Écrire une matrice d'une forme quadratique en ligne. Réduction d'une forme quadratique à une forme canonique

220400 Algèbre et géométrie Tolstikov A.V.

Conférences 16. Formes bilinéaires et quadratiques.

Planifier

1. Forme bilinéaire et ses propriétés.

2. Forme quadratique. La matrice forme quadratique. Coordonner la transformation.

3. Réduire la forme quadratique à Forme canonique. Méthode de Lagrange.

4. La loi d'inertie des formes quadratiques.

5. Réduction d'une forme quadratique à une forme canonique en utilisant la méthode des valeurs propres.

6. Critère de Silverst pour la définition positive d'une forme quadratique.

1. Cours de géométrie analytique et d'algèbre linéaire. Moscou : Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Eléments d'algèbre linéaire et de géométrie analytique. 1997.

3. Voevodin V.V. Algèbre linéaire M. : Nauka 1980.

4. Collection de tâches pour les collèges techniques. Algèbre linéaire et bases analyse mathematique. Éd. Efimov A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Algèbre linéaire en questions et problèmes. Moscou : Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Forme bilinéaire et ses propriétés. Laisser être V - n-espace vectoriel dimensionnel sur le champ P

Définition 1.forme bilinéaire défini sur V, un tel affichage est appelé g: V2® P, qui à chaque paire ordonnée ( X , y ) vecteurs X , y de mises en V faire correspondre le numéro du champ P, noté g(X , y ), et linéaire dans chacune des variables X , y , c'est à dire. ayant des propriétés :

1) ("X , y , z Î V)g(X + y , z ) = g(X , z ) + g(y , z );

2) ("X , y Î V) ("un О P)g(une X , y ) = un g(X , y );

3) ("X , y , z Î V)g(X , y + z ) = g(X , y ) + g(X , z );

4) ("X , y Î V) ("un О P)g(X , une y ) = un g(X , y ).

Exemple 1. Tout produit scalaire défini sur un espace vectoriel V est une forme bilinéaire.

2 . Une fonction h(X , y ) = 2X 1 y 1 - X 2 y 2 +X 2 y 1 , où X = (X 1 ,X 2), y = (y 1 ,y 2) О R 2, forme bilinéaire sur R 2 .

Définition 2. Laisser être v = (v 1 , v 2 ,…, v n v.Matrice de forme bilinéaireg(X , y ) par rapport à la basev appelée matrice B=(b ij)n ´ n, dont les éléments sont calculés par la formule b ij = g(v je, v j):

Exemple 3. Forme bilinéaire matricielle h(X , y ) (voir exemple 2) par rapport à la base e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) est égal à .

Théorème 1. Laisser êtreColonnes de coordonnées X, Y respectivement de vecteursX , y en basev, B - matrice de forme bilinéaireg(X , y ) par rapport à la basev. Alors la forme bilinéaire peut s'écrire

g(X , y )=X t PAR. (1)

Preuve. Par les propriétés de la forme bilinéaire, on obtient

Exemple 3. forme bilinéaire h(X , y ) (voir exemple 2) peut s'écrire h(X , y )=.

Théorème 2. Laisser être v = (v 1 , v 2 ,…, v n), tu = (tu 1 , tu 2 ,…, tu n) - deux bases spatiales vectoriellesV, T - matrice de transition à partir de la basev à la basetu. Laisser être B= (b ij)n ´ n Et À PARTIR DE=(avec ij)n ´ n - matrices de forme bilinéaireg(X , y ) respectivement par rapport aux basesv ettu. Puis

À PARTIR DE=T BT.(2)

Preuve. Par définition de la matrice de transition et de la matrice de la forme bilinéaire, on trouve :



Définition 2. Forme bilinéaire g(X , y ) est appelé symétrique, si g(X , y ) = g(y , X ) pour toute X , y Î v.

Théorème 3. Forme bilinéaireg(X , y )- symétrique si et seulement si la matrice de la forme bilinéaire est symétrique par rapport à toute base.

Preuve. Laisser être v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - base d'espace vectoriel V, B= (b ij)n ´ n- matrices de forme bilinéaire g(X , y ) par rapport à la base v. Soit la forme bilinéaire g(X , y ) est symétrique. Alors par définition 2 pour tout je, j = 1, 2,…, n on a b ij = g(v je, v j) = g(v j, v je) = bji. Ensuite la matrice B- symétrique.

Inversement, laissez la matrice B- symétrique. Puis BT= B et pour tous les vecteurs X = X 1 v 1 + …+ x n v n =vx, y = y 1 v 1 + y 2 v 2 +…+ oui n v n =vY Î V, d'après la formule (1), on obtient (on tient compte du fait que le nombre est une matrice d'ordre 1, et ne change pas lors de la transposition)

g(X , y ) =g(X , y )t = (X t PAR)t = Y t B t X = g(y , X ).

2. Forme quadratique. Matrice de forme quadratique. Coordonner la transformation.

Définition 1.forme quadratique déterminé sur V, s'appelle la cartographie F:V® P, qui pour tout vecteur X à partir de V est défini par l'égalité F(X ) = g(X , X ), où g(X , y ) est une forme bilinéaire symétrique définie sur V .

Propriété 1.Par une forme quadratique donnéeF(X )la forme bilinéaire peut être trouvée uniquement par la formule

g(X , y ) = 1/2(F(X + y ) - F(X )-F(y )). (1)

Preuve. Pour tous les vecteurs X , y Î V on obtient par les propriétés de la forme bilinéaire

F(X + y ) = g(X + y , X + y ) = g(X , X + y ) + g(y , X + y ) = g(X , X ) + g(X , y ) + g(y , X ) + g(y , y ) = F(X ) + 2g(X , y ) + F(y ).

La formule (1) découle d'ici.

Définition 2.Matrice de forme quadratiqueF(X ) par rapport à la basev = (v 1 , v 2 ,…, v n) est la matrice de la forme bilinéaire symétrique correspondante g(X , y ) par rapport à la base v.

Théorème 1. Laisser êtreX= (X 1 ,X 2 ,…, x n)t- colonne de coordonnées vectoriellesX en basev, B - matrice de forme quadratiqueF(X ) par rapport à la basev. Alors la forme quadratiqueF(X )

Réduction des formes quadratiques

Considérons la méthode la plus simple et la plus souvent utilisée dans la pratique pour réduire une forme quadratique à une forme canonique, appelée Méthode de Lagrange. Il est basé sur la sélection d'un carré complet sous forme quadratique.

Théorème 10.1(Théorème de Lagrange) Toute forme quadratique (10.1) :

utilisant une transformation linéaire non singulière (10.4) peut se réduire à la forme canonique (10.6) :

,

□ Démontrons le théorème de manière constructive, en utilisant la méthode de Lagrange de sélection des carrés parfaits. Le problème est de trouver une matrice non singulière telle que la transformation linéaire (10.4) aboutisse à la forme quadratique (10.6) de la forme canonique. Cette matrice sera obtenue progressivement comme produit d'un nombre fini de matrices d'un type particulier.

Point 1 (préparatoire).

1.1. Parmi les variables, on en distingue une qui entre sous la forme quadratique au carré et au premier degré à la fois (appelons-la variable principale). Passons au point 2.

1.2. S'il n'y a pas de variables principales dans la forme quadratique (pour tous : ), alors nous choisissons une paire de variables dont le produit entre dans la forme avec un coefficient non nul et passons à l'étape 3.

1.3. S'il n'y a pas de produits de variables de noms opposés sous une forme quadratique, alors la forme quadratique donnée est déjà représentée sous la forme canonique (10.6). La preuve du théorème est terminée.

Point 2 (surlignant le carré entier).

2.1. Sur la base de la variable principale, nous sélectionnons le carré complet. Sans perte de généralité, nous supposons que la variable dominante est la variable . En regroupant les termes contenant , on obtient

.

En distinguant le carré complet sur la variable dans , on a

.

Ainsi, à la suite de la sélection du carré complet pour une variable, nous obtenons la somme du carré de la forme linéaire

qui inclut la variable principale , et la forme quadratique à partir de variables , dans lesquelles la variable principale n'est plus incluse. Faisons un changement de variables (introduisons de nouvelles variables)

on obtient la matrice

() transformation linéaire non singulière , à la suite de laquelle la forme quadratique (10.1) prend la forme suivante

Avec forme quadratique Faisons comme au point 1.

2.1. Si la variable principale est la variable , alors il y a deux façons de le faire : soit sélectionner le carré complet pour cette variable, soit exécuter renommer (renumérotation) variables :

avec une matrice de transformation non singulière :

.

Point 3 (création d'une variable pilote). La paire de variables choisie sera remplacée par la somme et la différence de deux nouvelles variables, et le reste des anciennes variables sera remplacé par les nouvelles variables correspondantes. Si, par exemple, au paragraphe 1, le terme

alors le changement de variables correspondant a la forme

et sous forme quadratique (10.1) la variable principale sera obtenue.

Par exemple, en cas de substitution de variable :

la matrice de cette transformation linéaire non singulière a la forme

.

Par suite de l'algorithme ci-dessus (application successive des points 1, 2, 3), la forme quadratique (10.1) sera réduite à la forme canonique (10.6).

Notons qu'à la suite des transformations effectuées sur la forme quadratique (sélection du carré plein, renommage et création de la variable dominante), nous avons utilisé des matrices élémentaires non singulières de trois types (ce sont des matrices de transition de base à base). La matrice désirée d'une transformation linéaire non singulière (10.4), dans laquelle la forme (10.1) a la forme canonique (10.6), est obtenue en multipliant un nombre fini de matrices élémentaires non singulières de trois types. ■

Exemple 10.2. Apporter une forme quadratique

à la forme canonique par la méthode de Lagrange. Spécifiez la transformation linéaire non singulière correspondante. Exécutez une vérification.

Solution. Nous choisissons la variable dominante (coefficient ). En regroupant les termes contenant , et en sélectionnant un carré complet dessus, on obtient

où indiqué

Faisons un changement de variables (introduisons de nouvelles variables)

Exprimer les anciennes variables en fonction des nouvelles :

on obtient la matrice