Dérivée d'exemples de fonctions logarithmiques. Dérivée du logarithme népérien et du logarithme pour baser un

Lors de la différenciation de fonctions puissance exponentielles ou d’expressions fractionnaires lourdes, il est pratique d’utiliser la dérivée logarithmique. Dans cet article, nous examinerons des exemples de son application avec des solutions détaillées.

Une présentation ultérieure suppose la capacité d'utiliser le tableau des dérivées, les règles de différenciation et la connaissance de la formule de la dérivée d'une fonction complexe.

Dérivation de la formule de la dérivée logarithmique.

Tout d'abord, nous prenons les logarithmes à la base e, simplifions la forme de la fonction en utilisant les propriétés du logarithme, puis trouvons la dérivée de la fonction implicitement spécifiée :

Par exemple, trouvons la dérivée d'une fonction puissance exponentielle x par rapport à la puissance x.

Prendre des logarithmes donne . D'après les propriétés du logarithme. La différenciation des deux côtés de l’égalité conduit au résultat :

Répondre: .

Le même exemple peut être résolu sans utiliser la dérivée logarithmique. Vous pouvez effectuer certaines transformations et passer de la différenciation d'une fonction puissance exponentielle à la recherche de la dérivée d'une fonction complexe :

Exemple.

Trouver la dérivée d'une fonction .

Solution.

Dans cet exemple, la fonction est une fraction et sa dérivée peut être trouvée en utilisant les règles de différenciation. Mais en raison de la lourdeur de l’expression, cela nécessitera de nombreuses transformations. Dans de tels cas, il est plus raisonnable d'utiliser la formule de dérivée logarithmique . Pourquoi? Vous comprendrez maintenant.

Trouvons-le d'abord. Dans les transformations, nous utiliserons les propriétés du logarithme (le logarithme d'une fraction est égal à la différence des logarithmes, et le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes, et le degré de l'expression sous le signe du logarithme peut être pris comme coefficient devant le logarithme) :

Ces transformations nous ont conduit à une expression assez simple, dont la dérivée est facile à trouver :

Nous substituons le résultat obtenu dans la formule de la dérivée logarithmique et obtenons la réponse :

Pour consolider le matériel, nous donnerons quelques exemples supplémentaires sans explications détaillées.

Exemple.

Trouver la dérivée d'une fonction puissance exponentielle

Dérivés complexes. Dérivée logarithmique.
Dérivée d'une fonction puissance-exponentielle

Nous continuons à améliorer notre technique de différenciation. Dans cette leçon, nous consoliderons le matériel que nous avons couvert, examinerons des dérivées plus complexes et nous familiariserons également avec de nouvelles techniques et astuces pour trouver une dérivée, en particulier avec la dérivée logarithmique.

Les lecteurs qui ont un faible niveau de préparation devraient se référer à l'article Comment trouver la dérivée ? Exemples de solutions, ce qui vous permettra d'augmenter vos compétences presque à partir de zéro. Ensuite, vous devez étudier attentivement la page Dérivée d'une fonction complexe, comprendre et résoudre Tous les exemples que j'ai donnés. Cette leçon est logiquement la troisième consécutive, et après l'avoir maîtrisée, vous différencierez en toute confiance des fonctions assez complexes. Il n’est pas souhaitable d’adopter la position « Où d’autre ? Ça suffit ! », puisque tous les exemples et solutions sont tirés de tests réels et sont souvent rencontrés dans la pratique.

Commençons par la répétition. À la leçon Dérivée d'une fonction complexe Nous avons examiné un certain nombre d'exemples avec des commentaires détaillés. Au cours de l'étude du calcul différentiel et d'autres branches de l'analyse mathématique, vous devrez très souvent différencier, et il n'est pas toujours pratique (et pas toujours nécessaire) de décrire des exemples de manière très détaillée. Par conséquent, nous nous entraînerons à trouver des dérivées oralement. Les « candidats » les plus appropriés pour cela sont les dérivés des fonctions complexes les plus simples, par exemple :

Selon la règle de différenciation des fonctions complexes :

Lors de l'étude future d'autres sujets de matan, un enregistrement aussi détaillé n'est le plus souvent pas requis, on suppose que l'étudiant sait comment trouver de telles dérivées sur pilote automatique. Imaginons qu'à 3 heures du matin, le téléphone sonne et qu'une voix agréable demande : « Quelle est la dérivée de la tangente de deux X ? Cela devrait être suivi d’une réponse presque instantanée et polie : .

Le premier exemple sera immédiatement destiné à une solution indépendante.

Exemple 1

Trouver oralement, en une seule action, les dérivées suivantes : . Pour terminer la tâche, il vous suffit d'utiliser table des dérivées des fonctions élémentaires(si vous ne vous en souvenez pas encore). Si vous rencontrez des difficultés, je vous recommande de relire la leçon Dérivée d'une fonction complexe.

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Réponses à la fin de la leçon

Dérivés complexes

Après une préparation préliminaire de l'artillerie, les exemples avec des imbrications de fonctions 3-4-5 seront moins effrayants. Les deux exemples suivants peuvent sembler compliqués à certains, mais si vous les comprenez (quelqu'un en souffrira), alors presque tout le reste du calcul différentiel ressemblera à une blague d'enfant.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction

Comme déjà noté, pour trouver la dérivée d'une fonction complexe, il faut tout d'abord Droite COMPRENEZ vos investissements. En cas de doute, je vous rappelle une technique utile : on prend par exemple la valeur expérimentale de « x » et on essaie (mentalement ou dans un brouillon) de substituer cette valeur dans « expression terrible ».

1) Nous devons d’abord calculer l’expression, ce qui signifie que la somme est l’intégration la plus profonde.

2) Ensuite, vous devez calculer le logarithme :

4) Puis cubez le cosinus :

5) A la cinquième étape la différence :

6) Et enfin, la fonction la plus externe est la racine carrée :

Formule pour différencier une fonction complexe sont appliqués dans l’ordre inverse, de la fonction la plus externe à la fonction la plus interne. Nous décidons:

Il semble qu'il n'y ait aucune erreur...

(1) Prenez la dérivée de la racine carrée.

(2) On prend la dérivée de la différence en utilisant la règle

(3) La dérivée d'un triplet est nulle. Au deuxième terme on prend la dérivée du degré (cube).

(4) Prenez la dérivée du cosinus.

(5) Prenez la dérivée du logarithme.

(6) Et enfin, nous prenons la dérivée du plongement le plus profond.

Cela peut paraître trop difficile, mais ce n’est pas l’exemple le plus brutal. Prenez, par exemple, la collection de Kuznetsov et vous apprécierez toute la beauté et la simplicité du dérivé analysé. J'ai remarqué qu'ils aiment donner une chose similaire lors d'un examen pour vérifier si un étudiant comprend comment trouver la dérivée d'une fonction complexe ou ne comprend pas.

L’exemple suivant est à résoudre par vous-même.

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction

Astuce : nous appliquons d’abord les règles de linéarité et la règle de différenciation des produits.

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Il est temps de passer à quelque chose de plus petit et de plus joli.
Il n’est pas rare qu’un exemple montre le produit non pas de deux, mais de trois fonctions. Comment trouver la dérivée du produit de trois facteurs ?

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction

Tout d’abord, regardons : est-il possible de transformer le produit de trois fonctions en produit de deux fonctions ? Par exemple, si nous avions deux polynômes dans le produit, nous pourrions alors ouvrir les parenthèses. Mais dans l’exemple considéré, toutes les fonctions sont différentes : degré, exposant et logarithme.

Dans de tels cas, il est nécessaire séquentiellement appliquer la règle de différenciation des produits deux fois

L'astuce est que par « y » nous désignons le produit de deux fonctions : , et par « ve » nous désignons le logarithme : . Pourquoi cela peut-il être fait ? Est ce que c'est vraiment – ce n’est pas le produit de deux facteurs et la règle ne fonctionne pas ?! Il n'y a rien de compliqué :

Reste maintenant à appliquer la règle une seconde fois mettre entre parenthèses :

Vous pouvez également vous tromper et mettre quelque chose entre parenthèses, mais dans ce cas, il est préférable de laisser la réponse exactement sous cette forme - ce sera plus facile à vérifier.

L'exemple considéré peut être résolu de la deuxième manière :

Les deux solutions sont absolument équivalentes.

Exemple 5

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple de solution indépendante ; dans l’exemple, elle est résolue en utilisant la première méthode.

Regardons des exemples similaires avec des fractions.

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction

Vous pouvez y accéder de plusieurs manières :

Ou comme ceci :

Mais la solution s'écrira de manière plus compacte si l'on utilise d'abord la règle de différenciation du quotient , en prenant pour tout le numérateur :

En principe, l’exemple est résolu, et s’il reste tel quel, ce ne sera pas une erreur. Mais si vous avez le temps, il est toujours conseillé de vérifier sur un brouillon pour voir si la réponse peut être simplifiée ? Réduisons l'expression du numérateur à un dénominateur commun et débarrassons-nous de la fraction à trois étages:

L'inconvénient des simplifications supplémentaires est qu'il y a un risque de se tromper non pas lors de la recherche de la dérivée, mais lors de transformations scolaires banales. D'un autre côté, les enseignants rejettent souvent le devoir et demandent de « y penser » par la dérivée.

Un exemple plus simple à résoudre par vous-même :

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous continuons à maîtriser les méthodes de recherche de la dérivée, et nous allons maintenant considérer un cas typique où le logarithme « terrible » est proposé pour la différenciation

Exemple 8

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, vous pouvez aller très loin en utilisant la règle de différenciation d'une fonction complexe :

Mais la toute première étape vous plonge immédiatement dans le découragement - vous devez prendre la dérivée désagréable d'une puissance fractionnaire, puis aussi d'une fraction.

C'est pourquoi avant comment prendre la dérivée d'un logarithme « sophistiqué », elle est d'abord simplifiée à l'aide de propriétés scolaires bien connues :

! Si vous avez un cahier de pratique sous la main, copiez-y directement ces formules. Si vous n'avez pas de cahier, copiez-les sur une feuille de papier, car les exemples restants de la leçon tourneront autour de ces formules.

La solution elle-même peut s’écrire quelque chose comme ceci :

Transformons la fonction :

Trouver la dérivée :

La pré-conversion de la fonction elle-même a grandement simplifié la solution. Ainsi, lorsqu'un logarithme similaire est proposé pour la différenciation, il convient toujours de le « décomposer ».

Et maintenant quelques exemples simples à résoudre par vous-même :

Exemple 9

Trouver la dérivée d'une fonction

Exemple 10

Trouver la dérivée d'une fonction

Toutes les transformations et réponses sont à la fin de la leçon.

Dérivée logarithmique

Si la dérivée des logarithmes est une si douce musique, alors la question se pose : est-il possible dans certains cas d'organiser artificiellement le logarithme ? Peut! Et même nécessaire.

Exemple 11

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous avons récemment examiné des exemples similaires. Ce qu'il faut faire? Vous pouvez appliquer séquentiellement la règle de différenciation du quotient, puis la règle de différenciation du produit. L’inconvénient de cette méthode est que vous vous retrouvez avec une énorme fraction de trois étages, avec laquelle vous ne voulez pas du tout vous occuper.

Mais en théorie et en pratique, il existe une chose aussi merveilleuse que la dérivée logarithmique. Les logarithmes peuvent être organisés artificiellement en les « accrochant » des deux côtés :

Note : parce que une fonction peut prendre des valeurs négatives, alors, de manière générale, il faut utiliser des modules : , qui disparaîtra du fait de la différenciation. Cependant, la conception actuelle est également acceptable, car elle est prise en compte par défaut. complexe significations. Mais en toute rigueur, dans les deux cas, il convient de faire une réserve selon laquelle.

Il faut maintenant « désintégrer » le plus possible le logarithme du côté droit (des formules sous vos yeux ?). Je vais décrire ce processus en détail :

Commençons par la différenciation.
Nous concluons les deux parties sous le prime :

La dérivée du membre de droite est assez simple ; je ne la commenterai pas, car si vous lisez ce texte, vous devriez pouvoir la manier en toute confiance.

Et le côté gauche ?

Sur le côté gauche, nous avons fonction complexe. Je prévois la question : « Pourquoi y a-t-il une lettre « Y » sous le logarithme ?

Le fait est que ce « jeu à une lettre » - EST-IL MÊME UNE FONCTION(si ce n'est pas très clair, référez-vous à l'article Dérivée d'une fonction spécifiée implicitement). Par conséquent, le logarithme est une fonction externe et le « y » est une fonction interne. Et nous utilisons la règle pour différencier une fonction complexe :

Sur le côté gauche, comme par magie, nous avons une dérivée. Ensuite, selon la règle de proportion, on transfère le « y » du dénominateur du côté gauche vers le haut du côté droit :

Et maintenant, rappelons-nous de quel type de fonction de « joueur » nous avons parlé lors de la différenciation ? Regardons la condition :

Réponse finale:

Exemple 12

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Un plan de sondage d’un exemple de ce type se trouve à la fin de la leçon.

En utilisant la dérivée logarithmique, il a été possible de résoudre n'importe lequel des exemples n° 4 à 7, une autre chose est que les fonctions y sont plus simples et, peut-être, l'utilisation de la dérivée logarithmique n'est pas très justifiée.

Dérivée d'une fonction puissance-exponentielle

Nous n'avons pas encore considéré cette fonction. Une fonction exponentielle en puissance est une fonction pour laquelle le degré et la base dépendent du «x». Un exemple classique qui vous sera donné dans n'importe quel manuel ou conférence :

Comment trouver la dérivée d’une fonction puissance-exponentielle ?

Il est nécessaire d'utiliser la technique qui vient d'être évoquée - la dérivée logarithmique. Nous accrochons des logarithmes des deux côtés :

En règle générale, sur le côté droit, le degré est soustrait sous le logarithme :

Du coup, on a sur le côté droit le produit de deux fonctions, qui seront différenciées selon la formule standard .

On trouve la dérivée ; pour ce faire, on met les deux parties sous des traits :

Les autres actions sont simples :

Enfin:

Si une conversion n'est pas tout à fait claire, veuillez relire attentivement les explications de l'exemple n° 11.

Dans les tâches pratiques, la fonction puissance-exponentielle sera toujours plus compliquée que l'exemple de cours considéré.

Exemple 13

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous utilisons la dérivée logarithmique.

Sur le côté droit, nous avons une constante et le produit de deux facteurs - « x » et « logarithme du logarithme x » (un autre logarithme est imbriqué sous le logarithme). Lors de la différenciation, on s'en souvient, il est préférable de déplacer immédiatement la constante hors du signe dérivé afin qu'elle ne gêne pas ; et, bien sûr, nous appliquons la règle familière :

Laisser
(1)
est une fonction différentiable de la variable x. Dans un premier temps, nous le considérerons sur l'ensemble des valeurs x pour lesquelles y prend des valeurs positives : . Dans la suite, nous montrerons que tous les résultats obtenus sont également applicables pour des valeurs négatives de .

Dans certains cas, afin de trouver la dérivée de la fonction (1), il convient de la pré-logarithmer
,
puis calculez la dérivée. Puis par règle de différenciation des fonctions complexes ,
.
D'ici
(2) .

La dérivée du logarithme d'une fonction est appelée dérivée logarithmique :
.

Dérivée logarithmique de la fonction y = f(x) est la dérivée du logarithme népérien de cette fonction : (ln f(x))′.

Le cas des valeurs y négatives

Considérons maintenant le cas où une variable peut prendre à la fois des valeurs positives et négatives. Dans ce cas, prenez le logarithme du module et trouvez sa dérivée :
.
D'ici
(3) .
Autrement dit, dans le cas général, vous devez trouver la dérivée du logarithme du module de la fonction.

En comparant (2) et (3), nous avons :
.
C'est-à-dire que le résultat formel du calcul de la dérivée logarithmique ne dépend pas du fait que nous ayons pris le modulo ou non. Par conséquent, lors du calcul de la dérivée logarithmique, nous n'avons pas à nous soucier du signe de la fonction.

Cette situation peut être clarifiée à l’aide de nombres complexes. Soit, pour certaines valeurs de x, négatives : . Si l’on considère uniquement les nombres réels, alors la fonction n’est pas définie. Cependant, si l’on prend en compte les nombres complexes, on obtient ce qui suit :
.
C'est-à-dire que les fonctions et diffèrent par une constante complexe :
.
Puisque la dérivée d’une constante est nulle, alors
.

Propriété de la dérivée logarithmique

De cette considération il résulte que la dérivée logarithmique ne changera pas si vous multipliez la fonction par une constante arbitraire :
.
En effet, en utilisant propriétés du logarithme, formules somme dérivée Et dérivée d'une constante, nous avons:

.

Application de la dérivée logarithmique

Il est pratique d'utiliser la dérivée logarithmique dans les cas où la fonction originale consiste en un produit de puissance ou de fonctions exponentielles. Dans ce cas, l’opération logarithmique transforme le produit des fonctions en leur somme. Cela simplifie le calcul de la dérivée.

Exemple 1

Trouvez la dérivée de la fonction :
.

Solution

Logarithmonons la fonction d'origine :
.

Différencions par rapport à la variable x.
DANS table dérivée nous trouvons:
.
Nous appliquons règle pour différencier une fonction complexe.
;
;
;
;
(A1.1) .
Multiplier par:

.

Nous avons donc trouvé la dérivée logarithmique :
.
De là, nous trouvons la dérivée de la fonction originale :
.

Note

Si nous voulons utiliser uniquement des nombres réels, alors nous devons prendre le logarithme du module de la fonction originale :
.
Alors
;
.
Et nous avons la formule (A1.1). Le résultat n’a donc pas changé.

Répondre

Exemple 2

À l'aide de la dérivée logarithmique, trouvez la dérivée de la fonction
.

Solution

Prenons les logarithmes :
(A2.1) .
Différencier par rapport à la variable x :
;
;

;
;
;
.

Multiplier par:
.
De là, nous obtenons la dérivée logarithmique :
.

Dérivée de la fonction originale :
.

Note

Ici, la fonction originale est non négative : . Il est défini à . Si nous ne supposons pas que le logarithme peut être défini pour des valeurs négatives de l'argument, alors la formule (A2.1) doit s'écrire comme suit :
.
Parce que le

Et
,
cela n’affectera pas le résultat final.

Répondre

Exemple 3

Trouver la dérivée
.

Solution

Nous effectuons la différenciation en utilisant la dérivée logarithmique. Prenons un logarithme en prenant en compte que :
(A3.1) .

En différenciant, on obtient la dérivée logarithmique.
;
;
;
(A3.2) .

Depuis lors

.

Note

Effectuons les calculs sans supposer que le logarithme peut être défini pour des valeurs négatives de l'argument. Pour ce faire, prenons le logarithme du module de la fonction d'origine :
.
Alors au lieu de (A3.1) on a :
;

.
En comparant avec (A3.2), nous voyons que le résultat n’a pas changé.

La dérivée du logarithme népérien de x est égale à un divisé par x :
(1) (lnx)′ =.

La dérivée du logarithme en base a est égale à un divisé par la variable x multiplié par le logarithme naturel de a :
(2) (log un x)′ =.

Preuve

Soit un nombre positif non égal à un. Considérons une fonction dépendant d'une variable x, qui est un logarithme en base :
.
Cette fonction est définie à . Trouvons sa dérivée par rapport à la variable x. Par définition, la dérivée est la limite suivante :
(3) .

Transformons cette expression pour la réduire à des propriétés et règles mathématiques connues. Pour ce faire, nous devons connaître les faits suivants :
UN) Propriétés du logarithme. Nous aurons besoin des formules suivantes :
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Continuité du logarithme et propriété des limites pour une fonction continue :
(7) .
Voici une fonction qui a une limite et cette limite est positive.
DANS) La signification de la deuxième limite remarquable :
(8) .

Appliquons ces faits à notre limite. Nous transformons d’abord l’expression algébrique
.
Pour ce faire, nous appliquons les propriétés (4) et (5).

.

Utilisons la propriété (7) et la deuxième limite remarquable (8) :
.

Et enfin, on applique la propriété (6) :
.
Logarithme en base e appelé un algorithme naturel. Il est désigné comme suit :
.
Alors ;
.

Ainsi, nous avons obtenu la formule (2) pour la dérivée du logarithme.

Dérivée du logarithme népérien

Encore une fois, nous écrivons la formule de la dérivée du logarithme sur la base de a :
.
Cette formule a la forme la plus simple pour le logarithme népérien, pour lequel , . Alors
(1) .

En raison de cette simplicité, le logarithme naturel est très largement utilisé en analyse mathématique et dans d'autres branches des mathématiques liées au calcul différentiel. Les fonctions logarithmiques avec d'autres bases peuvent être exprimées en termes de logarithme népérien en utilisant la propriété (6) :
.

La dérivée du logarithme par rapport à la base peut être trouvée à partir de la formule (1), si vous retirez la constante du signe de différenciation :
.

Autres façons de prouver la dérivée d'un logarithme

Ici, nous supposons que nous connaissons la formule de la dérivée de l'exponentielle :
(9) .
Nous pouvons ensuite dériver la formule de la dérivée du logarithme népérien, étant donné que le logarithme est la fonction inverse de l’exponentielle.

Démontrons la formule de la dérivée du logarithme népérien, appliquer la formule de la dérivée de la fonction inverse:
.
Dans notre cas . La fonction inverse du logarithme naturel est l'exponentielle :
.
Son dérivé est déterminé par la formule (9). Les variables peuvent être désignées par n'importe quelle lettre. Dans la formule (9), remplacez la variable x par y :
.
Depuis lors
.
Alors
.
La formule est éprouvée.

Nous prouvons maintenant la formule de la dérivée du logarithme népérien en utilisant règles de différenciation des fonctions complexes. Puisque les fonctions et sont inverses l’une de l’autre, alors
.
Différencions cette équation par rapport à la variable x :
(10) .
La dérivée de x est égale à un :
.
Nous appliquons la règle de différenciation des fonctions complexes :
.
Ici . Remplaçons dans (10) :
.
D'ici
.

Exemple

Trouver des dérivés de En 2x, en 3x Et lnnx.

Solution

Les fonctions originales ont une forme similaire. Nous trouverons donc la dérivée de la fonction y = journal nx. Ensuite, nous substituons n = 2 et n = 3. Et ainsi, nous obtenons des formules pour les dérivées de en 2x Et en 3x .

On cherche donc la dérivée de la fonction
y = journal nx .
Imaginons cette fonction comme une fonction complexe composée de deux fonctions :
1) Fonctions dépendant d'une variable : ;
2) Fonctions dépendant d'une variable : .
Alors la fonction d'origine est composée des fonctions et :
.

Trouvons la dérivée de la fonction par rapport à la variable x :
.
Trouvons la dérivée de la fonction par rapport à la variable :
.
Nous appliquons la formule de la dérivée d'une fonction complexe.
.
Ici, nous l'avons mis en place.

Nous avons donc trouvé :
(11) .
On voit que la dérivée ne dépend pas de n. Ce résultat est tout à fait naturel si l'on transforme la fonction originale en utilisant la formule du logarithme du produit :
.
- c'est une constante. Sa dérivée est nulle. Alors, d’après la règle de différenciation de la somme, on a :
.

Répondre

; ; .

Dérivée du logarithme du module x

Trouvons la dérivée d'une autre fonction très importante - le logarithme népérien du module x :
(12) .

Considérons le cas. La fonction ressemble alors à :
.
Sa dérivée est déterminée par la formule (1) :
.

Considérons maintenant le cas. La fonction ressemble alors à :
,
Où .
Mais nous avons aussi trouvé la dérivée de cette fonction dans l’exemple ci-dessus. Il ne dépend pas de n et est égal à
.
Alors
.

Nous combinons ces deux cas en une seule formule :
.

Ainsi, pour que le logarithme soit en base a, on a :
.

Dérivées d'ordres supérieurs du logarithme népérien

Considérez la fonction
.
Nous avons trouvé sa dérivée du premier ordre :
(13) .

Trouvons la dérivée du second ordre :
.
Trouvons la dérivée du troisième ordre :
.
Trouvons la dérivée du quatrième ordre :
.

Vous pouvez remarquer que la dérivée d’ordre n a la forme :
(14) .
Prouvons-le par induction mathématique.

Preuve

Remplaçons la valeur n = 1 dans la formule (14) :
.
Depuis , alors quand n = 1 , la formule (14) est valide.

Supposons que la formule (14) soit satisfaite pour n = k. Montrons que cela implique que la formule est valable pour n = k + 1 .

En effet, pour n = k on a :
.
Différencier par rapport à la variable x :

.
Nous avons donc :
.
Cette formule coïncide avec la formule (14) pour n = k + 1 . Ainsi, de l'hypothèse que la formule (14) est valable pour n = k, il s'ensuit que la formule (14) est valable pour n = k + 1 .

Par conséquent, la formule (14), pour la dérivée du nième ordre, est valable pour tout n.

Dérivées d'ordres supérieurs du logarithme pour baser un

Pour trouver la dérivée d'ordre n d'un logarithme en base a, vous devez l'exprimer en termes de logarithme népérien :
.
En appliquant la formule (14), on trouve la nième dérivée :
.