Как вычислить пределы функций примеры. Первый замечательный предел

Основных элементарных функций разобрались.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями .

Перечислим все основные виды неопределенностей : ноль делить на ноль (0 на 0 ), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль .

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

• упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
• использование замечательных пределов;
• применение правила Лопиталя ;
• использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей . Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).

Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.

Приведем парочку примеров, когда все сразу получается после подстановки значения и неопределенности не возникают.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

И сразу получили ответ.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:

То есть, предел можно переписать в виде

Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция . Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем и , следовательно, можно записать .

Исходя из этого, наш предел запишется в виде:

Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большим единицы, откуда имеем:

Ответ:

Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений .

Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности (0 на 0 ). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Для знаменателя сопряженным выражением будет

Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение.

После ряда преобразований неопределенность исчезла.

Ответ:

ЗАМЕЧАНИЕ: для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1 , то если эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.

Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Наш предел примет вид:

После преобразования неопределенность раскрылась.

Ответ:

Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать.

Пример.

Пример.

Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения (m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность , в этом случае неопределенность раскрывается делением и числитель и знаменатель на

Пример.

Вычислить предел

Теория пределов - один из разделов математического анализа, который одним под силу освоить, другие с трудом вычисляют пределы. Вопрос нахождения пределов является достаточно общим, поскольку существуют десятки приемов решения пределов различных видов. Одни и те же предела можно найти как по правилу Лопиталя, так и без него. Бывает, что расписание в ряд бесконечно малых функций позволяет быстро получить нужный результат. Существуют набор приемов и хитростей, позволяющих найти предел функции любой сложности. В данной статье попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Теорию и определение предела мы здесь давать не будем, в интернете множество ресурсов где это разжевано. Поэтому займемся практическим вычислениям, именно здесь у Вас и начинается "не знаю! Не умею! Нас не учили!"

Вычисление пределов методом подстановки

Пример 1. Найти предел функции
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Решение: Такого сорта примеры по теории вычисляют обычной подстановкой

Предел равен 18/11.
Ничего сложного и мудрого в таких пределах нет - подставили значение, вычислили, записали предел в ответ. Однако на базе таких пределов всех приучают, что прежде всего нужно подставить значение в функцию. Далее пределы усложняют, вводят понятие бесконечности, неопределенности и тому подобные.

Предел с неопределенностью типа бесконечность разделить на бесконечность. Методы раскрытия неопределенности

Пример 2. Найти предел функции
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinity).
Решение: Задан предел вида полином разделить на полином, причем переменная стремится к бесконечности

Простая подстановка значения к которому следует переменная найти пределов не поможет, получаем неопределенность вида бесконечность разделить на бесконечность.
Пот теории пределов алгоритм вычисления предела заключается в нахождении наибольшего степени "икс" в числителе или знаменателе. Далее на него упрощают числитель и знаменатель и находят предел функции

Поскольку значение стремятся к нулю при переменной к бесконечности то ими пренебрегают, или записывают в конечный выражение в виде нулей

Сразу из практики можно получить два вывода которые являются подсказкой в вычислениях. Если переменная стремится к бесконечности и степень числителя больше от степени знаменателя то предел равен бесконечности. В противном случае, если полином в знаменателе старшего порядка чем в числителе предел равен нулю.
Формулами предел можно записать так

Если имеем функцию вида обычный поленом без дробей то ее предел равен бесконечности

Следующий тип пределов касается поведения функций возле нуля.

Пример 3. Найти предел функции
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Решение: Здесь уже выносить старший множитель полинома не требуется. С точностью до наоборот, необходимо найти наименьший степень числителя и знаменателя и вычислить предел

Значение x^2; x стремятся к нулю когда переменная стремится к нулю Поэтому ими пренебрегают, таким образом получим

что предел равен 2,5.

Теперь Вы знаете как найти предел функции вида полином разделить на полином если переменная стремится к бесконечности или 0. Но это лишь небольшая и легкая часть примеров. Из следующего материала Вы научитесь как раскрывать неопределенности пределов функции .

Предел с неопределенностью типа 0/0 и методы его вычислений

Сразу все вспоминают правило согласно которому делить на ноль нельзя. Однако теория пределов в этом контексте подразумеваем бесконечно малые функции.
Рассмотрим для наглядности несколько примеров.

Пример 4. Найти предел функции
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Решение: При подстановке в знаменатель значения переменной x = -1 получим ноль, то же самое получим в числителе. Итак имеем неопределенность вида 0/0.
Бороться с такой неопределенностью просто: нужно разложить полином на множители, а точнее выделить множитель, который превращает функцию в ноль.

После разложения предел функции можно записать в виде

Вот и вся методика вычисления предела функции. Так же поступаем если есть предел вида многочлен разделить на многочлен.

Пример 5. Найти предел функции
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Решение: Прямая подстановка показывает
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
что имеем неопределенность типа 0/0 .
Разделим полиномы на множитель которій вносит особенность


Есть преподаватели которые учат, что полиномы 2 порядка то есть вида "квадратные уравнения" следует решать через дискриминант. Но реальная практика показывает что это дольше и запутаннее, поэтому избавляйтесь особенности в пределах по указанному алгоритму. Таким образом записываем функцию в виде простых множителей и вічисляем в предел

Как видите, ничего сложного в исчислении таких пределов нет. Делить многочлены Вы на момент изучения пределов умеете, по крайней мере согласно программе должны уже пройти.
Среди задач на неопределенность типа 0/0 встречаются такие в которых нужно применять формулы сокращенного умножения. Но если Вы их не знаете, то делением многочлена на одночлен можно получить нужную формулу.

Пример 6. Найти предел функции
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Решение: Имеем неопределенность типа 0/0 . В числителе применяем формулу сокращенного умножения

и вычисляем нужній предел

Метод раскрытия неопределенности умножением на сопряженное

Метод применяют к пределам в которіхнеопределенность порождают иррациональные функции. Числитель или знаменатель превращается в точке вычисления в ноль и неизвестно как найти границу.

Пример 7. Найти предел функции
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Решение: Представим переменную в формулу предела

При подстановки получим неопределенность типа 0/0.
Согласно теории пределов схема обхода данной особенности заключается в умножении иррационального выражения на сопряженное. Чтобы выражение не изменилось знаменатель нужно разделить на такое же значение

По правилу разности квадратов упрощаем числитель и вычисляем предел функции

Упрощаем слагаемые, создающие особенность в пределе и выполняем подстановку

Пример 8. Найти предел функции
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Решение: Прямая подстановка показывает что предел имеет особенность вида 0/0.

Для раскрытия умножаем и делим на сопряженное к числителю

Записываем разницу квадратов

Упрощаем слагаемые которые вносят особенность и находим предел функции

Пример 9. Найти предел функции
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Решение: Подставим двойку в формулу

Получим неопределенность 0/0 .
Знаменатель нужно умножить на сопряженный выражение, а в числителе решить квадратное уравнение или разложить на множители, учитывая особенность. Поскольку известно, что 2 является корнем, то второй корень находим по теореме Виета

Таким образом числитель запишем в виде

и подставим в предел

Сведя разницу квадратов избавляемся особенности в числителе и знаменателе

Приведенным образом можно избавиться особенности во многих примерах, а применение надо замечать везде где заданная разница корней превращается в ноль при подстановке. Другие типы пределов касаются показательных функций, бесконечно малых функций, логарифмов, особых пределов и других методик. Но об этом Вы сможете прочитать в перечисленных ниже статьях о пределах.

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что "скучная теория" должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1

Вычислить а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $

Решение

а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$ б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$ Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ \text{a)} \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \text{ б)}\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $

Пример 3

Решить $ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. $$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(-1)^2-1}{-1+1}=\frac{0}{0} $$ Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её :) Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование: $$ \lim \limits_{x \to -1}\frac{x^2-1}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$

Ответ

$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $

Пример 5

Вычислить $ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty} $ Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное - возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем... $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2(1-\frac{1}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x(1-\frac{1}{x^2})}{(1+\frac{1}{x})} = $$ Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем: $$ = \frac{\infty(1-\frac{1}{\infty})}{(1+\frac{1}{\infty})} = \frac{\infty \cdot 1}{1+0} = \frac{\infty}{1} = \infty $$

Ответ

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \infty $$

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: "ноль делить на ноль" или "бесконечность делить на бесконечность" и переходим к следующим пунктам инструкции.
2. Чтобы устранить неопределенность "ноль делить на ноль" нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
3. Если неопределенность "бесконечность делить на бесконечность", тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

При вычислении пределов следует учитывать следующие основные правила :

1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов слагаемых:

2. Предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей:

3. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

5. Предел постоянной равен самой постоянной:

6. Для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами:

.

Нахождение предела функции следует начинать с подстановки значения в выражение для функции. При этом если получается числовое значение 0 или ¥, то искомый предел найден.

Пример 2.1. Вычислить предел .

Решение.

.

Выражения вида , , , , , называются неопределённостями .

Если получается неопределенность вида , то для нахождения предела нужно преобразовать функцию так, чтобы раскрыть эту неопределенность.

Неопределенность вида обычно получается, когда задан предел отношения двух многочленов. В этом случае, для вычисления предела рекомендуется разложить многочлены на множители и сократить на общий множитель. Этот множитель равен нулю при предельном значении х .

Пример 2.2. Вычислить предел .

Решение.

Подставляя , получим неопределенность:

.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

;

Сократим на общий множитель и получим

Неопределенность вида получается, когда задан предел отношения двух многочленов при . В этом случае для вычисления рекомендуется разделить оба многочлена на х в старшей степени.

Пример 2.3. Вычислить предел .

Решение. При подстановке ∞ получается неопределенность вида , поэтому разделим все члены выражения на x 3 .

.

Здесь учитывается, что .

При вычислении пределов функции, содержащей корни, рекомендуется умножить и разделить функцию на сопряженное выражение.

Пример 2.4. Вычислить предел

Решение.

При вычислении пределов для раскрытия неопределенности вида или (1) ∞ часто используются первый и второй замечательные пределы:

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример.

Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед.

Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 »237 (ден. ед.).

Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

Пример 2.5. Вычислить предел функции

Решение.

Пример 2.6. Вычислить предел функции .

Решение. Подставляя получим неопределенность:

.

Используя тригонометрическую формулу, преобразуем числитель в произведение:

В результате получаем

Здесь учитывается второй замечательный предел .

Пример 2.7. Вычислить предел функции

Решение.

.

Для раскрытия неопределенности вида или можно использовать правило Лопиталя, которое основано на следующей теореме.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных

Заметим, что это правило можно применять несколько раз подряд.

Пример 2.8. Найти

Решение. При подстановке , имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим

Непрерывность функции

Важным свойством функции является непрерывность.

Определение. Функция считается непрерывной , если малое изменение значения аргумента влечет за собой малое изменение значения функции.

Математически это записывается так: при

Под и понимается приращение переменных, то есть разность между последующим и предыдущим значениями: , (рисунок 2.3)

Рисунок 2.3 – Приращение переменных

Из определения функции , непрерывной в точке , следует, что . Это равенство означает выполнение трех условий:

Решение. Для функции точка является подозрительной на разрыв, проверим это, найдем односторонние пределы

Следовательно, , значит - точка устранимого разрыва

Производная функции

Методы решения пределов. Неопределённости.
Порядок роста функции. Метод замены

Пример 4

Найти предел

Это более простой пример для самостоятельного решения. В предложенном примере снова неопределённость ( более высокого порядка роста, чем корень ).

Если «икс» стремится к «минус бесконечности»

Призрак «минус бесконечности» уже давно витал в этой статье. Рассмотрим пределы с многочленами, в которых . Принципы и методы решения будут точно такими же, что и в первой части урока, за исключением ряда нюансов.

Рассмотрим 4 фишки, которые потребуются для решения практических заданий:

1) Вычислим предел

Значение предела зависит только от слагаемого , поскольку оно обладает самым высоким порядком роста. Если , то бесконечно большое по модулю отрицательное число в ЧЁТНОЙ степени , в данном случае – в четвёртой, равно «плюс бесконечности»: . Константа («двойка») положительна , поэтому:

2) Вычислим предел

Здесь старшая степень опять чётная , поэтому: . Но перед расположился «минус» (отрицательная константа –1), следовательно:

3) Вычислим предел

Значение предела зависит только от . Как вы помните из школы, «минус» «выскакивает» из-под нечётной степени, поэтому бесконечно большое по модулю отрицательное число в НЕЧЁТНОЙ степени равно «минус бесконечности», в данном случае: .
Константа («четвёрка») положительна , значит:

4) Вычислим предел

Первый парень на деревне снова обладает нечётной степенью, кроме того, за пазухой отрицательная константа, а значит: Таким образом:
.

Пример 5

Найти предел

Используя вышеизложенные пункты, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель и знаменатель одного порядка роста, значит, в пределе получится конечное число. Узнаем ответ, отбросив всех мальков:

Решение тривиально:

Пример 6

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

А сейчас, пожалуй, самый тонкий из случаев:

Пример 7

Найти предел

Рассматривая старшие слагаемые, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, поэтому сразу можно сказать, что предел равен бесконечности. Но какой бесконечности, «плюс» или «минус»? Приём тот же – в числителе и знаменателе избавимся от мелочи:

Решаем:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 15

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Ещё пара занятных примеров на тему замены переменной:

Пример 16

Найти предел

При подстановке единицы в предел получается неопределённость . Замена переменной уже напрашивается, но сначала преобразуем тангенс по формуле . Действительно, зачем нам тангенс?

Заметьте, что , поэтому . Если не совсем понятно, посмотрите значения синуса в тригонометрической таблице . Таким образом, мы сразу избавляемся от множителя , кроме того, получаем более привычную неопределённость 0:0. Хорошо бы ещё и предел у нас стремился к нулю.

Проведем замену:

Если , то

Под косинусом у нас находится «икс», который тоже необходимо выразить через «тэ».
Из замены выражаем: .

Завершаем решение:

(1) Проводим подстановку

(2) Раскрываем скобки под косинусом.

(4) Чтобы организовать первый замечательный предел , искусственно домножаем числитель на и обратное число .

Задание для самостоятельного решения:

Пример 17

Найти предел

Полное решение и ответ в конце урока.

Это были несложные задачи в своём классе, на практике всё бывает хуже, и, помимо формул приведения , приходится использовать самые разные тригонометрические формулы , а также прочие ухищрения. В статье Сложные пределы я разобрал пару настоящих примеров =)

В канун праздника окончательно проясним ситуацию ещё с одной распространённой неопределённостью:

Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»

Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел , и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-й замечательный предел, хотя это вовсе не так.

Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёт только о неопределённости и никакой другой .

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы , которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :

В данном случае , и по формуле :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-й замечательный предел.