Задача. В классе 24 ученика. Из них 10 мальчиков и 14 девочек. В каком отношении находится количество мальчики к количеству девочек?

Ученики: 10: 14, или 5: 7.
Учитель: Количество мальчиков ко всему количеству ребят в классе.
Ученики: 10: 24, или 5: 12
Учитель: Количество девочек ко всему количеству ребят в классе.
Ученики: 14: 24, или 7: 12
Учитель: Прекрасно! А как узнать сколько учащихся класса получили за работу «пять» если известно, что таких учеников шестая часть?
Ученики: 24: 6 = 4 (учащихся)
Учитель: Как узнать, сколько учащихся класса получили «четыре», если известно, что количество таких ребят относится к общему количеству учащихся как 2:6?
Ученики (после обсуждения): Мы не знаем, как разделить величину в данном отношении.

IV. Целеполагание

Учитель: Значит, мы должны научиться делить величину в данном отношении.
Записываем тему урока в тетрадь.

V. Учебные действия

Задача. Отец с сыном собрали 18 кг яблок, причем отец собрал в 2 раза больше яблок, чем сын. Сколько килограммов яблок собрал каждый из них?
Решим задачу.
Поскольку отец собрал в 2 раза больше яблок, то количество собранных отцом и сыном яблок находится в отношении 2: 1 . Значит, нужно 18 кг разделить на две части, отношение которых равно 2: 1. Всего имеется 2 + 1 = 3 части, тогда на каждую часть приходится 18: 3 = 6 (кг) яблок.
Поскольку сын собрал одну часть, то на его долю приходится 6 * 1 = 6 (кг) яблок. Отец собрал 2 части, то есть 6 * 2 = 12 (кг) яблок.
– Скажите, какие действия мы последовательно выполняли, чтобы решить задачу?

1. Узнали, сколько частей собранных яблок принадлежит отцу, а сколько сыну.
2. Сложили эти части, получив общее количество частей.
3. Разделили 18 кг собранных яблок на общее количество частей, получив, сколько килограммов яблок приходится на каждую часть.
4. Вычислили, сколько яблок собрал отец и сколько сын.

Учитель. Рассмотрим еще один пример.
Разобрать пример из учебника и также выделить последовательность действий, которые необходимо было совершить, чтобы решить задачу.
Учитель. Мы рассмотрели решение двух задач. Что общего в этих задачах
Ученики. Для их решения необходимо было разделить величину в данном отношении.
Учитель. Сравните действия, которые мы выполняли, чтобы разделить величины в данном отношении.
Ученики. Они похожи.
Учитель. Попробуйте вывести алгоритм деления величины в данном отношении

Алгоритм

Чтобы разделить число в отношении а : в , нужно:

1. Сложить а и в . (Получим общее количество частей.)
2. Разделить данное число на а + в . (Получим, сколько приходится на каждую часть.)
3. а а частей данного числа.)
4. Умножить результат деления на в . (Получим число, которое содержит в частей данного числа.)

– А теперь, работая в группах, придумайте сами задачи, которые решались бы с помощью данного алгоритма.

VI. Контроль

Заполните таблицу.

Учитель: Как разделить величину в данном отношении. Необходимо, чтобы учащиеся несколько раз проговорили этот алгоритм (можно своими словами).

VII. Оценка

Самооценка с помощью пятибалльной шкалы.

Несмотря на то что математика кажется большинству людей наукой сложной, это далеко не так. Многие математические операции довольно легко понять, особенно если знать правила и формулы. Так, зная таблицу умножения, можно быстро перемножать в уме Главное - постоянно тренироваться и не забывать правил умножения. То же самое можно сказать и о делении.

Давайте же разберем деление целых чисел, дробных и отрицательных. Вспомним об основных правилах, приемах и методах.

Операция деления

Начнем, пожалуй, с самого определения и названия чисел, которые участвуют в данной операции. Это значительно облегчит дальнейшее изложение и восприятие информации.

Деление - одна из четырех основных математических операций. Изучение ее начинается еще в начальной школе. Именно тогда детям показывают первый пример деления числа на число, объясняют правила.

В операции участвуют два числа: делимое и делитель. Первое - число, которое делят, второе - на которое делят. Результатом деления является частное.

Имеется несколько обозначений для записи данной операции: «:», «/» и горизонтальная черта - запись в виде дроби, когда вверху находится делимое, а внизу, под чертой - делитель.

Правила

При изучении той или иной математической операции учитель обязан познакомить учеников с основными правилами, которые следует знать. Правда, не всегда они запоминаются так хорошо, как хотелось бы. Именно поэтому мы решили немного освежить в вашей памяти четыре фундаментальных правила.

Основные правила деления чисел, которые стоит помнить всегда:

1. Делить на ноль нельзя. Это правило следует запомнить в первую очередь.

2. Делить ноль можно на любое число, но в итоге всегда будет ноль.

3. Если число поделить на единицу, мы получим то же число.

4. Если число разделить на само себя, мы получим единицу.

Как видите, правила довольно простые и легко запоминаются. Хотя некоторые и могут забывать такое простое правило, как невозможность или же путать с ним деление ноля на число.

на число

Одно из наиболее полезных правил - признак, по которому определяется возможность деления натурального числа на другое без остатка. Так, выделяют признаки делимости на 2, 3, 5, 6, 9, 10. Рассмотрим их подробнее. Они существенно облегчают выполнение операций над числами. Также приведем для каждого правила пример деления числа на число.

Данные правила-признаки довольно широко используются математиками.

Признак делимости на 2

Наиболее простой для запоминания признак. Число, которое оканчивается на четную цифру (2, 4, 6, 8) или 0, всегда делится на два нацело. Довольно просто для запоминания и использования. Так, число 236 оканчивается на четную цифру, а значит, делится на два нацело.

Проверим: 236:2 = 118. Действительно, 236 делится на 2 без остатка.

Данное правило наиболее известно не только взрослым, но и детям.

Признак делимости на 3

Как правильно выполнить деление чисел на 3? Запомнить следующее правило.

Число делится на 3 нацело в том случае, если сумма его цифр кратна трем. Для примера возьмем число 381. Сумма всех цифр будет составлять 12. Данное трем, а значит делится на 3 без остатка.

Также проверим данный пример. 381: 3 = 127, значит все верно.

Признак делимости чисел на 5

Тут также все просто. Разделить на 5 без остатка можно лишь те числа, которые оканчиваются на 5 либо же на 0. Для примера возьмем такие числа, как 705 или же 800. Первое заканчивается на 5, второе - на ноль, следовательно они оба делятся на 5. Это одно из простейших правил, которое позволяет быстро осуществлять деление на однозначное число 5.

Проверим данный признак на таких примерах: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Как видите, признак действует.

Делимость на 6

Если вы хотите узнать, делится ли число на 6, то вам сначала нужно выяснить, делится ли оно на 2, а затем - на 3. Если да, то число можно без остатка разделить на 6. К примеру, число 216 делится и на 2, так как заканчивается на четную цифру, и на 3, так как сумма цифр равна 9.

Проверим: 216:6 = 36. Пример показывает, что данный признак действует.

Делимость на 9

Поговорим также и о том, как осуществить деление чисел на 9. На данное число делятся те сумма цифр которых кратна 9. Аналогично правилу деления на 3. Например, число 918. Сложим все цифры и получим 18 - число, кратное 9. Значит, оно делится на 9 без остатка.

Решим данный пример для проверки: 918:9 = 102.

Делимость на 10

Последний признак, который стоит знать. На 10 делятся только те числа, которые оканчиваются на 0. Данную закономерность довольно просто и легко запомнить. Так, 500:10 = 50.

Вот и все основные признаки. Запомнив их, вы сможете облегчить себе жизнь. Конечно, есть и другие числа, для которых существуют признаки делимости, но мы с вами выделили лишь основные из них.

Таблица деления

В математике существует не только таблица умножения, но и таблица деления. Выучив ее, можно с легкостью выполнять операции. По сути, таблица деления представляет собой таблицу умножения наоборот. Составить ее самостоятельно не представляет труда. Для этого следует переписать каждую строку из таблицы умножения таким образом:

1. Ставим произведение числа на первое место.

2. Ставим знак деления и записываем второй множитель из таблицы.

3. После знака равенства записываем первый множитель.

Например, возьмем следующую строку из таблицы умножения: 2*3= 6. Теперь перепишим ее согласно алгоритму и получим: 6 ÷ 3 = 2.

Довольно часто детей просят самостоятельно составить таблицу, таким образом развивая их память и внимание.

Если же у вас нет времени на ее написание, то можете воспользоваться представленной в статье.

Виды деления

Поговорим немного о видах деления.

Начнем с того, что можно выделить деление целых чисел и дробных. При этом в первом случае можно говорить об операциях с целыми числами и десятичными дробями, а во втором - только о дробных числах. При этом дробным может являться как делимое или делитель, так и оба одновременно. связано с тем, что операции над дробями отличаются от операций с целыми числами.

Исходя из чисел, которые участвуют в операции, можно выделить два вида деления: на однозначные числа и на многозначные. Наиболее простым считается деление на однозначное число. Здесь вам не нужно будет проводить громоздкие вычисления. К тому же хорошо может помочь таблица деления. Делить же на другие - двух-, трехзначные числа - тяжелее.

Рассмотрим примеры для данных видов деления:

14:7 = 2 (деление на однозначное число).

240:12 = 20 (деление на двузначное число).

45387: 123 = 369 (деление на трехзначное число).

Последним можно выделить деление, в котором участвуют положительные и отрицательные числа. При работе с последними следует знать правила, по которым происходит присвоение результату положительного или отрицательного значения.

При делении чисел с разными знаками (делимое - число положительное, делитель - отрицательное, или наоборот) мы получаем отрицательное число. При делении чисел с одним знаком (и делимое, и делитель - положительные или же наоборот) - получаем число положительное.

Рассмотрим для наглядности следующие примеры:

Деление дробей

Итак, мы с вами разобрали основные правила, привели пример деления числа на число, теперь поговорим о том, как правильно выполнять эти же операции с дробями.

Несмотря на то что деление дробей поначалу кажется довольно тяжелым делом, в действительности работать с ними не так уж и трудно. Деление дроби выполняется практически так же, как и умножение, но с одним отличием.

Для того чтобы разделить дробь, следует сначала умножить числитель делимого на знаменатель делителя и зафиксировать полученный результат в виде числителя частного. Затем умножить знаменатель делимого на числитель делителя и записать результат как знаменатель частного.

Можно сделать и проще. Переписать дробь делителя, поменяв местами числитель со знаменателем, а затем перемножить полученные числа.

Например, разделим две дроби: 4/5:3/9. Для начала перевернем делитель, получим 9/3. Теперь перемножим дроби: 4/5 * 9/3 = 36/15.

Как видите, все довольно легко и не сложнее, чем деление на однозначное число. Примеры на решаются просто, если не забывать данное правило.

Выводы

Деление - одна из математических операций, которые каждый ребенок изучает еще в начальной школе. Есть определенные правила, которые следует знать, приемы, облегчающие выполнение данной операции. Деление бывает с остатком и без, бывает деление отрицательных и дробных чисел.

Запомнить особенности данной математической операции довольно легко. Мы с вами разобрали наиболее важные моменты, рассмотрели не один пример деления числа на число, даже поговорили о том, как работать с дробными числами.

Если вы хотите улучшить свое знание математики, советуем вам запомнить эти несложные правила. Кроме того, можем посоветовать вам развивать память и навыки счета в уме, выполняя математические диктанты или просто пытаясь высчитать устно частное двух случайных чисел. Поверьте, эти навыки никогда не будут лишними.

Глава 3 ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ

§ 15. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ. МАСШТАБ

1. Пропорциональное деление

На практике часто возникают задачи с требованием поделить некоторую величину в заданном отношении: распределение доходов, приготовления различных смесей или блюд и тому подобное. Чтобы решить такие задачи, надо выполнить пропорциональное деление данной величины.

На рисунке 16 вы видите отрезок A В, точка С делит в отношении 2: 3. Можем составить пропорцию:

Из этой пропорции следует, что

Пусть значение отношений данной пропорции равен k , тогда Отсюда то есть АС = 2 k и ВС = 3 k . Итак, мы осуществили пропорциональное деление отрезка АВ в отношении 2: 3 и выразили длины его частей АС и ВС через число k (рис. 17).

Рис. 16

Рис. 17

Запомните!

Число, которое равно значению отношений пропорции, называется коэффициентом пропорциональности.

Коэффициент пропорциональности обозначают буквой k . Иногда приходится пропорционально делить величину более чем на две части. И здесь снова на помощь приходит коэффициент пропорциональности.

Задача 1. Разделите число 60 в отношении 3:4:5 .

Решения. Пусть к - коэффициент пропорциональности. Тогда первая часть данного числа равна 3к, вторая - Ah , а третья - 5к. Поскольку число, которое надо разделить, равен 60, то можем составить уравнение: 3 k + Ah + 5 k = 60. Отсюда: к = 5. Итак, первая часть числа равна 3 ∙ 5 = 15, вторая - 4 ∙ 5 = 20, а третья - 5 ∙ 5= 25.

2. Масштаб

Для изображения на бумаге предметов из окружающего мира нужно менять их реальные размеры: большие предметы доводит вся уменьшать, а маленькие, наоборот, увеличивать. Но для того, чтобы чертеж или план давали правил вне представления о предметах, необходимо изменять их размеры пропорционально. Для этого используют масштаб изображения.

Чаще всего масштаб применяют для создания географических карт.

Запомните!

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называется масштабом карты.

Обозначают: «М: 1: 1 000 000». Этот зал с означает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности.

Задача 2 . Расстояние между Черкассами и Харьковом на карте равна 4,1 см. Найдите расстояние между этими городами на местности, если масштаб карты 1:10 000 000.

Решения.

На карте: 4,1 см -1см

На местности: х -10000000 см

Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 4,1: х. Значение данного отношения равен значению масштаба карты, следовательно, 4,1: х=1:10 000 000.

Отсюда

Следовательно, расстояние от Черкасс до Харькова - 410 км.

Как записать масштаб изображения, если на нем нужно увеличить реальные размеры предмета например, в 1000 раз. В таком случае масштаб записывают наоборот: 1000: 1. Такой масштаб понадобится, когда нужно изобразить, например, детали часов

Узнайте больше

1. Слово «коэффициент» происходит от латинского Coefficiens , что состоит из двух слов: Со - «вместе »и efficiens - «производящий». Обозначает множитель, который обычно выражается числом. Термин ввел Ф. Вієт.

2. Слово «масштаб» происходит от немецкого Mabstab - «линейка», что состоит из двух слов: Ма b - «мера и Stab - «веха».

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Какие задачи относят к задачам на пропорциональное деление? Приведите примеры.

2. Что такое коэффициент пропорциональности?

3. Как решают задачи на пропорциональное деление?

4. Что называется масштабом карты?

5. Как решают задачи с применением масштаба?

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

629". Назовите части отрезка AB (рис. 18-19).

Рис. 18

Ma л . 19

630". Правильно. что коэффициент пропорциональности равен:

1) пропорции; 2) отношению; 3) значению отношения;

4) значению отношений пропорции?

631". Правильного масштаб карты - это:

1) число; 2) величина; 3) выражение?

632". Что показывает масштаб карты:

1)1:100 000; 2)1:5 000000; 3)1:500; 4)1:2000?

633". Что показывает масштаб изображения:

1)4:1; 2)10:1; 3)50:1; 4)400:1?

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23

634°. Какой коэффициент пропорциональности закрашенной и незакрашенной частей: 1) шестиугольника (рис. 20); 2) треугольника (рис. 21)?

635°. Какой коэффициент пропорциональности: 1) закрашенной и незакрашенной частей квадрата (рис. 22); 2) двух частей отрезка MN (рис. 23)?

636°. Для нахождения частей, на которые разделен число 21 в отношении 3: 4, Сережа составил уравнения;

1)3 x + 4х = 7; 2)3 + 4 = 21х; 3) 3х + 4х = 21.

Правильно ли он это сделал?

637°. Поделите число 24 в отношении:

1)1:3; 2)3:5; 3) 1: 2: 5; 4) 2: 2: 4.

638°. Разделите число 30 в отношении:

1)1:2; 2)3: 4: 8.

639°. Два числа относятся, как 5: 3. Найдите эти числа, если;

1) их сумма равна 40; 2) их разность равна 16.

640°. Два числа относятся, как 4: 1. Найдите эти числа, если:

1) их сумма равна 25; 2) их разность равна 21.

641°. Отрезок АВ длиной 18 см точкой С разделен в отношении 2: 7. Найдите длину каждой части.

642°. Отрезок АС длиной 24 см точкой с разделен в отношении: 5. Найдите длину каждой части.

643°. Два отреза одинаковой ткани стоят 320 грн. Длина первого отрезка составляет 5 м, а второго - 3 м. Сколько стоит каждый отрез ткани?

644°. Две школы закупили билеты в театр и заплатили за них 12 200 грн. Сколько заплатила каждая школа, если театр посетили 286 учащихся первой школы и 324 ученики - второй?

645°. Латунь представляет собой сплав меди и олова. Сколько граммов меди и сколько граммов олова содержит 270 г латуни, если для сплава нужно взять 1 часть олова и 2 части меди?

646°. Для сплава берут одну часть свинца и три части олова. Сколько граммов свинца и олова содержится в 600 г сплава?

647°. Каким является масштаб карты, если длина отрезка АВ:

1) на карте в 20 000 раз меньше, чем на местности;

2) на местности в 400 раз больше, чем на карте?

648°. Каким является масштаб карты, если длина отрезка CD .

1) на карте в 50 000 раз меньше, чем на местности;

2) на местности в 1000 раз больше, чем на карте?

649°. Какой будет длина отрезка АВ на местности, если отрезок АВ = 1 см изображен на карте с масштабом 1: 100 000?

650 Какой будет длина отрезка CD на местности, если отрезок CD = 1 см изображен на карте с масштабом 1:10 000?

651°. Масштаб карты 1: 500 000. Определите расстояние на местности, если на карте оно изображено отрезком:

1)1см; 2) Зсм; 3) 4,5 см; 4) 6 см 2 мм.

652°. Масштаб карты 1: 4 000 000. Определите расстояние на местности, если на карте оно изображено отрезком:

1) 2 см; 2) 5 см 5 мм.

653°. Расстояние между Киевом и Винницей составляет 260 км. Чему равно расстояние между этими городами на карте, масштаб которой:

1)1: 10000000; 2)1: 4 000000?

654°. Расстояние между Донецком и Житомиром составляет 880 км. Чему равно расстояние между этими городами на карте, масштаб которой 1: 10 000 000?

655. Отрезок ВС точкой А разделен в отношении 3: 8, причем одна из частей на 5 см больше другой. Найдите длину каждой части.

656. Отрезок АВ точкой С разделен в отношении 4: 7, причем одна из частей на 9 см меньше другой. Найдите длину каждой части.

657. Отрезок CD длиной 48 см точками А и В разделили в отношении 5:3:4. Найдите длину каждой части.

658. Отрезок АВ длиной 36 см точками С и D разделен в отношении 4:3:2. Найдите длину каждой части.

659. Некоторое расстояние пассажирский поезд преодолевает за 10 ч 30 мин, а товарный - за 12 часов. Какое расстояние проедут до встречи поезда, если они отправятся одновременно из двух городов, расстояние между которыми 465 км?

660. Первый спортсмен пробегает 100 м за 12 с, а второй - за 13 сек. Сколько метров пробежит каждый спортсмен до встречи, если они начнут бег одновременно навстречу друг другу, разойдясь на 200 м?

Рис. 24

661. Первая машинистка может напечатать 90 страниц за час, а вторая - за 7 час. Как распределить машинисткам между собой 90 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?

662. Первая бригада может изготовить 70 деталей за 4 ч, а вторая - за 3 часа. Как распределить бригадам между собой 70 деталей, чтобы они выполнили задачу в кратчайший срок?

663. Для приготовления строительного раствора на 2 части цемента берут 2 части песка и 0,8 частей воды. Сколько килограммов строительного раствора получат, если возьмут 100 кг цемента?

664. Для приготовления напитка берут 2 части вишневого сока, Из части воды и 1 часть меда. Сколько напитка получат, если возьмут 400 г вишневого сока?

665. Огород имеет форму прямоугольника, длина которого составляет 360 м, а ширина - 240 м. Какие размеры будет иметь изображение этого огорода на плане, выполненном в масштабе 1: 500?

666. План комнаты имеет форму прямоугольника со сторонами 20 мм и 30 мм. Какие размеры имеет комната, если план выполнен в масштабе 1:300?

671 *. Три числа относятся, как Найдите эти числа, если известно, что первое число меньше половины второго числа на 32.

672*. Определите масштаб плана, если лес площадью 4 га на плане занимает 1 см2.

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

673. Для пошива платья Татьянка сделала выкройку по чертежу в журнале. Длина изделия на выкройке платья равняется 75 см. Вычислите масштаб чертежа в журнале, если на нем длина платья равна 15 см.

674. Длина детали - 30 мм. Какой использовали масштаб, если на чертеже длина детали равна 60 мм?

675. Начертите в масштабе 1: 50 план:

1) класс; 2) одной из комнат своей квартиры.

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

676. Вычислите устно, какое число нужно вписать в последнюю клеточку цепочки.

677. Найдите:

678. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из села на станцию. Велосипедист ехал со скоростью 18 км/ч и через полчаса обогнал пешехода на 7 км. С какой скоростью шел пешеход?

667. По карте (рис. 24) определите расстояние между: 1) Николаевом и Ровным; 2) Киевом и Ужгородом; 3) Черниговом и Одессой; 4) Луганском и Черновцами.

668. По карте (рис. 24) определите расстояние между: 1) Черкассами и Львовом; 2) Харьковом и Ивано-Франковском.

669*. Сумма четырех чисел равна 4,2. Первые три числа относятся, как 1,2: 4: 0,8, а четвертое число составляет 0,6 от второго. Найдите первое число.

670*. Число 144 разделен на три части х, у, z так, что х: у = 3: 2, у: z = 4: 5. Найдите части данного числа.