Il y a 4 points qui rentrent dans le triangle. Projet de recherche points merveilleux du triangle

Il y a ce qu'on appelle quatre points remarquables dans le triangle : le point d'intersection des médianes. Point d'intersection des bissectrices, point d'intersection des hauteurs et point d'intersection des mi-perpendiculaires. Considérons chacun d'eux.

Point d'intersection des médianes triangulaires

Théorème 1

A l'intersection des médianes du triangle: Les médianes du triangle se coupent en un point et sont divisées par le point d'intersection dans un rapport $ 2: 1 $ à partir du sommet.

Preuve.

Considérons un triangle $ ABC $, où $ (AA) _1, \ (BB) _1, \ (CC) _1 $ est sa médiane. Puisque les médianes divisent les côtés en deux. Considérons la ligne médiane $ A_1B_1 $ (Fig. 1).

Figure 1. Médianes d'un triangle

D'après le théorème 1, $ AB || A_1B_1 $ et $ AB = 2A_1B_1 $, donc, $ \ angle ABB_1 = \ angle BB_1A_1, \ \ angle BAA_1 = \ angle AA_1B_1 $. Cela signifie que les triangles $ ABM $ et $ A_1B_1M $ sont similaires par le premier signe de similarité des triangles. Puis

On peut prouver de la même façon que

Le théorème est démontré.

Point d'intersection des bissectrices du triangle

Théorème 2

A l'intersection des bissectrices d'un triangle: Les bissectrices d'un triangle se coupent en un point.

Preuve.

Considérons un triangle $ ABC $, où $ AM, \ BP, \ CK $ est sa bissectrice. Soit le point $ O $ le point d'intersection des bissectrices $ AM \ et \ BP $. Tirons de ce point des perpendiculaires aux côtés du triangle (Fig. 2).

Figure 2. Bissectrices d'un triangle

Théorème 3

Chaque point de la bissectrice d'un angle déplié est équidistant de ses côtés.

D'après le théorème 3, on a : $ OX = OZ, \ OX = OY $. Par conséquent, $ OY = OZ $. Cela signifie que le point $ O $ est équidistant des côtés de l'angle $ ACB $ et, par conséquent, se trouve sur sa bissectrice $ CK $.

Le théorème est démontré.

Le point d'intersection des perpendiculaires médianes du triangle

Théorème 4

Les perpendiculaires médianes aux côtés du triangle se coupent en un point.

Preuve.

Soit un triangle $ ABC $, $ n, \ m, \ p $ ses perpendiculaires. Soit le point $ O $ le point d'intersection des perpendiculaires médianes $ n \ et \ m $ (Fig. 3).

Figure 3. Moyennes perpendiculaires d'un triangle

Pour la démonstration, nous avons besoin du théorème suivant.

Théorème 5

Chaque point du milieu perpendiculaire au segment est équidistant des extrémités de ce segment.

D'après le théorème 3, on a : $ OB = OC, \ OB = OA $. Par conséquent, $ OA = OC $. Cela signifie que le point $ O $ est équidistant des extrémités du segment $ AC $ et, par conséquent, se trouve sur son milieu perpendiculaire $ p $.

Le théorème est démontré.

Point d'intersection des hauteurs des triangles

Théorème 6

Les hauteurs du triangle ou de leurs extensions se coupent en un point.

Preuve.

Considérons un triangle $ ABC $, où $ (AA) _1, \ (BB) _1, \ (CC) _1 $ est sa hauteur. Tracez une ligne droite passant par chaque sommet du triangle, parallèle au côté opposé au sommet. On obtient un nouveau triangle $ A_2B_2C_2 $ (Fig. 4).

Figure 4. Les hauteurs du triangle

Puisque $ AC_2BC $ et $ B_2ABC $ sont des parallélogrammes ayant un côté commun, alors $ AC_2 = AB_2 $, c'est-à-dire que le point $ A $ est le milieu du côté $ C_2B_2 $. De même, on obtient que le point $ B $ est le milieu du côté $ C_2A_2 $, et le point $ C $ est le milieu du côté $ A_2B_2 $. De la construction, nous avons ce $ (CC) _1 \ bot A_2B_2, \ (BB) _1 \ bot A_2C_2, \ (AA) _1 \ bot C_2B_2 $. Par conséquent, $ (AA) _1, \ (BB) _1, \ (CC) _1 $ sont les perpendiculaires du triangle $ A_2B_2C_2 $. Alors, d'après le théorème 4, on a que les hauteurs $ (AA) _1, \ (BB) _1, \ (CC) _1 $ se coupent en un point.

Dans cette leçon, nous examinerons quatre merveilleux points triangulaires. Nous allons nous attarder sur deux d'entre eux en détail, rappeler les preuves de théorèmes importants et résoudre le problème. Rappelons et caractérisons les deux autres.

Thème:Répétition du cours de géométrie 8e année

Leçon : Quatre points merveilleux d'un triangle

Un triangle est avant tout trois lignes et trois angles, les propriétés des lignes et des angles sont donc fondamentales.

Le segment AB est défini. Tout segment a un milieu et une perpendiculaire peut être tracée à travers lui - nous le désignons par p. Ainsi, p est la perpendiculaire médiane.

Théorème (la propriété principale de la perpendiculaire moyenne)

Tout point situé sur la perpendiculaire médiane est équidistant des extrémités du segment de ligne.

Prouve-le

Preuve:

Considérons les triangles et (voir Fig. 1). Ils sont rectangulaires et égaux, puisque ont une jambe commune OM, et les jambes AO et OB sont égales par condition, nous avons donc deux triangles rectangles égaux en deux jambes. Il s'ensuit que les hypoténuses des triangles sont également égales, c'est-à-dire comme requis.

Riz. 1

Le théorème inverse est vrai.

Théorème

Chaque point équidistant des extrémités d'un segment de droite se trouve au milieu perpendiculaire à ce segment.

Un segment AB est donné, sa perpendiculaire est p, point M, équidistant des extrémités du segment (voir Fig. 2).

Démontrer que le point M se trouve au milieu perpendiculaire au segment.

Riz. 2

Preuve:

Considérons un triangle. Il est isocèle, comme par condition. Considérons la médiane du triangle : le point O est le milieu de la base AB, OM est la médiane. D'après la propriété d'un triangle isocèle, la médiane tracée à sa base est à la fois la hauteur et la bissectrice. Il s'ensuit donc que. Mais la droite p est aussi perpendiculaire à AB. On sait que la seule perpendiculaire au segment AB peut être tracée au point O, ce qui signifie que les droites OM et p coïncident, il s'ensuit que le point M appartient à la droite p, ce qu'il fallait prouver.

S'il est nécessaire de décrire un cercle autour d'un segment de droite, cela peut être fait, et il existe une infinité de tels cercles, mais le centre de chacun d'eux se trouvera au milieu perpendiculaire au segment.

Ils disent que la perpendiculaire médiane est le lieu des points équidistants des extrémités d'un segment.

Le triangle a trois segments de droite. Traçons des perpendiculaires à deux d'entre elles et obtenons le point O de leur intersection (voir Fig. 3).

Le point O appartient au milieu perpendiculaire au côté BC du triangle, ce qui signifie qu'il est équidistant de ses sommets B et C, on note cette distance R :.

De plus, le point O est situé au milieu perpendiculaire au segment AB, c'est-à-dire , cependant, d'ici.

Ainsi, le point O de l'intersection de deux milieux

Riz. 3

des perpendiculaires du triangle est équidistant de ses sommets, ce qui signifie qu'il se trouve également sur la troisième perpendiculaire médiane.

Nous avons répété la démonstration d'un théorème important.

Les trois perpendiculaires du triangle se coupent en un point - le centre du cercle circonscrit.

Ainsi, nous avons considéré le premier point remarquable du triangle - le point d'intersection de ses mi-perpendiculaires.

Passons à la propriété d'un angle arbitraire (voir Fig. 4).

Un angle est donné, sa bissectrice est AL, le point M se trouve sur la bissectrice.

Riz. 4

Si le point M se trouve sur la bissectrice de l'angle, alors il est équidistant des côtés de l'angle, c'est-à-dire que les distances du point M à AC et BC des côtés de l'angle sont égales.

Preuve:

Considérez les triangles et. Ce sont des triangles rectangles, et ils sont égaux, parce que ont une hypoténuse commune AM, et les angles et sont égaux, puisque AL est la bissectrice de l'angle. Ainsi, les triangles rectangles sont égaux en hypoténuse et en angle aigu, d'où il découle que, comme il faut le prouver. Ainsi, un point sur la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de cet angle.

Le théorème inverse est vrai.

Théorème

Si un point est équidistant des côtés d'un coin non développé, alors il se trouve sur sa bissectrice (voir Fig. 5).

Un angle non développé est donné, le point M, tel que la distance de celui-ci aux côtés de l'angle est la même.

Montrer que le point M se trouve sur la bissectrice de l'angle.

Riz. 5

Preuve:

La distance d'un point à une droite est la longueur d'une perpendiculaire. Tirons du point M les perpendiculaires MK au côté AB et MP au côté AC.

Considérez les triangles et. Ce sont des triangles rectangles, et ils sont égaux, parce que ont une hypoténuse AM commune, les jambes MK et MR sont égales par condition. Ainsi, les triangles rectangles sont égaux en hypoténuse et en jambe. De l'égalité des triangles découle l'égalité des éléments correspondants, il y a des angles égaux contre les jambes égales, ainsi, , par conséquent, le point M se trouve sur la bissectrice de cet angle.

S'il est nécessaire d'inscrire un cercle dans le coin, cela peut être fait, et il existe une infinité de tels cercles, mais leurs centres se trouvent sur la bissectrice de l'angle donné.

On dit que la bissectrice est le lieu des points équidistants des côtés d'un angle.

Le triangle a trois coins. Construisons les bissectrices de deux d'entre elles, obtenons le point O de leur intersection (voir Fig. 6).

Le point O se trouve sur la bissectrice de l'angle, ce qui signifie qu'il est équidistant de ses côtés AB et BC, nous désignons la distance par r:. De plus, le point O se trouve sur la bissectrice de l'angle, ce qui signifie qu'il est équidistant de ses côtés AC et BC :,, d'ici.

Il est facile de voir que le point d'intersection des bissectrices est équidistant des côtés du troisième coin, ce qui signifie qu'il se trouve sur

Riz. 6

la bissectrice de l'angle. Ainsi, les trois bissectrices du triangle se coupent en un point.

Ainsi, nous nous sommes souvenus de la preuve d'un autre théorème important.

Les bissectrices des angles d'un triangle se coupent en un point - le centre du cercle inscrit.

Ainsi, nous avons considéré le deuxième point remarquable du triangle - le point d'intersection des bissectrices.

Nous avons examiné la bissectrice d'un angle et noté ses propriétés importantes: les points de la bissectrice sont équidistants des côtés de l'angle, de plus, les segments des tangentes tracés au cercle à partir d'un point sont égaux.

Introduisons quelques notations (voir Fig. 7).

Notons x, y et z des segments égaux de tangentes. Le côté BC, qui se trouve à l'opposé du sommet A, est noté a, de la même manière que AC comme b, AB comme c.

Riz. 7

Problème 1 : le demi-périmètre et la longueur du côté a sont connus dans le triangle. Trouvez la longueur de la tangente tirée du sommet A - AK, notée x.

De toute évidence, le triangle n'est pas complètement défini et il existe de nombreux triangles de ce type, mais il s'avère qu'ils ont certains éléments en commun.

Pour les problèmes dans lesquels on parle d'un cercle inscrit, la technique de résolution suivante peut être proposée :

1. Tracez les bissectrices et obtenez le centre du cercle inscrit.

2. A partir du centre O tracer des perpendiculaires aux côtés et obtenir des points de tangence.

3. Marquez des tangentes égales.

4. Écris la connexion entre les côtés du triangle et les tangentes.

Silchenkov Ilya

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Légendes des diapositives :

La ligne médiane d'un triangle est le segment qui relie les milieux de ses deux côtés et est égal à la moitié de ce côté. De plus, selon le théorème, la ligne médiane d'un triangle est parallèle à l'un de ses côtés et est égale à la moitié de ce côté.

Si une ligne est perpendiculaire à l'une des deux lignes parallèles, alors elle est perpendiculaire à l'autre

Points merveilleux du triangle

Points merveilleux du triangle Point d'intersection des médianes (le centre de gravité du triangle); Point d'intersection des bissectrices, le centre du cercle inscrit ; Le point d'intersection des perpendiculaires médianes ; Point d'intersection des hauteurs (orthocentre); la droite d'Euler et un cercle de neuf points ; pointes Gergonne et Nagel ; Farm Point Torricelli;

Point d'intersection des médianes

La médiane d'un triangle est un segment reliant le sommet de n'importe quel coin du triangle avec le milieu du côté opposé.

I. Les médianes d'un triangle se coupent en un point, qui divise chaque médiane dans un rapport de 2 : 1, à partir du sommet.

Preuve:

A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. Désignons par la lettre O le point d'intersection des deux médianes AA 1 et B B1 du triangle ABC et traçons la ligne médiane A 1 B 1 de ce triangle. 2. Le segment А 1 1 est parallèle au côté AB et 1/2 AB = А 1 В 1, soit AB = 2А1В1 (d'après le théorème de la ligne médiane d'un triangle), donc 1 = 4 et 3 = 2 (parce qu'ils entrecroisent des angles internes avec des droites parallèles AB et A 1 B 1 et sécantes BB 1 pour 1, 4 et AA 1 pour 3, 2 3. Par conséquent, les triangles AOB et A 1 OB 1 sont similaires dans deux angles, et donc leurs côtés sont proportionnels, c'est-à-dire que les rapports des côtés AO et A 1 O, BO et B 1 O, AB et A 1 B 1 sont égaux Mais AB = 2A 1 B 1, donc AO = 2A 1 O et BO = 2B 1 O. Ainsi , le point O de l'intersection des médianes BB 1 et AA 1 divise chacune d'elles dans le rapport 2 : 1, en comptant à partir du sommet. Le théorème est démontré. De même, nous pouvons prouver les deux autres médianes

Le centre de masse est parfois appelé centre de gravité. C'est pourquoi ils disent que le point d'intersection de la médiane est le centre de gravité du triangle. Le centre de masse d'une plaque triangulaire homogène est également situé au même point. Si une telle plaque est placée sur une goupille de sorte que la pointe de la goupille frappe exactement le centroïde du triangle, alors la plaque sera en équilibre. Aussi, le point d'intersection des médianes est le centre du cercle inscrit de son triangle médian. Une propriété intéressante du point d'intersection des médianes est associée au concept physique de centre de masse. Il s'avère que si vous placez des masses égales aux sommets d'un triangle, leur centre tombera exactement à ce point.

Point d'intersection des bissectrices

La bissectrice d'un triangle est un segment de la bissectrice d'un angle reliant le sommet de l'un des coins du triangle avec un point situé du côté opposé.

Les bissectrices d'un triangle se coupent en un point équidistant de ses côtés.

Preuve:

C A B A 1 B 1 C 1 0 1. Désignons par la lettre O le point d'intersection des bissectrices AA 1 et BB 1 du triangle ABC. 3. Utilisons le fait que chaque point de la bissectrice d'un angle déplié est équidistant de ses côtés et de son dos : chaque point situé à l'intérieur du coin et équidistant des côtés de l'angle se trouve sur sa bissectrice. Alors OK = OL et OK = OM. Donc ОМ = OL, c'est-à-dire que le point O est équidistant des côtés du triangle ABC et, par conséquent, se trouve sur la bissectrice CC1 de l'angle C. 4. Par conséquent, les trois bissectrices du triangle ABC se rencontrent au point O. K L M Le théorème est démontré. 2. tracer de ce point les perpendiculaires OK, OL et ОМ, respectivement, aux droites AB, BC et CA.

Milieu de l'intersection perpendiculaire

La perpendiculaire médiane est une droite passant par le milieu d'un segment donné et perpendiculaire à celui-ci.

Les perpendiculaires médianes aux côtés du triangle se coupent en un point équidistant des sommets du triangle.

Preuve:

В С A m n 1. Désignons par la lettre O le point d'intersection des perpendiculaires m et n aux côtés AB et BC du triangle ABC. O 2. En utilisant le théorème selon lequel chaque point de la médiane perpendiculaire au segment est équidistant des extrémités de ce segment et inversement : chaque point équidistant des extrémités du segment se trouve sur la médiane perpendiculaire à celui-ci, nous obtenons que OB = OA et OB = OS. 3. Par conséquent, ОА = ОС, c'est-à-dire que le point О est équidistant des extrémités du segment AC et, par conséquent, se trouve sur la perpendiculaire à ce segment. 4. Par conséquent, les trois perpendiculaires m, n et p aux côtés du triangle ABC se rencontrent au point O. Le théorème est démontré. R

Point d'intersection des hauteurs (ou de leurs prolongements)

La hauteur d'un triangle est une perpendiculaire tracée du sommet de n'importe quel coin du triangle à une ligne droite contenant le côté opposé.

Les hauteurs du triangle ou de leurs extensions se coupent en un point, qui peut se situer dans le triangle, ou peut être à l'extérieur de celui-ci.

Preuve:

Montrons que les droites AA 1, BB 1 et CC 1 se coupent en un point. В A C C2 C1 A1 A2 1 В 2 1. Tracez à travers chaque sommet du triangle ABC une droite parallèle au côté opposé. On obtient un triangle A 2 B 2 C 2. 2. Les points A, B et C sont les milieux des côtés de ce triangle. En effet, AB = A 2 C et AB = CB 2 comme côtés opposés des parallélogrammes ABA 2 C et ABCB 2, donc A 2 C = CB 2. De même, C 2 A = AB 2 et C 2 B = BA 2. De plus, comme il ressort de la construction, CC 1 est perpendiculaire à A 2 B 2, AA 1 est perpendiculaire à B 2 C 2 et BB 1 est perpendiculaire à A 2 C 2 (du corollaire au théorème des droites parallèles et sécantes ). Ainsi, les droites AA 1, BB 1 et CC 1 sont perpendiculaires aux côtés du triangle A 2 B 2 C 2. Par conséquent, ils se croisent en un point. Le théorème est démontré.

Teneur

Présentation ……………………………………………………………………………………… 3

Chapitre 1.

1.1 Triangle ……………………………………………………………………………………… ..4

1.2. Médianes triangulaires

1.4. Hauteurs dans un triangle

Conclusion

Liste de la littérature utilisée

Brochure

introduction

La géométrie est une branche des mathématiques qui traite de diverses formes et de leurs propriétés. La géométrie commence par un triangle. Depuis deux millénaires et demi, le triangle est un symbole de géométrie ; mais ce n'est pas seulement un symbole, le triangle est un atome de géométrie.

Dans mon travail, je considérerai les propriétés des points d'intersection des bissectrices, des médianes et des hauteurs du triangle, je parlerai de leurs propriétés merveilleuses et des lignes du triangle.

Ces points étudiés dans le cours de géométrie de l'école comprennent :

a) le point d'intersection des bissectrices (le centre du cercle inscrit) ;

b) le point d'intersection des perpendiculaires médianes (le centre du cercle circonscrit) ;

c) le point d'intersection des hauteurs (orthocentre) ;

d) le point d'intersection des médianes (centre de gravité).

Pertinence: approfondir vos connaissances du triangle,propriétés de sespoints merveilleux.

Cible: exploration du triangle pour ses points remarquables,les étudierclassifications et propriétés.

Tâches:

1. Étudiez la littérature nécessaire

2. Apprenez la classification des points merveilleux du triangle

3. Être capable de construire de merveilleux points triangulaires.

4. Résumez le matériel étudié pour la conception du livret.

Hypothèse du projet :

la capacité de trouver des points merveilleux dans n'importe quel triangle vous permet de résoudre des problèmes de construction géométrique.

Chapitre 1. Informations historiques sur les points remarquables du triangle

Dans le quatrième livre "Principes", Euclide résout le problème : "Inscrire un cercle dans un triangle donné". De la solution, il s'ensuit que les trois bissectrices des angles internes du triangle se coupent en un point - le centre du cercle inscrit. Il résulte de la solution d'un autre problème euclidien que les perpendiculaires restaurées aux côtés du triangle en leurs milieux se coupent également en un point - le centre du cercle circonscrit. Dans les "Débuts", il n'est pas dit que les trois hauteurs du triangle se coupent en un point, appelé orthocentre (le mot grec "orthos" signifie "droit", "correct"). Cette proposition était pourtant connue d'Archimède, Pappus, Proclus.

Le quatrième point singulier du triangle est l'intersection des médianes. Archimède a prouvé que c'est le centre de gravité (barycentre) du triangle. Une attention particulière a été accordée aux quatre points ci-dessus, et depuis le XVIIIe siècle, ils sont appelés points « remarquables » ou « spéciaux » du triangle.

L'étude des propriétés du triangle associé à ces points et à d'autres a servi de point de départ à la création d'une nouvelle branche des mathématiques élémentaires - "la géométrie du triangle" ou "la nouvelle géométrie du triangle", dont l'un des fondateurs était Leonard Euler. En 1765, Euler a prouvé que dans tout triangle l'orthocentre, le barycentre et le centre du cercle circonscrit se trouvent sur une ligne droite, appelée plus tard « ligne d'Euler ».

1. Triangle

Triangle - une figure géométrique composée de trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite, et de trois segments reliant ces points deux à deux. Points -hauts triangle, segments -des soirées Triangle.

V A, B, C - pics

AB, BC, CA - côtés

Un C

Il y a quatre points associés à chaque triangle :

Point d'intersection des médianes ;

Point d'intersection des bissectrices ;

Point d'intersection des hauteurs.

Le point d'intersection des perpendiculaires centrales ;

1.2. Médianes triangulaires

Médina du triangle - connecter le sommet avec le milieu du côté opposé (Figure 1). Le point d'intersection de la médiane avec le côté du triangle est appelé la base de la médiane.

Figure 1. Médianes d'un triangle

Construisez les milieux des côtés du triangle et tracez des segments reliant chacun des sommets au milieu du côté opposé. Ces segments sont appelés la médiane.

Et encore une fois, nous observons que ces segments se coupent également en un point. Si nous mesurons les longueurs des segments résultants des médianes, alors nous pouvons vérifier une autre propriété : le point d'intersection des médianes divise toutes les médianes dans un rapport de 2: 1, à partir des sommets. Et aussi, le triangle, qui repose sur la pointe de l'aiguille au point d'intersection des médianes, est en équilibre ! Un point avec cette propriété est appelé centre de gravité (barycentre). Le centre de masse égale est parfois appelé centre de gravité. Par conséquent, les propriétés des médianes d'un triangle peuvent être formulées comme suit : les médianes d'un triangle se coupent au centre de gravité et le point d'intersection est divisé dans un rapport de 2 : 1, à partir du sommet.

1.3. Bissectrices d'un triangle

Bissecteur appelé la bissectrice d'un angle, tracée depuis le sommet de l'angle jusqu'à son intersection avec le côté opposé. Un triangle a trois bissectrices correspondant à ses trois sommets (figure 2).

Figure 2. Bisectrice d'un triangle

Dans un triangle arbitraire ABC, trace les bissectrices de ses angles. Et encore une fois, avec une construction précise, les trois bissectrices se couperont en un point D. Le point D est également inhabituel : il est à égale distance des trois côtés du triangle. Cela peut être vu en laissant tomber les perpendiculaires DA 1, DB 1 et DC1 aux côtés du triangle. Ils sont tous égaux entre eux : DA1 = DB1 = DC1.

Si vous dessinez un cercle centré au point D et de rayon DA 1, alors il touchera les trois côtés du triangle (c'est-à-dire qu'il n'aura qu'un point commun avec chacun d'eux). Un tel cercle est appelé inscrit dans un triangle. Ainsi, les bissectrices des angles du triangle se coupent au centre du cercle inscrit.

1.4. Hauteurs dans un triangle

La hauteur du triangle - tombé du haut vers le côté opposé ou une ligne droite qui coïncide avec le côté opposé. Selon le type de triangle, la hauteur peut être contenue dans le triangle (par ex. triangle), coïncident avec son côté (être triangle) ou passer à l'extérieur du triangle au niveau d'un triangle obtus (Figure 3).

Figure 3. Hauteurs en triangles

Si trois hauteurs sont construites dans un triangle, alors elles se coupent toutes en un point H. Ce point est appelé l'orthocentre. (Illustration 4).

A l'aide de constructions, vous pouvez vérifier que, selon le type de triangle, l'orthocentre se situe de différentes manières :

dans un triangle à angle aigu - à l'intérieur;

pour un rectangulaire - sur l'hypoténuse;

l'obtus - à l'extérieur.

Figure 4. Orthocentre d'un triangle

Ainsi, nous avons fait connaissance avec un autre point remarquable du triangle et nous pouvons dire que : les hauteurs du triangle se coupent à l'orthocentre.

1.5. Milieu perpendiculaires aux côtés du triangle

Le milieu perpendiculaire à un segment de ligne est une ligne perpendiculaire à ce segment de ligne et passant par son milieu.

Dessinons un triangle ABC arbitraire et dessinons des perpendiculaires à ses côtés. Si la construction est effectuée exactement, alors toutes les perpendiculaires se couperont en un point - le point O. Ce point est équidistant de tous les sommets du triangle. En d'autres termes, si vous dessinez un cercle centré au point O, passant par l'un des sommets du triangle, alors il passera par ses deux autres sommets.

Un cercle passant par tous les sommets d'un triangle est dit circonscrit à celui-ci. Par conséquent, la propriété établie d'un triangle peut être formulée comme suit : les perpendiculaires médianes aux côtés du triangle se coupent au centre du cercle circonscrit (figure 5).

Figure 5. Triangle inscrit dans un cercle

Chapitre 2. Explorer les points remarquables du triangle.

Examiner la hauteur dans les triangles

Les trois hauteurs du triangle se coupent en un point. Ce point est appelé l'orthocentre du triangle.

Les hauteurs d'un triangle à angle aigu sont situées strictement à l'intérieur du triangle.

En conséquence, le point d'intersection des hauteurs est également à l'intérieur du triangle.

Dans un triangle rectangle, deux hauteurs coïncident avec les côtés. (Ce sont des hauteurs tirées du sommet des coins pointus aux jambes).

La hauteur tirée de l'hypoténuse se situe à l'intérieur du triangle.

AC - la hauteur tirée du haut du C au côté AB.

AB est la hauteur tracée du haut de B au côté de AC.

AK - la hauteur tirée du sommet de l'angle droit A à l'hypoténuse BC.

Les hauteurs d'un triangle rectangle se coupent au sommet de l'angle droit (A - orthocentre).

Dans un triangle obtus, il n'y a qu'une seule hauteur à l'intérieur du triangle - celle qui est tirée du sommet de l'angle obtus.

Les deux autres hauteurs se situent à l'extérieur du triangle et sont abaissées dans le prolongement des côtés du triangle.

AK est la hauteur tirée du côté BC.

BF est la hauteur tirée vers l'extension du côté AC.

CD est la hauteur tirée vers l'extension du côté AB.

L'intersection des hauteurs d'un triangle obtus est également à l'extérieur du triangle :

H est l'orthocentre du triangle ABC.

Examiner les bissectrices d'un triangle

La bissectrice d'un triangle est la partie de la bissectrice de l'angle d'un triangle (rayon) qui est à l'intérieur du triangle.

Les trois bissectrices du triangle se coupent en un point.

Le point d'intersection des bissectrices dans les triangles à angle aigu, à angle obtus et à angle droit est le centre du cercle inscrit dans le triangle et est situé à l'intérieur.

Examen des médianes dans un triangle

Puisqu'un triangle a trois sommets et trois côtés, il y a aussi trois segments reliant le sommet et le milieu du côté opposé.

Après avoir examiné ces triangles, j'ai réalisé que dans tout triangle, les médianes se coupent en un point. Ce point est appelé le centre de gravité du triangle.

Examiner les perpendiculaires au côté du triangle

Mi perpendiculaire d'un triangle est une perpendiculaire tracée au milieu d'un côté d'un triangle.

Les trois perpendiculaires du triangle se coupent en un point, elles sont le centre du cercle circonscrit.

Le point d'intersection des mi-perpendiculaires dans un triangle à angle aigu se trouve à l'intérieur du triangle ; en obtus - en dehors du triangle; dans un rectangle - au milieu de l'hypoténuse.

Conclusion

Au cours des travaux effectués, nous arrivons aux conclusions suivantes :

L'objectif est atteint :a exploré le triangle et a trouvé ses points remarquables.

Les tâches ont été résolues :

1). Nous avons étudié la littérature nécessaire ;

2). Appris la classification des points remarquables du triangle ;

3). Appris à construire des points merveilleux du triangle;

4). Nous avons résumé le matériel étudié pour la conception du livret.

L'hypothèse selon laquelle la capacité de trouver des points merveilleux d'un triangle aide à résoudre les problèmes de construction a été confirmée.

Dans le travail, les méthodes de construction des points remarquables du triangle sont présentées de manière cohérente, des informations historiques sur les constructions géométriques sont données.

Les informations de ce travail peuvent être utiles dans les cours de géométrie en 7e année. Le livret peut servir de guide de géométrie sur un sujet donné.

Bibliographie

Cahier de texte... L.S. Atanasyan "Géométrie grades 7-9Mnémosine, 2015.

Wikipédiahttps : //ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File : Euclid% 27s_postulates.png

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Buts:
- généraliser les connaissances des élèves sur le thème « Quatre points remarquables du triangle », continuer à travailler sur la formation des compétences pour construire la hauteur, la médiane, la bissectrice du triangle ;

Familiariser les élèves avec les nouveaux concepts d'un cercle inscrit dans un triangle et décrit autour de celui-ci;

Développer des compétences de recherche;
- favoriser la persévérance, la précision, l'organisation des élèves.
Tâche:élargir l'intérêt cognitif pour la géométrie du sujet.
Équipement: tableau noir, outils de dessin, crayons de couleur, modèle de triangle sur une feuille d'album ; ordinateur, projecteur multimédia, écran.

Pendant les cours

1. Moment d'organisation (1 minute)
Prof: Dans cette leçon, chacun d'entre vous se sentira ingénieur de recherche, à l'issue des travaux pratiques, vous pourrez vous évaluer. Pour que le travail soit réussi, il est nécessaire d'effectuer toutes les actions avec le modèle de manière très précise et organisée pendant la leçon. Je te souhaite du succès.
2.
Enseignant : dessinez un coin déplié dans un cahier
Q. Quelles méthodes connaissez-vous pour construire la bissectrice d'un angle ?

Détermination de la bissectrice d'un angle. Deux élèves réalisent les bissectrices de l'angle (selon des modèles pré-préparés) à bord de la construction de deux manières : avec une règle, avec un compas. Les deux étudiants suivants prouvent verbalement les déclarations :
1. Quelle propriété ont les points de la bissectrice d'un angle ?
2. Que pouvez-vous dire des points situés à l'intérieur du coin et à égale distance des côtés du coin ?
Enseignant : tracer dans un triangle tétradiostrongulaire ABC et de n'importe quelle manière, construire les bissectrices de l'angle A et de l'angle C, leur point

intersection - point O. Quelle hypothèse pouvez-vous émettre sur le rayon VO ? Montrer que le rayon BO est la bissectrice du triangle ABC. Formulez une conclusion sur l'emplacement de toutes les bissectrices du triangle.
3. Travailler avec un modèle triangulaire (5-7 minutes).
Option 1 - triangle à angle aigu;
Option 2 - un triangle rectangle;
Option 3 - triangle obtus.
Enseignant : sur le modèle du triangle, tracez deux bissectrices, encerclez-les en jaune. Dessiner le point d'intersection

bissectrice par point K. Voir diapositive 1.
4. Préparation pour l'étape principale de la leçon (10-13 minutes).
Enseignant : dessinez le segment AB dans un cahier. Quels outils pouvez-vous utiliser pour dessiner un milieu perpendiculaire à un segment de ligne ? Détermination de la perpendiculaire médiane. Deux élèves exécutent sur la planche la construction de la perpendiculaire médiane

(selon modèles pré-préparés) de deux manières : avec une règle, une boussole. Les deux étudiants suivants prouvent verbalement les déclarations :
1. Quelle propriété ont les points de la perpendiculaire au segment ?
2. Que peut-on dire des points équidistants des extrémités du segment AB Enseignant : trace un triangle ABC rectangulaire dans un tétradi et trace des perpendiculaires à deux côtés quelconques du triangle ABC.

Marquez le point d'intersection O. Tracez une perpendiculaire au troisième côté passant par le point O. Qu'avez-vous remarqué ? Montrez qu'il s'agit de la perpendiculaire au segment de droite.
5. Travail avec le modèle du triangle (5 minutes) Enseignant : sur le modèle du triangle, tracer des perpendiculaires aux deux côtés du triangle et les encercler en vert. Marquez le point d'intersection des mi-perpendiculaires avec le point O. Voir la diapositive numéro 2.

6. Préparation pour l'étape principale de la leçon (5-7 minutes) Enseignant : Tracez un triangle obtus ABC et tracez deux hauteurs. Désignez leur point d'intersection avec O.
1. Que peut-on dire de la troisième hauteur (la troisième hauteur, si elle s'étend au-delà de la base, passera par le point O) ?

2. Comment prouver que toutes les hauteurs se coupent en un point ?
3. Quelle nouvelle figure ces hauteurs forment-elles et que contiennent-elles ?
7. Travailler avec le modèle triangulaire (5 minutes).
Enseignant : sur le modèle triangulaire, construis trois hauteurs et encercle-les en bleu. Marquez le point d'intersection des hauteurs avec le point H. Regardez la diapositive numéro 3.

Leçon deux

8. Préparation pour l'étape principale de la leçon (10-12 minutes).
Enseignant : tracez un triangle ABC à angle aigu et tracez toutes ses médianes. Désignez leur point d'intersection avec O. Quelle propriété ont les médianes d'un triangle ?

9. Travailler avec un modèle triangulaire (5 minutes).
Enseignant : sur le modèle du triangle, tracez trois médianes et entourez-les en marron.

Marquez le point d'intersection des médianes avec le point T. Voir la diapositive n° 4.
10. Vérification de l'exactitude de la construction (10-15 minutes).
1. Que peut-on dire du point K ? / Le pointK est le point d'intersection des bissectrices, il est équidistant de tous les côtés du triangle /
2. Montrez sur le modèle la distance entre le point K et chaque côté du triangle. Quelle forme as-tu dessiné ? Comment est-ce

coupé sur le côté ? Surlignez en gras avec un simple crayon. (Voir la diapositive numéro 5).
3. Qu'est-ce qu'un point équidistant de trois points du plan qui ne se trouvent pas sur une ligne droite ? Tracez un cercle avec un crayon jaune avec un centre K et un rayon égal à la distance marquée avec un simple crayon. (Voir diapositive 6).
4. Qu'avez-vous remarqué ? Comment se situe ce cercle par rapport au triangle ? Vous avez inscrit un cercle dans un triangle. Comment peut-on appeler un tel cercle ?

L'enseignant donne la définition d'un cercle inscrit dans un triangle.
5. Que peut-on dire du point O ? \ PointO est le point d'intersection des perpendiculaires et il est équidistant de tous les sommets du triangle \. Quelle forme peux-tu construire en reliant les points A, B, C et O ?
6. Construisez un cercle vert (O; OA). (Voir diapositive 7).
7. Qu'avez-vous remarqué ? Comment se situe ce cercle par rapport au triangle ? Comment peut-on appeler un tel cercle ? Comment, alors, peut-on appeler un triangle ?

L'enseignant donne la définition d'un cercle circonscrit autour d'un triangle.
8. Attachez une règle aux points O, H et T et tracez une ligne droite en rouge passant par ces points. Cette ligne s'appelle droite

Euler (Voir diapo 8).
9. Comparez OT et TN. Vérifiez OT : TH = 1 : 2. (Voir diapositive 9).
10. a) Trouve les médianes du triangle (en marron). Marquez les bases des médianes avec de l'encre.

Où sont ces trois points ?
b) Trouvez les hauteurs du triangle (en bleu). Marquez à l'encre les bases des hauteurs. Combien sont ces points ? \ 1 option-3; Option 2-2 ; Option 3-3 \. C) Mesurez la distance entre les sommets et le point d'intersection des hauteurs. Nommez ces distances (AN,

VN, CH). Trouvez les points médians de ces lignes et surlignez avec de l'encre. Combien de tels

points? \ 1 option-3; Option 2-2 ; Option 3-3 \.
11. Comptez combien de points d'encre y a-t-il ? \ 1 option - 9 ; Option 2-5 ; Options 3-9 \. Désigner

points D 1, D 2,…, D 9. (Voir la diapositive 10.) Grâce à ces points, vous pouvez construire un cercle d'Euler. Le centre du cercle, le point E, est au milieu du segment OH. Nous dessinons un cercle en rouge (E; ED 1). Ce cercle, comme la ligne droite, porte le nom du grand scientifique. (Voir diapositive 11).
11. Présentation d'Euler (5 minutes).
12. Résultat(3 minutes) Score : "5" - si vous obtenez exactement les cercles jaunes, verts et rouges et la ligne d'Euler. "4" - si vous obtenez des cercles de 2-3 mm de manière inexacte. "3" - si les cercles sont inexacts de 5 à 7 mm.