Главная » Электродвигатели » Признаки возрастания и убывания функции. Признаки локального возрастания и убывания функции

Признаки возрастания и убывания функции. Признаки локального возрастания и убывания функции

Признаки локального возрастания и убывания функции.

Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.

Достаточный признак возрастания функции . Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции . Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х 1 и x 2 из интервала. Пусть x 1 существует число с∈(х 1 , x 2 ), такое, что

(1)

Число с принадлежит интервалу I, так как точки х 1 и x 2 принадлежат I. Если f"(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x 1 )) — это следует из формулы (1), так как x 2 — x 1 >0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (х 2 ) — следует из формулы (1), так как x 2 —x 1 >0. Доказано убывание функции f на I.

Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).

Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f"(t) (см. Мгновенная скорость ). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t 1 ). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.

Замечание 1.

Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

Замечание 2.

Для решения неравенств f" (х)>0 и f" (х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции в точке.

Необходимое условие экстремума

Функция g(x) в точке имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки и для всех точек x некоторой области: , выполнено соответственно неравенство

(в случае максимума) или (в случае минимума).

Экстремум функции находиться из условия: , если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.

Достаточное условие экстремума

1) Первое достаточное условие :

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом

Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.

2) Второе достаточное условие

Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точкепервая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точкаэкстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.

Пусть f непрерывна на отрезке и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда существует внутренняя точка с этого отрезка, такая, что касательная к графику функции, проведенная в точке с абсциссой с, параллельна хорде АВ, где A(а;f(x)) и B(b;f(x)). Или: на гладкой дуге АВ всегда есть точка с, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

Пусть f непрерывна на отрезке и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда существует внутренняя точка с этого отрезка, такая, что

Следствие 1:если функция f непрерывна на отрезке , а её производная равна нулю внутри этого отрезка, то функция f постоянна на отрезке .

Следствие 2: Если функции f и g непрерывны на отрезке и имеют одинаковые производные внутри этого отрезка, то они отличаются постоянным слагаемым.

2. Достаточный признак возрастания функции:

Если f[/](x)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на интервале I.

3. Достаточный признак убывания функции:

Если f[/](x)

Докажем эти признаки по формуле Лагранжа:

Возьмем два любых числа и из интервала. Пусть. По формуле Лагранжа существует число, такое, что.

Число c принадлежит интервалу I, так как точки и принадлежат этому интервалу. Если f[/](x)>0 для, то f[/](с) >0 , и поэтому - это следует из формулы (1), так как ->0. Этим доказано возрастание функций f на интервале I. Если же f[/](x) 0. Доказано убывание функции f на интервале I.

Пример 1. найдите промежутки возрастания и убывания функции

2. Найдем производную функции и ее критические точки: или

3. Отметим на числовой оси точки экстремумов и найдем промежутки возрастания и убывания функции

Ответ: - функция возрастает

Функция убывает

Пример 2. Исследуйте на возрастание (убывание) функцию:

2. Найдем производную и точки экстремумов функции:

3. Отметим критическую точку на числовой оси и найдем промежутки возрастания (убывания) функции:

Ответ: - функция убывает

Функция возрастает

II. Критические точки. Признаки нахождения максимума и минимума функции.

1. Критические точки

Определение: критические точки функции - это внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует.

№1. Найдите критические точки функции f: а) g(x) =

Ответ: , где; , где б) g(x) =

2. Признаки нахождения максимума и минимума функции.

Признак максимума функций:

Если функция f непрерывна в точке х0 , а f[/](x)>0 на интервале (а;х0) и f[/](x)

Или: если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.

Доказательство:

Производная f[/](x)>0 на интервале (а;х0), а функция непрерывна в точке х0 ,следовательно функция f возрастает на промежутке (a; х0], и потому f(x)

На промежутке [х0;в) функция убывает, и потому f(x)

Признаки минимума функции:

Если функция f непрерывна в точке х0 , а f[/](x) 0 на интервале (х0;в), то точка х0 является точкой минимума функции f.

Или: если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

Доказательство:

Производная f[/](x) f (x0) для всех х из интервала (а;х0).

На промежутке [х0;в) функция f возрастает, и потому f(x) >f (x0) для всех из интервала (а;в), то есть х0 есть точка минимума f.

III. Вторая производная. Признаки выпуклости и вогнутости.

Пусть и в точке существует вторая производная. Тогда, если, то точка является точкой минимума, а если, то точка является точкой максимума функции.

Если, то выпуклость направлена вниз. Если, то выпуклость направлена вверх.

IV. Наклонные асимптоты

Определение: Прямая является наклонной асимптотой графика функции, где и

Уравнение наклонной асимптоты

Вертикальные асимптоты уравнение наклонной асимптоты

V. План исследования функции

1. Найдем область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность (нечетность).

3. Найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции.

4. Найти производную.

5. Найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания функции.

6. Составить таблицу.

7. Найти вторую производную.

8. Найти точки перегиба графика функции и установить интервалы выпуклости и вогнутости этого графика.

9. Найти асимптоты графика функции, если это необходимо.

10. Построить эскиз графика данной функции.

11. Найти множество значений функции.

VI. Примеры на исследование функции

2). О четности функции говорить нельзя.

5) Найдем точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания функции:

Функция возрастает

Функция убывает

6) Составим таблицу х

7) Найдем вторую производную

8) Найдем точки перегиба: или

Выпуклость вверх

Выпуклость вниз

9) Найдем наклонные асимптоты не существует. наклонных асимптот нет.

10) График

; х=2 - вертикальная асимптота

2). О четности функции говорить нельзя

3) Найдем точки пересечения графика с осью ОХ.

Найдем точки пересечения графика с осью ОУ.

4) Найдем производную функции:

5) Найдем точки экстремума функции и точки возрастания и убывания функции:

Функция возрастает

Функция убывает

6) Составим таблицу х

7) Найдем вторую производную:

8) Найдем точки перегиба: точек перегиба нет

Выпуклость вниз

Выпуклость вверх

Уравнение наклонной асимптоты

10) График

Вертикальная асимптота

2) о четности функции говорить нельзя

Точек пересечения с осью OX нет.

Не существует. Таких точек нет.

4) Найдем производную:

Функция убывает

Функция возрастает

6) Составим таблицу:

7) Построим график функции:

Вертикальная асимптота

2) - о четности функции говорить нельзя

3) Найдем точки пересечения графика с осью OX.

Найдем точки пересечения графика с осью OY.

4) Найдем производную:

5) Найдем точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания функции.

Критических точек нет.

Точек max и min нет.

6) Составим таблицу:

↘ 7) Найдем вторую производную:

8) Найдем точки перегиба графика функции и установим интервалы выпуклости и вогнутости:

Точек перегиба нет.

Выпуклость вверх

Выпуклость вниз

9) Найдем наклонные асимптоты:

Уравнение горизонтальной асимптоты, т. к. k = 0.

10) Построим график функции:

; - вертикальные асимптоты

2) - функция нечетная, так как. График симметричен относительно начала координат.

3) Найдем точки пересечения графика с осью OX.

Найдем точки пересечения графика с осью OY.

4) Найдем производную:

5) Найдем точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции:

Нет решения.

Функция убывает

Функция возрастает

6) Составим таблицу:

↘ Не сущ.

↗ 7) Найдем наклонные асимптоты:

Наклонных асимптот нет.

8) Найдем вторую производную:

9) Найдем точки перегиба: или или

Выпуклость вниз

Выпуклость вверх

10) Построим график

VII. Историческая справка.

Совсем иным был конец жизненного пути другого творца математического анализа - Готфрида Вильгельма Лей - бница (1646 - 1716). Но обо всем по порядку.

Его предки были выходцами из Польши и носили фамилию Любениц. После переселения в Лейпциг" фамилия их стала произноситься на немецкий лад. Интересно отметить, что и само название этого города тоже славянское, оно означает >. Лейбниц родился в семье профессора философии Лейпцигского университета. Он рано лишился родителей: в 6 лет остался без отца, а в 17 - без матери. В школьные годы Лейбниц поражал своих учителей умением слагать стихи на латинском и греческом языках, увлеченностью философией и математикой. Он отличался большой любознательностью, многие предметы изучал самостоятельно, до знакомства с ними в школе. Память у него была неровной: легко запоминал сложные вещи и хуже - простые; не мог долго производить вычисления, но тяготел к обобщениям и абстракциям. И такая память и склад мышления сохранились у Лейбница на всю жизнь.

В 15. лет Лейбниц - студент философского факультета Лейпцигского университета. Этот факультет был подготовитель - ным для юридического и богословского. Закончив с блеском философский, а затем юридический факультет, 20-летний Лейбниц не смог получить желаемой должности в родном городе. Консервативные порядки в университете ставили материальные преграды к получению докторской степени. Он едет в Нюрнберг и в тамошнем университете с небывалым успехом защищает юридическую диссертацию на степень доктора. Необычайный талант молодого ученого был замечен. Его приглашает на дипломатическую службу курфюрст (князь, имеющий право выбора короля) города Майнца, а позже - ганноверский герцог.

Находясь по делам курфюрста в Париже, Лейбниц встречается со многими известными учеными. Обсуждения различных проблем пробуждают в нем интерес к математике. Позже в письме к И. Бернулли он вспоминал: >. По окончании универси - тета (1666) Лейбниц опубликовал философско-математическую работу >, так что, говоря о своем >, он имел в виду неосведомленность о последних достижениях математики. Чтобы познакомиться с новыми результатами и идеями, возникшими в то время в математике, он обращается за помощью к Гюйгенсу. Тот советует ему внимательно изучить ряд работ, и Лейбниц с завидным рвением берется за дело: изучает труды Сен-Винцента и Валлиса, Декарта и Паскаля, занимается собственными исследованиями.

Но когда он по дипломатическим делам попадает в Лондон и сообщает о своих результатах английским математикам, то с удивлением узнает, что многие из этих результатов им уже известны из рукописи Ньютона >, хранящейся в Королевском обществе. Лейбниц через секретаря этого общества Ольденбурга (1615 - 1677) пишет Ньютону о своих работах. В том же письме он просит Ньютона сообщить его результаты. В ответ он получает (опять через Ольденбурга) два письма, в которых Ньютон разъясняет операции дифференцирования и интегрирования с помощью рядов.

Лейбниц не спешил обнародовать свои результаты в области нового исчисления, возможно, ожидая публикаций Ньютона. Но в 1683 г. Чирнгауз печатает статью о квадратуре алгебраических кривых. В ней не упоминается имя Лейбница, хотя в решении этих вопросов Чирнгауз многим был ему обязан. Чтобы сохранить пальму первенства в этой области, Лейбниц в следующем году печатает статью >, а через год - >. В первой из них содержались основы дифференциального исчисления, во второй - интегрального.

В основу новой науки он положил понятие дифференциала. Сейчас дифференциал df(x0) функции y=f(x) в точке х0 задается формулой df(xo) = f"(xo)dx, где f"(xb) - производная, вычисленная в точке хо, их - приращение аргумента. У Лейбница дифферен - циал определяется как один из катетов характеристического треугольника, о котором шла речь в предыдущей главе (п. 9). Из рисунка 46 видно, что эти определения эквивалентны.

Лейбниц дает правила вычисления дифференциала суммы, разности, произведения, частного, степени, решает дифференци - альные уравнения. Интеграл он определяет как сумму дифференци - алов, подчеркивая взаимную обратность операций дифференциро - вания и интегрирования: >. Откуда вытекают свойст - ва интегралов и способы их вычисле - ния. В последующих статьях Лейбниц развил новый анализ. Он доказал, что любая интегрируемая функция являет - ся ограниченной (необходимое усло - вие интегрируемости), разработал ал - горитм вычисления некоторых типов интегралов, в частности способ интег - рирования рациональных функций. Значение этого способа невозможно переоценить, так как с помощью раз - личных подстановок к интегралам от рациональных функций сводится масса самых разнообразных интегралов. Остановимся на этом способе подробнее.

Для графического решения задачи интегрирования произволь - ных функций Лейбниц придумал (1693) механический прибор - интегратор. Если перемещать один штифт этого прибора по графику функции, то другой вычерчивает график первообразной.

Разработанными Лейбницем алгоритмами и обозначениями мы пользуемся и поныне, как и большинством введенных им математических терминов: функция, переменная, постоянная, координаты, абсцисса, алгоритм, дифференциал и др. Многие из этих терминов употреблялись и раньше, но не имели того конкретного значения, которое придал им Лейбниц.

В начале следующего столетия разгорелась бурная дискуссия о приоритете изобретения анализа. Поводом к ней послужила рецензия (1704) Лейбница на работу Ньютона >, где он указал на идейную общность трактовки бесконечно малой у Ньютона и Фабри. Такое сравнение великого англичанина с малоизвестным французским математиком О н о -ре Фабри (1607 - 1688) вызвало > негодование английских ученых. (А Лейбниц не имел никаких задних мыслей; просто книга Фабри была одной из немногих, которая помогла ему в парижский период ликвидировать >.) Они увидели в этом принижение заслуг Ньютона, и началось. В этом споре права Ньютона отстаивали английские ученые, а Лейбница - континентальные. Поддержка Лейбница большинством континентальных математиков объяснялась тем, что его обозначения оказались столь совершенными, а само учение столь доступным, что сразу нашли сторонников среди многих ученых Европы, что бывает крайне редко при появлении новой теории.

По-видимому, именно этот спор имел в виду замечательный русский поэт Валерий Брюсов, когда писал такие строки:

О Лейбниц, о мудрец, создатель вещих книг! Ты выше мира был, как древние пророки. Твой век, дивясь тебе, пророчеств не достиг И с лестью смешивал безумные упреки.

На самом же деле претензии обеих сторон были безоснователь - ными. Оба ученых независимо пришли к созданию дифференциаль - ного и интегрального исчислений, да и подходы у них были совершенно разные. Ньютон использовал аппарат степенных рядов, а Лейбниц - понятие дифференциала. Разгоревшийся спор привел к тому, что английские математики игнорировали все, что исходило от Лейбница и его школы, а континентальные - работы англичан. Поскольку на континенте опирались на более совершен - ную, чем ньютоновская, символику Лейбница и ученые были объединены общими идеями, опубликованными и доступными каждому, то континентальные математики в посленьютоновский период далеко ушли вперед в сравнении с английскими.

Однако в судьбе Лейбница вражда между английскими и континентальными математиками сыграла роковую роль. Герцог, у которого он служил библиотекарем, историком и био - графом, став (1714) английским королем, уехал в Лондон. По - следовать за ним Лейбниц не мог из-за испорченных отношений с английскими математиками. К тому же герцог был недоволен своим историографом, считая, что он недостаточно уделяет вни - мания своим прямым служебным обязанностям. Лейбницу при - шлось остаться и работать в библиотеке герцога. Немилость ново - испеченного английского короля привела к тому, что окружение ученого сильно поредело. Через два года он умер, провожаемый в последний путь только секретарем и могильщиками. Обидная несправедливость судьбы по отношению к великому ученому, которым было сделано очень много.

Несмотря на огромную занятость по составлению истории герцогского дома, превратившейся в историю Западной Европы, и другие отвлекающие от науки обязанности, Лейбниц оставил множество работ по математике, философии, биологии, теории познания, политике, праву, языкознанию. Будучи всесторонне талантливым ученым, он внес неоценимый вклад в каждую из этих областей. Идеи у него сыпались как из рога изобилия: каждое письмо, любая заметка или статья содержали нечто принципиально новое в рассматриваемой области науки, подчас определяющее дальнейшее ее развитие. Многое было сделано при его непосред - ственном участии. В Берлине он организовал научное общество, преобразованное впоследствии в берлинскую АН, и стал первым его президентом. Он был первым иностранным членом Парижской АН. Лейбниц неоднократно встречался в Берлине с Петром I, для которого разработал ряд проектов развития образования и госу - дарственного правления России, а также создания Петербургской АН.

Но наиболее весомым оказался его вклад в математику. Вступив в нее >, он смог полностью ее преобразовать. После его работ и трудов его ближайших сподвижников не только появился математический анализ, но и вся математика вступила в новую эпоху.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называютминимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;

если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x=0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Класс : 10

Ход урока:

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Ресурсы

2 мин

I. Организационный момент.

Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, желает успеха.

Осмысливают поставленную цель.

Тетради

5 мин

II. Проверка домашнего задания: нбх.прорешать нерешенные задания, объяснить.

Демонстрируют свои знания.

Таблицы

10 мин

II. Изучение новой темы

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а ; в ), т.е.f"(x ) > 0, то функция в этом интервале возрастает.
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а ; в ), т.е.f" (x ) < 0, то функция в этом интервале убывает.

Порядок нахождения промежутков монотонности:

Найти область определения функции.

Найти первую производную функции.

Найти критические точки, исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции.

Найти промежутки монотонности функций.

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точку смены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет.

Рассмотрим несколько примеров исследования функции на возрастание и убывание.

Найдите промежутки возрастания и убывания функции

1) f(x) = 3- 0,5x,

2) f(x) = - x2+2x-3,

3) f(x) = 4x-5,

4) f(x) = 5x 2- 3x+1.

(-∞;1)-возрастает, (1;+∞)-убывает

(-∞;+∞)-возрастает

(-∞;0,3)-возрастает, (0,3;+∞)-убывает

(-∞;+∞)-убывает

Демонстрируют умения.

Постеры

Формулы

Учебник

мин

IV. Закрепление знаний Работа с учебником № 258, № 261

f ). 2. Найти f"(x ).

3. Найти стационарные точки, т.е. точки, где f"(x ) = 0 или f"(x ) не существует.
(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)

4. Расположить Д(f ) и эти точки на координатной прямой.

5. Определить знаки производной на каждом из интервалов

6. Применить признаки. 7. Записать ответ.

3 мин

V. Итог урока. самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности. Проводит рефлексию.

Что нового узнали на уроке?

Были ли для вас интересные моменты?

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Карточки

2 мин

VI. Домашняя работа. Объясняет особенности домашней работы № 259, № 257

записывают в дневниках.

Дневник

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика . К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.

Навигация по странице.

Возрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

На первом шаге нужно найти область определения функции . В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x=0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ:

Функция возрастает при , убывает на интервале (0;2] .

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.

Другими словами:

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

Находим область определения функции.
Находим производную функции на области определения.
Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

Пример.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2 .

Находим производную:

Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5 , знаменатель обращается в ноль при x=2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6 .

Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .

В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .

Графическая иллюстрация.

Ответ:

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке .

Пример.

Найдите точки экстремума и экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:

Найдем производную функции:

В точке x=0 производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:

В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0 (смотрите раздел исследование функции на непрерывность):

Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:

Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6 .