III.Учебно-практические пособия

Вычислим напряженность в точке М, находящейся на расстоянии R от проводника. Направление вектора dН для любого элемента тока будет в т.М одинаковым. Следовательно, геометрическая сумма векторов dН превращается в алгебраическую и ее можно находить с помощью интегрирования.

, для интегрирования переменные r, l и α необходимо выразить через одну из них, например, α.

.

Подставим эти выражения:

. Переменная α изменяется от 0 до π.

. В системе СИ

и

. Размерность [Н] = А/м.

Напряженность магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током прямо пропорциональна силе тока и обратно пропорциональна расстоянию от проводника. Линии напряженности представляют собой концентрические окружности. Они непрерывны, не имеют ни начала ни конца. Векторные поля, имеющие непрерывные линии вектора, называются вихревыми полями.

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля

Циркуляцией вектора А по замкнутому контуру называется интеграл вида

. Направление обхода по контуру должно быть задано.

В электростатическом поле

. В магнитном поле циркуляция вектора Н не равна 0.

Рассмотрим контур l произвольной формы, лежащий в плоскости, перпендикулярной к бесконечному линейному току. Ток направлен от нас. Направление обхода выберем по часовой стрелке.

Рассмотрим отрезок контура dl.

. Проведем два радиус-вектора, соединяющих ток с концами отрезка dl. Угол между ними будет dφ.,

,

. Следовательно

. Полученный результат будет верен и для любого не плоского пространственного контура. Циркуляция вектора напряженности не зависит от формы контура. Направление обхода по контуру и направление тока связаны правилом буравчика (правого винта). При обратном направлении обхода знак циркуляции изменится на противоположный.

Если магнитное поле создано системой токов, то

-циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром. Эта теорема о циркуляции называется законом полного тока . Каждый ток считается столько раз, сколько он охватывается этим контуром.

Магнитное поле соленоида

Соленоид представляет собой провод, навитый на цилиндрический каркас (катушка с проводом). По виткам проходит одинаковый ток. Магнитные поля, созданные каждым витком, складываются.

Напряженность поля внутри соленоида велика, а вне его мала и стремится к 0 для бесконечного соленоида. Если длина соленоида много больше диаметра его витков, то его можно считать практически бесконечным.

Возьмем контур 12341 и применим теорему о циркуляции:

N – число витков соленоида.

На участках 12 и 34 контур перпендикулярен к линиям напряженности, следовательно, Н l = 0, на участке 14 Н = 0, значит, вклад в циркуляцию дает только участок 23

,следовательно,

, n – число витков на единицу длины соленоида.

Поле внутри соленоида однородно. При приближении к концам соленоида линии вектора Н начинают расходиться и величина напряженности уменьшается. Такой краевой эффект отсутствует у тороида.

Все магнитное поле сосредоточено внутри тороида и линии вектора Н представляют собой замкнутые концентрические окружности. Напряженность поля рассчитывается по прежней формуле. Длину тороида следует считать по средней линии.

Взаимодействие параллельных токов

Зная магнитное поле, создаваемое проводником с током, можно вычислить силу, действующую на другой проводник с током.

Рассмотрим два параллельных бесконечных проводника с током. Проводник 1 создает в месте нахождения проводника 2 индукцию

. На элемент тока второго проводника будет действовать сила. На единицу длины второго проводника будет действовать сила

.

Точно такая же сила притяжения будет действовать со стороны второго проводника на первый. Если токи в проводниках противоположны, то проводники будут отталкиваться. На основании взаимодействия токов в системе СИ введена четвертая независимая единица – ампер.

Ампер – сила не изменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, вызывал бы между этими проводниками силу 2·10 -7 Н на каждый метр длины.

В.М. Гладской, П.И. Самойленко

3.1 ФИЗИКА

Конспект лекций

Глава 14. Электромагнетизм

Магнитное поле и его характеристики

Магнитное поле – это один из видов материи, которая про­является в том, что на помещенный в поле движущийся заряд или проводника с током со стороны магнитного поля действует сила.

Основной характеристикой магнитного поля служит вектор магнитной индукции В . Единицей магнитной индукции является тесла (Тл). Другой характеристикой магнитного поля является на­пряженность Н , которая измеряется в А/м. Эти характеристики свя­заны между собой соотношением В =μμ 0 Н , где μ – магнитная проницаемость среды, μ 0 - магнитная постоянная, μ 0 =4π·10 -7 Гн/м.

Магнитные поля гра­фически изображаются с по­мощью магнитных силовых линий (рис. 101).

Эти линии представляют собой концен­трические окружности, про­веденные так, что касатель­ные к ним в каждой точке

совпадают по направлению с вектором В . На рис.101 изображено сечение проводника с током I 1 , текущим за плоскость рисунка, и проводника с током I 2 , текущим из-за плоскости рисунка. Направ­ление силовых линий определяется по правилу правого винта (бу­равчика). В произвольных точках 1 и 2 показано направление век­торов В 1 и В 2 .

Принцип суперпозиции магнитных полей. Закон Био-Савара-Лапласа

Для магнитных полей, создаваемых системой проводников с токами, справедлив принцип суперпозиции (наложения). Каждый из проводников создает собственное магнитное поле, которое не зави­сит от наличия или отсутствия других проводников. Напряженность же суммарного магнитного поля Н , созданного всеми n проводни­ками с током в данной точке равно геометрической сумме напря­женностей Н i каждого из полей

.

Пусть магнитное поле создано системой из двух проводни­ков с токами I 1 и I 2 (рис. 102). Напряженность Н результирующего поля будет равна

Н = Н 1 + Н 2 .

Численное значение вектора Н определяется по теореме ко­синусов

Очевидно, что напряжен­ность (и индукция) магнит­ного поля должна зависеть от тока в проводнике и рас­стояния от проводника и некоторых других причин. Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять на­пряженность поля, созда­ваемого элементом провод­ника с током в любой точке пространства.

Закон утверждает, что элемент dl проводника с током I создает в точке пространства на расстоянии r от него магнитное поле, напря­женность которого dH пропорциональна dl , силе тока I, синусу угла α между направлением тока и радиусом-вектором r точки и обратно пропорциональна r 2 (рис. 103):

.

Вектор dH перпендикулярен плоскости, проведенной через элемент dl и радиус-вектор r, а направление его определяется по правилу “буравчика”.

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять напряжен­ность магнитных полей от проводников с токами различной формы.

а) Магнитное поле прямолинейного проводника с током .

Определим напряженность поля в точке М на расстоянии r 0 от бесконечного проводника. Выде­лим на проводнике элемент тока Idl (рис. 104), и проведем радиус-вектор r в точку М. Напряженность поля будет определяться по закону Био-Савара-Лапласа. Из рисунка видно, что

,

Напряженность поля в точке М будет представлять собой геометри­ческую сумму напряженностей Н i от всех элементов бесконечного проводника

Напряженность магнитного поля, создаваемого прямолинейным провод­ником конечной длины l (рис. 105) оп­ределяется по формуле

б) Магнитное поле в центре кругового тока . Пусть ток протекает по окружности радиуса r (рис. 106). В этом случае все элементы dl проводника пер­пендикулярны к радиусу-вектору r , а sin α =1. Поэтому напряженность в центре кругового тока будет

Все элементы тока создают магнитное поле одинакового направления и напряженность в центре витка будет определяться интегралом

.

Для одного витка

; для N витков

.

В.М. Гладской, П.И. Самойленко

3.1 ФИЗИКА

Конспект лекций

Глава 14. Электромагнетизм

Магнитное поле и его характеристики

Магнитное поле – это один из видов материи, которая про­является в том, что на помещенный в поле движущийся заряд или проводника с током со стороны магнитного поля действует сила.

Основной характеристикой магнитного поля служит вектор магнитной индукции В . Единицей магнитной индукции является тесла (Тл). Другой характеристикой магнитного поля является на­пряженность Н , которая измеряется в А/м. Эти характеристики свя­заны между собой соотношением В =μμ 0 Н , где μ – магнитная проницаемость среды, μ 0 - магнитная постоянная, μ 0 =4π·10 -7 Гн/м.

Магнитные поля гра­фически изображаются с по­мощью магнитных силовых линий (рис. 101).

Эти линии представляют собой концен­трические окружности, про­веденные так, что касатель­ные к ним в каждой точке

совпадают по направлению с вектором В . На рис.101 изображено сечение проводника с током I 1 , текущим за плоскость рисунка, и проводника с током I 2 , текущим из-за плоскости рисунка. Направ­ление силовых линий определяется по правилу правого винта (бу­равчика). В произвольных точках 1 и 2 показано направление век­торов В 1 и В 2 .

Принцип суперпозиции магнитных полей. Закон Био-Савара-Лапласа

Для магнитных полей, создаваемых системой проводников с токами, справедлив принцип суперпозиции (наложения). Каждый из проводников создает собственное магнитное поле, которое не зави­сит от наличия или отсутствия других проводников. Напряженность же суммарного магнитного поля Н , созданного всеми n проводни­ками с током в данной точке равно геометрической сумме напря­женностей Н i каждого из полей

.

Пусть магнитное поле создано системой из двух проводни­ков с токами I 1 и I 2 (рис. 102). Напряженность Н результирующего поля будет равна

Н = Н 1 + Н 2 .

Численное значение вектора Н определяется по теореме ко­синусов

Очевидно, что напряжен­ность (и индукция) магнит­ного поля должна зависеть от тока в проводнике и рас­стояния от проводника и некоторых других причин. Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять на­пряженность поля, созда­ваемого элементом провод­ника с током в любой точке пространства.

Закон утверждает, что элемент dl проводника с током I создает в точке пространства на расстоянии r от него магнитное поле, напря­женность которого dH пропорциональна dl , силе тока I, синусу угла α между направлением тока и радиусом-вектором r точки и обратно пропорциональна r 2 (рис. 103):

.

Вектор dH перпендикулярен плоскости, проведенной через элемент dl и радиус-вектор r, а направление его определяется по правилу “буравчика”.

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять напряжен­ность магнитных полей от проводников с токами различной формы.

а) Магнитное поле прямолинейного проводника с током .

Определим напряженность поля в точке М на расстоянии r 0 от бесконечного проводника. Выде­лим на проводнике элемент тока Idl (рис. 104), и проведем радиус-вектор r в точку М. Напряженность поля будет определяться по закону Био-Савара-Лапласа. Из рисунка видно, что

,

Напряженность поля в точке М будет представлять собой геометри­ческую сумму напряженностей Н i от всех элементов бесконечного проводника

Напряженность магнитного поля, создаваемого прямолинейным провод­ником конечной длины l (рис. 105) оп­ределяется по формуле

б) Магнитное поле в центре кругового тока . Пусть ток протекает по окружности радиуса r (рис. 106). В этом случае все элементы dl проводника пер­пендикулярны к радиусу-вектору r , а sin α =1. Поэтому напряженность в центре кругового тока будет

Все элементы тока создают магнитное поле одинакового направления и напряженность в центре витка будет определяться интегралом

.

Для одного витка

; для N витков

.